7. СКАЧКООБРАЗНЫЙ РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В некоторых нелинейных системах автоматического регулирования при задаче периодического сигнала с изменяемой частотой наблюдается скачкообразный характер изменения амплитуды [10], [34], [44]. Данное явление принято называть резонансом со скачками. Скачкообразный резонанс, как и автоколебания, относятся к нежелательным явлениям в системах автоматического регулирования, так как при его получении возникают значительные перегрузки в механических передачах и приводах, снижающие надежность действия всей автоматической системы.

Явление скачкообразного резонанса возникает в нелинейных системах из-за неоднозначного соответствия между сигналом на входе системы и сигналами на входе нелинейности. Этот сигнал, если нелинейность располагается сразу же за первым сравнивающим устройством, определяется по следующему соотношению:

где — передаточная функция возмущающего воздействия.

Перепишем выражение (XII. 137) в виде

В полученном выражении за счет первого сомножителя образуется семейство амплитудных и фазовых характеристик, обуславливающих неоднозначность соответствия сигналов

Исследуем явление скачкообразного резонанса на примере системы с усилителем, имеющим зону насыщения [34]. Структурная схема этой системы изображена на рис. XI 1.36. Передаточную функцию линейной части системы запишем в виде

Пусть параметры системы будут равны [34]:

Семейства амплитудных и фазовых частотных характеристик определим по номограмме замыкания (см. рис. XII.30, б) для пяти постоянных значений амплитуд на входе нелинейности.

Рис. XII. 36. Структурная схема системы автоматического регулирования с нелинейностью типа насыщения (а) и логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики этой системы (б)

Соответствующие этим значениям семейства амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутых систем построены на рис. XII.37, а и б. С ростом амплитуды сигнала на входе нелинейности уменьшается амплитуда замкнутой системы и более пологой становится фазовая характеристика

Для построения амплитудно-частотной характеристики нелинейной системы при постоянном значении амплитуды входного сигнала воспользуемся методикой, изложенной в работе [16]. На рис. XII.36, а строим логарифмическую амплитудную

характеристику линейной части системы пользуясь которой определим для различных Далее, используя амплитудную характеристику и зная соотношение или найдем

Рис. XII. 37. (см. скан) Графо-аналитический способ определения амплитудной (а) и фазовой (б) частотных характеристик замкнутой нелинейной системы при постоянной амплитуде входного сигнала

Тогда с помощью графика (рис. XII,37, а) вычислим функцию по формуле

Зная из графика при частоте найдем функцию пользуясь кривыми, приведенными на рис. XI 1.37, а по ней определим функцию Аналогичным способом можно определить и другие значения функции Полученные значения нанесем в виде точек амплитудные частотные характеристики замкнутой нелинейной системы (рис. XI 1.37, а). Проведя сплошные линии через точки с постоянными значениями амплитуд найдем семейство амплитудно-частотных характеристик.

На рис. XII.36, б построена логарифмическая фазовая характеристика линеинои части системы а на рис. XII.37, б — семейство фазовых характеристик

С помощью характеристик и формулы при определим численные значения функции Нанесем эти значения в виде точек на семейство характеристик Соединяя сплошными линиями точки с постоянными значениями амплитуд получим семейство фазовочастотных характеристик.

Перенесем амплитудно-частотную и фазово-частотные характеристики при (рис. XII 37, а и б, кривые 1 и 2). Из рисунка видно, что скачкообразный резонанс наблюдается в диапазоне частот . Внутри этого диапазона каждой из частот соответствуют три значения амплитуды. На участках и имеем устойчивые значения амплитуд, а на участке — неустойчивые. Уменьшим частоту и достигнем точки М, тогда и происходит мгновенный перескок амплитуды в точку Дальнейшее уменьшение частоты не вызывает перескока амплитуды.

Как показали исследования [10], [34] и [48], скачкообразный разонанс возникает в слабо демпфированных системах (при малых запасах устойчивости линейной части системы) и таких амплитудах входного сигнала, при которых система входит в зону насыщения нелинейного элемента. Поэтому для уменьшения явления скачкообразного резонанса или его полного устранения необходимо повышать запасы устойчивости системы по фазе или увеличивать линейную зону элемента типа насыщения.

В передаточной функции примера 2 изменим постоянные времени таким образом, чтобы запас системы по фазе 7 увеличился до 30°. Тогда явление скачкообразного резонанса будет проявляться значительно меньше, так как диапазон частот существенно сокращается, и амплитуда замкнутой системы при составит 2 дб. Дальнейшее повышение запаса устойчивости до 80° практически полностью устраняет явление

скачкообразного резонанса (см, рис. XII.36, кривые 2). Оценим теперь влияние расширения зоны линейности нелинейного элемента. При и зона линейности расширяется в два раза, тогда диапазон частот и уменьшается в четыре раза и амплитуда замкнутой системы при достигнет 2 дб.

Сравним полученные нами значения амплитуд и частот скачкообразного резонанса с расчетными и экспериментальными данными, полученными другими авторами. Соответствующие числовые данные приведены в табл XI 1.2. Из сравнения данных табл XII.2 видно, что расчетные значения, полученные в настоящей статье, достаточно хорошо согласуются с аналитическими расчетами и экспериментальными данными А. Хопкина и К- Огата.

Данная методика расчета пригодна при любых порядках линейных дифференциальных уравнений [42] и разных типах нелинейных элементов. Причем нелинейные элементы могут располагаться как в прямой цепи, так и цепях внутренних обратных связей.

Возможны и такие структуры систем автоматического управления, когда нелинейный элемент располагается во внутреннем контуре системы [33]. В этом случае передаточная функция замкнутой системы запишется в виде

откуда нетрудно найти условия устойчивости, т. е.

Из этого выражения видно, что амплитудно-фазовая характеристика системы строится с помощью номограммы замыкания. Применяя эту номограмму еще один раз, получим некоторую передаточную функцию системы вида

или

Сравнивая передаточные функции для устанавливаем, что

Таким образом, для построения логарифмических амплитудных и фазовых характеристик двухконтурных нелинейных систем управления необходимо два раза пользоваться номограммой замыкания.

Для определения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик трехконтурных нелинейных систем управления приходится прибегать к номограмме замыкания три раза и т. п.

Таблица ХII.2 (см. скан)