4. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУД И ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ ПАРАМЕТРОВ

Рассмотрим примеры определения областей устойчивых состояний и автоколебаний в нелинейных системах автоматического регулирования.

Пример 1. Исследуем следящую схему с нелинейным элементом типа насыщения в прямой цепи внутреннего контура. Структурная схема этой системы и ее преобразования показаны на рис. XII.2, г-ж. Пусть передаточные функции звеньев системы имеют следующий вид:

где — крутизна характеристики сельсинного устройства;

— коэффициент усиления электронного усилителя переменного тока;

— коэффициент усиления электронного усилителя постоянного тока;

— коэффициент усиления оконечного каскада электронного усилителя;

— передаточный коэффициент электродвигателя;

— постоянная времени электронного усилителя переменного тока;

— постоянная времени электродвигателя;

— передаточное число редуктора;

— передаточный коэффициент тахогенератора;

— степень ослабления сигнала обратной связи потенциометром.

Параметры следящей системы имеют следующие числовые значения:

С помощью структурной схемы (см. XII.2, ж) составим характеристическое уравнение в виде

Подставим передаточные функции (XII.84) в уравнение (XII.85); тогда получим

Для удобства построения логарифмических частотных характеристик в выражение (XII.86) введем следующие обозначения:

Тогда уравнение (XII.86) перепишем в виде

По уравнениям (XII.88) нетрудно найти уравнение гармонического баланса

Логарифмические характеристики для передаточной функции построены на рис. XII.10. Здесь же на рисунке построены логарифмические характеристики для передаточной функции

Из построенных характеристик видно, что в точках фазовые характеристики пересекают линию —180°, а через точки проходят характеристики шаблона. Соответствующие точки лежат на одной вертикали. Следовательно, в этих точках имеются периодические решения. Для определения частот устойчивых и неустойчивых колебаний перестроим найденные характеристики в линейном масштабе (рис. XII. 11). Точка пересечения соответствует автоколебаниям, так как с увеличением амплитуды на функция выходит из годографа (точка точка охватывается годографом

Тогда частота в точке определяет неустойчивые колебания. Точки (см. рис. XII.10) соответствуют точкам с автоколебаниями, т. е. (на рис. XII. 11), а точки — точке с неустойчивыми колебаниями или на рис. XII. 11.

Для определения характера периодических режимов на логарифмические характеристики определим в точках производные . В точках производные (что соответствует автоколебаниям), а в точке производная (т. е. неустойчивые колебания).

На основании этого сформулируем логарифмический критерий для определения характера колебаний. В нелинейной системе автоматического регулирования с нелинейностью типа насыщения возникают устойчивые колебания (автоколебания), когда точки пересечения характеристик лежат на одной вертикали с точкой пересечения характеристик и —180°, а производная фазовой характеристики по частоте в точке пересечения будет меньше нуля.

Рис. XII. 10. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой системы для четырех значений коэффициента усиления с различными положениями шаблонов нелинейного элемента (первого приближения)

Если производная по частоте

(кликните для просмотра скана)

в точке пересечения фазовой характеристики с осью —180 будет больше нуля (при сохранении положения точек пересечения амплитуд и фаз на одной вертикали), то в нелинейной системе возникают неустойчивые колебания. С течением времени частота и амплитуда неустойчивых колебаний будут изменяться, пока в системе не установятся устойчивые колебания (автоколебания).

На рис. XII. показаны области устойчивых состояний и колебаний в нелинейной следящей системе в зависимости от коэффициента усиления постоянной времени Уточнение областей устойчивых состояний и автоколебаний производилось путем учета влияния третьей гармоники для различных коэффициентов К с помощью шаблона (рис. XII.13). Накладывая шаблон на логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики (рис. XII. 10), получим уточненные значения частот и амплитуд колебаний. Значения после уточнений перенесены на рис. XII. точками, через которые проведены штриховые линии. Как видно из этого рисунка, области устойчивых состояний за счет влияния высших гармоник сокращаются. При коэффициенте усиления в следящей системе наблюдаются автоколебания, когда учитывается влияние третьей гармоники.

Без учета влияния третьей гармоники при таком значении коэффициента усиления К в следящей системе автоколебания отсутствуют.

Пример 2. Рассмотрим электропневматическую систему автоматического регулирования с двумя нелинейными элементами, разъединенными между собой линейным динамическим звеном.

Рис. XII. 13. Шаблоны первого и второго приближений для нелинейного элемента типа зоны насыщения при различных значениях коэффициентов К

Рис. XII. 14. Структурная схема электропневматической системы автоматического регулирования со струйным реле

Структурная схема этой системы изображена на рис. XII. 14. В качестве первого нелинейного элемента будем считать элемент типа насыщения; второй нелинейный элемент представляет собой релейную характеристику с зоной нечувствительности.

Передаточные функции устройств системы запишем в следующем виде: для потенциометрического сравнивающего устройства

для электронного усилителя

для струйной управляющей трубки

для пневматического силового цилиндра

Пусть параметры системы имеют следующие значения:

Объединим две нелинейности и стоящее между ними линейное звено в единое эквивалентное звено с приведенной передаточной функцией

Если линейное звено с передаточной функцией обеспечивает хорошую фильтрацию, то на входе второго нелинейного элемента получается практически чисто синусоидальный сигнал и влиянием высших гармоник можно пренебречь. В этом случае для рассматриваемых нелинейностей приведенная эквивалентная амплитуда двух нелинейных элементов может быть найдена умножением соответствующих коэффициентов в виде

где амплитуда на входе второго нелинейного элемента связана с амплитудой на входе первого нелинейного элемента следующей зависимостью:

Эквивалентная приведенная передаточная функция имеет и фазовую характеристику, определяемую параметрами передаточной функции .

По формуле (XII.91) вычислялись числовые значения в зависимости от как параметра. Соответствующие графики построены на рис. XII. 15.

Коэффициент гармонической линеаризации второй нелинейности определяется по формуле

где числовые значения брались с графика (рис. XII. 15) для тех же самых соотношений для которых определялись значения коэффициентов гармонической линеаризации

На рис. XII. 16 построен эквивалентный приведенный шаблон [амплитудные характеристики для трех значений и фазовые характеристики для пяти значений

Для определения амплитуд и частот автоколебаний построим на рис. XII. 17 логарифмические амплитудные (при — кривые 1—3) и фазовую (кривая 4) частотные характеристики линейной части системы, пользуясь передаточной функцией

Перенесем кривые с рис. XII.16 на прозрачную бумагу и наложим полученный таким образом шаблон на рис. XII. 17 так, чтобы его ось совпадала с осью частот.

Рис. XII. 15. Зависимость амплитуды от соотношения

Перемещаем шаблон вдоль оси частот до тех пор, пока прямая 180° — соответствующая некоторой частоте не пересечет фазовую частотную характеристику 6 в точке где частота равна Причем амплитудная характеристика соответствующая частоте пересекает характеристику в точке Точки лежат на одной вертикали. Поэтому частота является частотой автоколебаний элек-тропневматической следящей системы. Положение шаблона при показано на рис. XII. 17 линиями 5 и 6. С ростом коэффициента усиления следящей системы до положение шаблона изменяется и примет вид, показанный линией 7, а при уменьшении К до - линией. Как видно из рис. XII. 17, частота автоколебаний при изменении коэффициента усиления системы сохраняется неизменной. На рис. XII. 18 показаны значения частот (кривая 1) и амплитуд (кривая 2) автоколебаний в системе при различных коэффициентах усиления.

Найденные нами значения амплитуд и частот автоколебаний можно уточнить путем учета влияния высших гармоник. Для частоты автоколебаний и амплитуды автоколебаний рад. Это можно сделать по формуле

и

(кликните для просмотра скана)

Отсюда определим Далее по формулам (XII.80) и (XII.81) вычислим новые параметры шаблона. Фазовая характеристика изменится и ее новое положение показано на рис. XII. 17 линией 9, а характеристика линией 10. Здесь же на рис. XII. 17 даны два других положения шаблона (линии И и 12), соответствующие Кривые 13 и 14 (рис. XII. 17) — логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейного звена, расположенного между двумя нелинейностями.

Рис. XII. 18. Значения амплитуд и частот автоколебаний в электропневматической следящей системе в зависимости от коэффициента усиления: а — по расчетным и экспериментальным данным; б — осциллограммы трех автоколебательных процессов

На рис. XII. 18 показаны уточненные значения частот (кривая 3) и амплитуд (кривая 4) автоколебаний. Второе приближение, как и следовало ожидать, привело к изменению частоты автоколебаний в электропневматической следящей системе в зависимости от коэффициента усиления КДля сравнения на рис. XII. 18 нанесены значения частот (кривая 5), амплитуд (кривая 6) автоколебаний, полученные моделированием на электронной модели.

На рис. XII. 18 приведены три осциллограммы автоколебательных процессов в следящей системе, снятые при моделировании. Числовые значения амплитуд и частот автоколебаний, полученные расчетным путем и моделированием, приведены в табл. XII.1.

Таблица XII.1

Из таблицы видно, что вычисленные значения частот и амплитуд автоколебаний после второго приближения практически близки к полученным на электронной модели (когда учитываются все гармоники сигнала, а не только третья гармоника).

Из рассмотренных двух примеров видно, что в системах автоматического регулирования с наиболее часто встречающимися нечетными симметричными нелинейностями погрешность в определении частот и амплитуд автоколебаний из-за неучета влияния третьей гармоники зависит от параметров линейной части и доходит до 20%. В системах с нечетными симметричными нелинейностями типа треугольника или трапеции (где амплитуда третьей гармоники соизмерима с первой) погрешность в определении амплитуд и частот автоколебаний может доходить до 40%, а иногда и более. Такие большие значения погрешностей, очевидно, требуют при расчетах учитывать влияние высших гармоник на поведение нелинейных систем регулирования. Однако наиболее важным явлением, связанным с учетом влияния высших гармоник, следует считать появление автоколебательных режимов в системах, хотя при действии только первых гармоник эти системы находились в устойчивых состояниях.