5. СТАБИЛИЗАЦИЯ, ТОЧНОСТЬ И ПОСТРОЕНИЕ СЕРВОМЕХАНИЗМА НА ПРИНЦИПЕ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

В настоящем параграфе излагается способ построения элементарной следящей системы или сервомеханизма, основанного на принципе устройств с переменной структурой. Главной особенностью такой следящей системы является достижение весьма высокой точности, характерной для систем с наличием теоретически почти бесконечного астатизма, или, во всяком случае, с таким высоким уровнем астатизма, который невозможен в настоящее время в обычных непрерывных следящих системах. Сервомеханизм работает устойчиво. Техническая реализация таких сервомеханизмов является принципиально простой и связана с построением переключающих устройств релейного типа. Указанные особенности рассматриваемых систем придают им особый интерес и значение [8], [9], [10].

Сервомеханизм, подробно исследованный в гл. V, может быть представлен в виде двух динамических звеньев первого порядка и звена сравнения, осуществляющего замер ошибки воспроизведения заданного сигнала Для того чтобы сосредоточить внимание лишь на эффекте переменной структуры сервомеханизма, учет зоны нечувствительности, насыщения в настоящем исследовании опущен. Кроме того, в отличие от предыдущего случая порядок соединения интегрирующего и апериодического звена изменен так, чтобы получить схему нагруженного сервомеханизма.

Уравнения движения и фазовая плоскость в случае линейной программы воспроизведения g(t)=at. Пусть входной сигнал воспроизводится сервомеханизмом с ошибкой

где — воспроизведение сервомеханизмов входного сигнала.

При этом уравнения, описывающие поведение сервомеханизма, будут:

для управляющего элемента

исполнительного элемента

В дальнейшем рассмотрим случай и примем следующий линейный закон управления

Тогда уравнение движения сервомеханизма примет вид

Обозначая

приведем уравнение (VI 1.39) к виду

Сервомеханизм имеет нулевую ошибку слежения при постоянном входном сигнале (ввиду его астатичности). При установившаяся ошибка сервомеханизма

а при — ошибка сервомеханизма возрастает со временем. Повышение порядка астатизма системы крайне затруднено и связано с введением сложных корректирующих устройств.

Решение указанной задачи эффективно при построении сервомеханизма с переменной структурой (рис. VII.21).

Рис. VII.21. Схема сервомеханизма с переменной структурой

Сервомеханизм с переменной структурой работает следующим образом: устройство 1 изучает сигнал и производит переключение контактов реле 2 с верхних на нижние или обратно с нижних на верхние; при этом средние контакты будут также замкнуты. В этом случае переменность структуры сервомеханизма будет означать наличие в цепи внутренней обратной связи двух элементов 3 или 4 с двумя различными законами управления. Смена законов управления подчинена точности воспроизведения задающего воздействия

При замкнутых верхних контактах в системе выдерживается закон управления

а при замкнутых нижних контактах закон управления изменяется на следующий:

В случае применения логической схемы переключения на много положений общий закон управления может быть записан в виде

Знаки в законах управления (VI 1.42) и (VII.43) различны; они обусловливают возможный переход от устойчивого состояния сервомеханизма к неустойчивому при смене законов управления и наоборот. Очевидно, что движение сервомеханизма устойчиво, если

где

и неустойчиво, если

где

При частное решение уравнения (VII.45) имеет вид

для закона управления а при частное решение уравнения (VI 1.47) будет

для закона управления

Теперь рассмотрим подробнее динамику движения сервомеханизма при . В этом случае уравнения движения (VI 1.45) и (VI 1.47) приведем к виду

или

где

— фазовые траектории, соответствующие уравнениям (VII.51) и (VII.52).

При фазовые траектории представляют собой раскручивающиеся спирали с центром в точке (см. рис. VII.22). При фазовые траектории — кривые параболического типа, которые стремятся к

Рис. V 11.22. Фазовая: плоскость сервомеханизма с переменной структурой при

Центр фазовых спиралей смещен от начала координат на величину , а узел парабол на величину Интерпретацию движения сервомеханизма с переменной структурой удобно производить на фазовой многолистной плоскости, каждый лист которой соответствует уравнениям (VII.51) и (VII.52). Границей листов фазовой плоскости является «линия переключения», соответствующая смене уравнений (VII.51) и (VII.52). Такой «линией переключения» является прямая, полученная из уравнения где Тогда на основании уравнения (VII.44) условие переключения примет вид

Пусть при

будет происходить движение сервомеханизма по уравнению (VII.52), а при

в соответствии с уравнением (VII.51). Тогда правый лист фазовой плоскости будет заполнен кусками спиралей, а левый — кусками парабол. Общее движение изображающей точки будет отражаться совокупностью указанных фазовых траекторий, а в случае наличия скользящего движения и кусками прямых.

Движение системы в скользящем режиме по прямой переключения при наличии внешнего сигнала представляет главную особенность, получаемую в системах переменной структуры, которая и обусловливает наличие астатизма в них при сложных видах задающего сигнала [6], [9]. В рассматриваемом случае условия скользящего движения могут быть найдены исходя из элементарного соотношения между углами наклонной фазовых траекторий и линии переключения на самой линии переключения.

Вычисляя производные фазовых траекторий при пересечении их линией переключения, получим следующее условие для скользящего движения:

где индексы означают вычисления фазовых производных согласно уравнениям (VII.51) и (VII.52) (листы I и II фазовой плоскости изображены на рис. VII.22). Для фазовых траекторий типа спиралей (лист I) эти производные равны

и соответственно для листа II с фазовыми траекториями типа парабол

Равенства двух фазовых производных и приводят к следующему условию:

Учитывая уравнение прямой переключения, получим два значения

и соответствующие им точки . Последняя точка указывает границы участков движения сервомеханизмов в скользящем режиме, расположенных на прямой переключения. Эта полупрямая располагается на прямой переключения от точки к точке Изображающая точка, будучи на листе

двигаясь по прямой переключения и находясь на ней, достигает начала координат. В случае начального расположения изображающей точки на листе II последняя, возможно, попадет в скользящий режим после нескольких переключений структуры сервомеханизма.

Как видно из уравнений (VII.51) и (VII.52), структура фазовой плоскости существенно зависит от параметра возмущения а. В случае особые точки фазовых траекторий меняются местами. Для сохранения теперь рассмотренных выше качеств движения необходимо изменить знаки переключения таким образом, чтобы при движение сиртемы определялось уравнением (VII.51), а при — уравнением (VII.52).

Рис. VII.23. Фазовая плоскость сервомеханизма с переменной структурой при

Положение листов в особых точках при симметрично изменяется. Фазовая плоскость для дана на рис. VI 1.23. Область скользящего режима определяется по прямой переключения от точки до точки

Таким образом функция переключения, управляющая сменой систем уравнений движения, оказывается зависимой от задающего воздействия, в частности от его производной . В общем случае закон переключения теперь имеет вид

где — функция, определяемая нелинейностью корректора.

Структурную схему сервомеханизма с нелинейным корректором можно представить в виде системы с переменной структурой

(рис. VII.24). Уравнения переключения нелинейного корректора можно записать в виде

при

и

при

Рис. VII.24. Схема сервомеханизма с переменной структурой — нелинейным корректором

Уравнения переключения нелинейного корректора можно упростить, записав их в виде

при

и

при

В указанных уравнениях (VII.65) и (VII.68) нелинейного корректора используется дифференцирование воздействия Прямое дифференцирование этого сигнала во всех случаях является трудной технической задачей, которая может быть обойдена методами косвенного замера , в частности, вычисления по производным Согласно структурной схеме сервомеханизма ошибка равна следовательно,

производная может быть заменена измерением двух сигналов и тогда

Таким образом, в случае косвенного замера управляющего воздействия уравнения нелинейного корректора примут вид

при

и

при (VII.71)

Соответственно уравнение (VII.60) может быть представлено в виде

Рассмотрим два вида управляющего воздействия. Первый, когда тогда и уравнение (VII.60) примет следующий вид:

где

В этом случае разбиение фазовой плоскости на подобласти определяется уравнениями

Фазовая плоскость, таким образом, оказывается разбитой на четыре подобласти (участка) прямыми и осью абсцисс и наклонной прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом Разбиение фазовой плоскости и ее заполнение фазовыми траекториями показано на рис. VI 1.25,а в виде поля касательных. Движение изображающей точки, в фазовой плоскости происходит по кускам парабол, спиралям и участкам прямой или лишь по спиралям и прямой переключения — последнее движение траектории является отражением скользящего режима.

Второй вид управляющего воздействия, когда . В этом случае на всем интервале времени и нелинейный корректор, как было указано выше, работает в соответствии с выражениями

Легко показать, что сервомеханизм с законом управления будет обладать в целом более высоким быстродействием.

В настоящем примере мы опускаем рассмотрение влияния изменения параметров Заметим лишь, что в случае, если выбрано так, что лист I будет заполнен кривыми параболического типа (лист II останется без изменения). Здесь поле касательных к фазовым траекториям всегда направлено К прямой (см. рис. VI 1.25,б). С течением времени наклон касательных к фазовым траекториям деформируется и стремится к прямым (рис. VII.25,в).

Рис. VII.25. Поле касательных к фазовым траекториям

Исследование фазовой плоскости показывает, что при некоторых параметрах и начальных условиях сервомеханизм становится неустойчивым. В области устойчивой работы сервомеханизма его ошибки будут возрастать по сравнению с исследуемым выше случаем.

Сервомеханизм n-го порядка астатизма. Рассмотрим построение сервомеханизма, воспроизводящего с нулевой статической ошибкой управляющее воздействие вида

В качестве примера возьмем сервомеханизм с переменной структурой, имеющий закон управления

где

Движение сервомеханизма может быть описано системой неоднородных дифференциальных уравнений в векторной форме с разрывной правой частью вида

где

Уравнение относительно перепишем в виде

Движение сервомеханизма описывается двумя уравнениями второго порядка. Одно из них соответствует положительному коэффициенту демпфирования а другое — отрицательному коэффициенту демпфирования Разбиение фазовой плоскости на два листа задается уравнением прямой

Уравнение движения сервомеханизма представим в виде

Уравнения изоклин фазовой плоскрсти запишем в виде

откуда

Для определения положения особых точек фазовой плоскости положим Координата на оси особой точки будет

равна Положения особых точек, расположенных на оси абсцисс, зависят от времени и определяются соответственно

Условие астатизма порядка в указанном классе сервомеханизма эквивалентно условию захвата движения точки, соответствующей системе уравнений сервомеханизма в скользящем режиме, т. е. по линии переключения с угловым коэффициентом

Захват изображающей точки возможен при расположении особых точек в разных полуплоскостях фазовой плоскости. Однако в момент и скользящее движение в начальный момент времени невозможно. При и ограниченном особая точка фазовых траекторий, соответствующая неустойчивой структуре сервомеханизма, переместится влево и будет располагаться на отрицательной оси абсцисс и, таким образом, начиная с некоторого в сервомеханизме возможен скользящий режим движения. Астатизм сервомеханизма порядка возникает именно в связи с появлением неустойчивой структуры движения сервомеханизма, когда скорость движения сервомеханизма по экспоненциальному закону с показателем становится больше скорости нарастания сигнала по закону степенной функции порядка. Не останавливаясь на исследовании полученного результата, заметим, что при

где

движение сервомеханизма будет обладать свойством астатизма порядка, что позволит обеспечить практически полную воспроизводимость сигнала с помощью конечных коэффициентов усиления путем скачкообразной перестройки структуры сервомеханизма.

Сервомеханизм с близким к бесконечности астатизмом. Рассмотрим построение сервомеханизма с переменной структурой с нулевой установившейся ошибкой воспроизведения заданного сигнала Поскольку воспроизведение сигнала в виде показательной функции можно представить как воспроизведение сигнала в виде степенного ряда при абсолютная точность воспроизведения этого сигнала при будет означать наличие в указанном сервомеханизме астдтизма Покажем, что

воспроизводится без статической ошибки сервомеханизма с переменной структурой с прежним законом и структурой, уравнения которого даны выше. В указанном случае, очевидно, имеем

Как видно из уравнений, сервомеханизм обладает двумя структурами:

с положительным коэффициентом демпфирования с отрицательным коэффициентом демпфирования Рассматриваемая фазовая плоскость движения системы нестационарна, однако линия переключения стационарна

Фазовая плоскость в каждый момент времени может быть разбита на два листа, определяемых условиями:

I лист, для которого и коэффициент демпфирования сервомеханизма отрицателен;

II лист, для которого и коэффициент демпфирования сервомеханизма положителен.

Уравнение изоклин Н фазовой плоскости записывается в виде

или

откуда

при этом уравнение особых точек (при будет

для I листа

и для II листа

Особые точки фазовых траекторий располагаются на левой и правой полуплоскостях фазовой плоскости, если Скользящий рёжим возможен, начиная При особые точки фазовых траекторий уходят в бесконечность и траектория скользящего режима может занимать линию переключения.

Движение изображающей точки состоит из перемещения вдоль кусков спиралей, а с момента времени, при котором также по прямой, причем последнее движение соответствует скользящему режиму, находясь в котором изображающая точка достигает начала координат, если только участок скользящего режима вдоль прямой включает начало координат.

Рис. VII.26. Осциллограмма процессов их полученная моделированием сервомеханизма с переменной структурой

Интересно отметить, что движение системы в скользящем режиме не зависит от параметров системы и определяется только параметрами корректора

Заметим, что возникновение астатизма в сервомеханизме при входном сигнале связано с опережением сигнала выходным сигналом за счет неустойчивой структуры, возможно в сервомеханизме с переменной структурой. При этом, очевидно, степень неустойчивости системы должна быть по модулю больше величины а. Моделирование переходных процессов в рассматриваемой системе с переменной структурой при произведено на линейной электронной моделирующей установке с коммутирующим устройством, управляющим сменой устойчивой и неустойчивой структуры модели сервомеханизма в соответствии с законом нелинейного корректора Сигнал был получен на модели как результат решения дифференциального уравнения первого порядка и подан в качестве входного сигнала на модель. Осциллограмма полученная при моделировании, показана на рис. VII.26. Сервомеханизм был включен спустя некоторое время после установления в течение которого накопилось до определенного значения. Как видно из графика, через короткое время сравнивается с g(t). В этот промежуток времени сервомеханизм неустойчив. Затем нелинейный корректор переключает структуру сервомеханизма на устойчивую и возвращает сигнал к равенству с сигналом g(t). В дальнейшем сервомеханизм находится в скользящем режиме, точно следя за сигналом

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)