Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. СТАБИЛИЗАЦИЯ, ТОЧНОСТЬ И ПОСТРОЕНИЕ СЕРВОМЕХАНИЗМА НА ПРИНЦИПЕ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

В настоящем параграфе излагается способ построения элементарной следящей системы или сервомеханизма, основанного на принципе устройств с переменной структурой. Главной особенностью такой следящей системы является достижение весьма высокой точности, характерной для систем с наличием теоретически почти бесконечного астатизма, или, во всяком случае, с таким высоким уровнем астатизма, который невозможен в настоящее время в обычных непрерывных следящих системах. Сервомеханизм работает устойчиво. Техническая реализация таких сервомеханизмов является принципиально простой и связана с построением переключающих устройств релейного типа. Указанные особенности рассматриваемых систем придают им особый интерес и значение [8], [9], [10].

Сервомеханизм, подробно исследованный в гл. V, может быть представлен в виде двух динамических звеньев первого порядка и звена сравнения, осуществляющего замер ошибки воспроизведения заданного сигнала Для того чтобы сосредоточить внимание лишь на эффекте переменной структуры сервомеханизма, учет зоны нечувствительности, насыщения в настоящем исследовании опущен. Кроме того, в отличие от предыдущего случая порядок соединения интегрирующего и апериодического звена изменен так, чтобы получить схему нагруженного сервомеханизма.

Уравнения движения и фазовая плоскость в случае линейной программы воспроизведения g(t)=at. Пусть входной сигнал воспроизводится сервомеханизмом с ошибкой

где — воспроизведение сервомеханизмов входного сигнала.

При этом уравнения, описывающие поведение сервомеханизма, будут:

для управляющего элемента

исполнительного элемента

В дальнейшем рассмотрим случай и примем следующий линейный закон управления

Тогда уравнение движения сервомеханизма примет вид

Обозначая

приведем уравнение (VI 1.39) к виду

Сервомеханизм имеет нулевую ошибку слежения при постоянном входном сигнале (ввиду его астатичности). При установившаяся ошибка сервомеханизма

а при — ошибка сервомеханизма возрастает со временем. Повышение порядка астатизма системы крайне затруднено и связано с введением сложных корректирующих устройств.

Решение указанной задачи эффективно при построении сервомеханизма с переменной структурой (рис. VII.21).

Рис. VII.21. Схема сервомеханизма с переменной структурой

Сервомеханизм с переменной структурой работает следующим образом: устройство 1 изучает сигнал и производит переключение контактов реле 2 с верхних на нижние или обратно с нижних на верхние; при этом средние контакты будут также замкнуты. В этом случае переменность структуры сервомеханизма будет означать наличие в цепи внутренней обратной связи двух элементов 3 или 4 с двумя различными законами управления. Смена законов управления подчинена точности воспроизведения задающего воздействия

При замкнутых верхних контактах в системе выдерживается закон управления

а при замкнутых нижних контактах закон управления изменяется на следующий:

В случае применения логической схемы переключения на много положений общий закон управления может быть записан в виде

Знаки в законах управления (VI 1.42) и (VII.43) различны; они обусловливают возможный переход от устойчивого состояния сервомеханизма к неустойчивому при смене законов управления и наоборот. Очевидно, что движение сервомеханизма устойчиво, если

где

и неустойчиво, если

где

При частное решение уравнения (VII.45) имеет вид

для закона управления а при частное решение уравнения (VI 1.47) будет

для закона управления

Теперь рассмотрим подробнее динамику движения сервомеханизма при . В этом случае уравнения движения (VI 1.45) и (VI 1.47) приведем к виду

или

где

— фазовые траектории, соответствующие уравнениям (VII.51) и (VII.52).

При фазовые траектории представляют собой раскручивающиеся спирали с центром в точке (см. рис. VII.22). При фазовые траектории — кривые параболического типа, которые стремятся к

Рис. V 11.22. Фазовая: плоскость сервомеханизма с переменной структурой при

Центр фазовых спиралей смещен от начала координат на величину , а узел парабол на величину Интерпретацию движения сервомеханизма с переменной структурой удобно производить на фазовой многолистной плоскости, каждый лист которой соответствует уравнениям (VII.51) и (VII.52). Границей листов фазовой плоскости является «линия переключения», соответствующая смене уравнений (VII.51) и (VII.52). Такой «линией переключения» является прямая, полученная из уравнения где Тогда на основании уравнения (VII.44) условие переключения примет вид

Пусть при

будет происходить движение сервомеханизма по уравнению (VII.52), а при

в соответствии с уравнением (VII.51). Тогда правый лист фазовой плоскости будет заполнен кусками спиралей, а левый — кусками парабол. Общее движение изображающей точки будет отражаться совокупностью указанных фазовых траекторий, а в случае наличия скользящего движения и кусками прямых.

Движение системы в скользящем режиме по прямой переключения при наличии внешнего сигнала представляет главную особенность, получаемую в системах переменной структуры, которая и обусловливает наличие астатизма в них при сложных видах задающего сигнала [6], [9]. В рассматриваемом случае условия скользящего движения могут быть найдены исходя из элементарного соотношения между углами наклонной фазовых траекторий и линии переключения на самой линии переключения.

Вычисляя производные фазовых траекторий при пересечении их линией переключения, получим следующее условие для скользящего движения:

где индексы означают вычисления фазовых производных согласно уравнениям (VII.51) и (VII.52) (листы I и II фазовой плоскости изображены на рис. VII.22). Для фазовых траекторий типа спиралей (лист I) эти производные равны

и соответственно для листа II с фазовыми траекториями типа парабол

Равенства двух фазовых производных и приводят к следующему условию:

Учитывая уравнение прямой переключения, получим два значения

и соответствующие им точки . Последняя точка указывает границы участков движения сервомеханизмов в скользящем режиме, расположенных на прямой переключения. Эта полупрямая располагается на прямой переключения от точки к точке Изображающая точка, будучи на листе

двигаясь по прямой переключения и находясь на ней, достигает начала координат. В случае начального расположения изображающей точки на листе II последняя, возможно, попадет в скользящий режим после нескольких переключений структуры сервомеханизма.

Как видно из уравнений (VII.51) и (VII.52), структура фазовой плоскости существенно зависит от параметра возмущения а. В случае особые точки фазовых траекторий меняются местами. Для сохранения теперь рассмотренных выше качеств движения необходимо изменить знаки переключения таким образом, чтобы при движение сиртемы определялось уравнением (VII.51), а при — уравнением (VII.52).

Рис. VII.23. Фазовая плоскость сервомеханизма с переменной структурой при

Положение листов в особых точках при симметрично изменяется. Фазовая плоскость для дана на рис. VI 1.23. Область скользящего режима определяется по прямой переключения от точки до точки

Таким образом функция переключения, управляющая сменой систем уравнений движения, оказывается зависимой от задающего воздействия, в частности от его производной . В общем случае закон переключения теперь имеет вид

где — функция, определяемая нелинейностью корректора.

Структурную схему сервомеханизма с нелинейным корректором можно представить в виде системы с переменной структурой

(рис. VII.24). Уравнения переключения нелинейного корректора можно записать в виде

при

и

при

Рис. VII.24. Схема сервомеханизма с переменной структурой — нелинейным корректором

Уравнения переключения нелинейного корректора можно упростить, записав их в виде

при

и

при

В указанных уравнениях (VII.65) и (VII.68) нелинейного корректора используется дифференцирование воздействия Прямое дифференцирование этого сигнала во всех случаях является трудной технической задачей, которая может быть обойдена методами косвенного замера , в частности, вычисления по производным Согласно структурной схеме сервомеханизма ошибка равна следовательно,

производная может быть заменена измерением двух сигналов и тогда

Таким образом, в случае косвенного замера управляющего воздействия уравнения нелинейного корректора примут вид

при

и

при (VII.71)

Соответственно уравнение (VII.60) может быть представлено в виде

Рассмотрим два вида управляющего воздействия. Первый, когда тогда и уравнение (VII.60) примет следующий вид:

где

В этом случае разбиение фазовой плоскости на подобласти определяется уравнениями

Фазовая плоскость, таким образом, оказывается разбитой на четыре подобласти (участка) прямыми и осью абсцисс и наклонной прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом Разбиение фазовой плоскости и ее заполнение фазовыми траекториями показано на рис. VI 1.25,а в виде поля касательных. Движение изображающей точки, в фазовой плоскости происходит по кускам парабол, спиралям и участкам прямой или лишь по спиралям и прямой переключения — последнее движение траектории является отражением скользящего режима.

Второй вид управляющего воздействия, когда . В этом случае на всем интервале времени и нелинейный корректор, как было указано выше, работает в соответствии с выражениями

Легко показать, что сервомеханизм с законом управления будет обладать в целом более высоким быстродействием.

В настоящем примере мы опускаем рассмотрение влияния изменения параметров Заметим лишь, что в случае, если выбрано так, что лист I будет заполнен кривыми параболического типа (лист II останется без изменения). Здесь поле касательных к фазовым траекториям всегда направлено К прямой (см. рис. VI 1.25,б). С течением времени наклон касательных к фазовым траекториям деформируется и стремится к прямым (рис. VII.25,в).

Рис. VII.25. Поле касательных к фазовым траекториям

Исследование фазовой плоскости показывает, что при некоторых параметрах и начальных условиях сервомеханизм становится неустойчивым. В области устойчивой работы сервомеханизма его ошибки будут возрастать по сравнению с исследуемым выше случаем.

Сервомеханизм n-го порядка астатизма. Рассмотрим построение сервомеханизма, воспроизводящего с нулевой статической ошибкой управляющее воздействие вида

В качестве примера возьмем сервомеханизм с переменной структурой, имеющий закон управления

где

Движение сервомеханизма может быть описано системой неоднородных дифференциальных уравнений в векторной форме с разрывной правой частью вида

где

Уравнение относительно перепишем в виде

Движение сервомеханизма описывается двумя уравнениями второго порядка. Одно из них соответствует положительному коэффициенту демпфирования а другое — отрицательному коэффициенту демпфирования Разбиение фазовой плоскости на два листа задается уравнением прямой

Уравнение движения сервомеханизма представим в виде

Уравнения изоклин фазовой плоскрсти запишем в виде

откуда

Для определения положения особых точек фазовой плоскости положим Координата на оси особой точки будет

равна Положения особых точек, расположенных на оси абсцисс, зависят от времени и определяются соответственно

Условие астатизма порядка в указанном классе сервомеханизма эквивалентно условию захвата движения точки, соответствующей системе уравнений сервомеханизма в скользящем режиме, т. е. по линии переключения с угловым коэффициентом

Захват изображающей точки возможен при расположении особых точек в разных полуплоскостях фазовой плоскости. Однако в момент и скользящее движение в начальный момент времени невозможно. При и ограниченном особая точка фазовых траекторий, соответствующая неустойчивой структуре сервомеханизма, переместится влево и будет располагаться на отрицательной оси абсцисс и, таким образом, начиная с некоторого в сервомеханизме возможен скользящий режим движения. Астатизм сервомеханизма порядка возникает именно в связи с появлением неустойчивой структуры движения сервомеханизма, когда скорость движения сервомеханизма по экспоненциальному закону с показателем становится больше скорости нарастания сигнала по закону степенной функции порядка. Не останавливаясь на исследовании полученного результата, заметим, что при

где

движение сервомеханизма будет обладать свойством астатизма порядка, что позволит обеспечить практически полную воспроизводимость сигнала с помощью конечных коэффициентов усиления путем скачкообразной перестройки структуры сервомеханизма.

Сервомеханизм с близким к бесконечности астатизмом. Рассмотрим построение сервомеханизма с переменной структурой с нулевой установившейся ошибкой воспроизведения заданного сигнала Поскольку воспроизведение сигнала в виде показательной функции можно представить как воспроизведение сигнала в виде степенного ряда при абсолютная точность воспроизведения этого сигнала при будет означать наличие в указанном сервомеханизме астдтизма Покажем, что

воспроизводится без статической ошибки сервомеханизма с переменной структурой с прежним законом и структурой, уравнения которого даны выше. В указанном случае, очевидно, имеем

Как видно из уравнений, сервомеханизм обладает двумя структурами:

с положительным коэффициентом демпфирования с отрицательным коэффициентом демпфирования Рассматриваемая фазовая плоскость движения системы нестационарна, однако линия переключения стационарна

Фазовая плоскость в каждый момент времени может быть разбита на два листа, определяемых условиями:

I лист, для которого и коэффициент демпфирования сервомеханизма отрицателен;

II лист, для которого и коэффициент демпфирования сервомеханизма положителен.

Уравнение изоклин Н фазовой плоскости записывается в виде

или

откуда

при этом уравнение особых точек (при будет

для I листа

и для II листа

Особые точки фазовых траекторий располагаются на левой и правой полуплоскостях фазовой плоскости, если Скользящий рёжим возможен, начиная При особые точки фазовых траекторий уходят в бесконечность и траектория скользящего режима может занимать линию переключения.

Движение изображающей точки состоит из перемещения вдоль кусков спиралей, а с момента времени, при котором также по прямой, причем последнее движение соответствует скользящему режиму, находясь в котором изображающая точка достигает начала координат, если только участок скользящего режима вдоль прямой включает начало координат.

Рис. VII.26. Осциллограмма процессов их полученная моделированием сервомеханизма с переменной структурой

Интересно отметить, что движение системы в скользящем режиме не зависит от параметров системы и определяется только параметрами корректора

Заметим, что возникновение астатизма в сервомеханизме при входном сигнале связано с опережением сигнала выходным сигналом за счет неустойчивой структуры, возможно в сервомеханизме с переменной структурой. При этом, очевидно, степень неустойчивости системы должна быть по модулю больше величины а. Моделирование переходных процессов в рассматриваемой системе с переменной структурой при произведено на линейной электронной моделирующей установке с коммутирующим устройством, управляющим сменой устойчивой и неустойчивой структуры модели сервомеханизма в соответствии с законом нелинейного корректора Сигнал был получен на модели как результат решения дифференциального уравнения первого порядка и подан в качестве входного сигнала на модель. Осциллограмма полученная при моделировании, показана на рис. VII.26. Сервомеханизм был включен спустя некоторое время после установления в течение которого накопилось до определенного значения. Как видно из графика, через короткое время сравнивается с g(t). В этот промежуток времени сервомеханизм неустойчив. Затем нелинейный корректор переключает структуру сервомеханизма на устойчивую и возвращает сигнал к равенству с сигналом g(t). В дальнейшем сервомеханизм находится в скользящем режиме, точно следя за сигналом

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru