ГЛАВА II. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Реакция линейной системы с переменными параметрами на случайное воздействие представляет собой нестационарный случайный процесс, исследование которого является сложной задачей.

В настоящее время наиболее эффективный путь анализа и расчета линейных нестационарных систем при наличии случайных воздействий состоит в использовании аналоговых и цифровых вычислительных машин.

В этой главе рассматривается связь между корреляционными функциями сигналов на входе и выходе системы с переменными параметрами и выводится дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет корреляционная функция выходного сигнала. Исследуются методы построения формирующих фильтров для стационарных и простейших типов нестационарных входных сигналов и формулируются условия их физической реализуемости.

Показывается каким образом метод сопряженных систем может быть применен на основе понятия формирующих фильтров к статистическому анализу систем с переменными параметрами. Рассматривается способ статистического анализа при стационарных случайных воздействиях, позволяющий получать результаты как в аналитической, так и в графической формах при помощи обычных приемов частотных методов анализа.

В заключение приводятся методы синтеза оптимальных систем при случайных воздействиях в классе линейных систем с переменными параметрами. Оптимальные системы оказываются принадлежащими к этому классу либо когда воздействия нестационарны, либо когда формулировка критерия оптимальности такова, что он может быть реализован лишь при помощи системы с переменными параметрами.

1. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА СЛУЧАЙНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Рассмотрим случайный процесс с математическим ожиданием и корреляционной функцией

Среднее значение может быть любой функцией времени. Но корреляционная функция должна удовлетворять определенным условиям, которые заключаются в следующем:

1) из определения (11.1) следует, что

т. е. что корреляционная функция является симметричной функцией;

2) функция должна удовлетворять неравенству

Действительно, если а вещественная постоянная, то

Это выражение, очевидно, неотрицательно для любого а. Следовательно, его дискриминант должен быть положительным, откуда и следует неравенство (II.3).

Аналогичным образом можно показать, что взаимная корреляционная функция

двух случайных процессов должна удовлетворять условию

Кроме того, можно показать, что корреляционная функция является положительно определенной функцией.

Рис. 11.1 Система с переменными параметрами

Предположим, что ко входу системы с переменными параметрами (рис. II. 1), имеющей импульсную переходную функцию приложено в достаточно отдаленный момент времени случайное воздействие

Тогда для величины на выходе в любой текущий момент времени можно написать

Вычислим корреляционную функцию например, [3], [5]).

Для этого составим произведение

и усредним его по множеству реализаций входных сигналов . В результате получим

Полагая в уравнении (II.6) получим для общего случая нестационарной системы, находящейся под влиянием нестационарного воздействия, выражение для среднего значения квадрата функции в виде

Если воздействие является стационарной случайной функцией, то выражение (II.6) для корреляционной функции принимает вид

Это выражение показывает, что случайный процесс на выходе системы с переменными параметрами является нестационарным не только при нестационарных, но и при стационарных случайных воздействиях на входе.

Полагая в уравнении получим для дисперсии величины на выходе в случае стационарного воздействия (с нулевым средним значением) на входе выражение

И, наконец, если воздействие является стационарным „белым" шумом и то на основании формулы (II.9) для дисперсии получим

Для корреляционной функции имеем

Для определения свойств применим к обеим частям равенства (11.11) оператор Учитывая, что функция удовлетворяет уравнению (1.5), найдем

Так как под знаком интеграла функция приложена в точке а рассматриваемый интеграл определен при то он равен нулю.

Следовательно, при корреляционная функция нестационарного процесса на выходе линейной системы с переменными параметрами при подаче на ее вход „белого" шума удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению

Далее, сравнивая выражение (11.12) с уравнением (1.7), заметим, что при можно рассматривать как выходной сигнал системы с импульсной переходной функцией при подаче на ее вход в качестве воздействия импульсной переходной функции этой же системы как функции второго аргумента. Таким образом, имеем

С другой стороны, рассуждая аналогично, получим, что корреляционная функция удовлетворяет следующим уравнениям по аргументу

Отметим, что это следует также и из симметричности корреляционной функции относительно переменных . Эти уравнения определяют поведение корреляционной функции во всей области изменения аргументов . Очевидно, что для однозначности ее определения необходимо установить начальные условия. Для уравнения (11.13) они должны относиться к моменту т. е. необходимо задать значения дисперсии и производных от корреляционной функции при Для уравнения начальные условия определяются для момента приложения

входного воздействия и, следовательно, если система до приложения к ее входу случайного воздействия находилась в невозбужденном состоянии, являются нулевыми.