12. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

В предыдущих параграфах при анализе и синтезе нестационарных систем использовались их дифференциальные уравнения или временные динамические характеристики в виде импульсных переходных или весовых функций. Как известно (см. кн. 1, гл. VII), нестационарные системы имеют еще одну универсальную динамическую характеристику в виде параметрической передаточной функции.

Введение понятия параметрической передаточной функции позволяет обобщить частотные методы анализа и синтеза на системы с переменными параметрами. Ниже излагаются частотные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования, основанные на этом понятии.

Передаточная функция системы с переменными параметрами определяется (см. кн. 1, гл. VII, § 18) как преобразование Лапласа от импульсной переходной функции

где .

Обычно она называется параметрической передаточной функцией, так как аргумент рассматривается в ней как параметр. Это уравнение можно получить [20], умножая обе части уравнения (1.5) на и интегрируя в пределах от до

Выполняя последнее преобразование, получим

откуда, учитывая формулу (1.136), найдем

Но

Поэтому, полагая на основании последней формулы и уравнения (1.137) можем написать

Введя обозначения

окончательно получим

т. e. дифференциальное уравнение, имеющее такой же порядок, как и исходное уравнение (1.1) или уравнение (1.5).

Если в интервале наблюдения, в котором мы интересуемся поведением системы, функции являются аналитическими, то в качестве передаточной функции может быть выбрано всякое частное решение уравнения (1.138). Это следует из того обстоятельства, что какой бы ни была передаточная функция вне интервала наблюдения, это не должно иметь значения для поведения системы в интервале наблюдения. Поэтому начальные значения функции для интервала наблюдения можно выбирать произвольно. В большинстве случаев передаточную функцию проще всего искать как установившееся (частное) решение уравнения (1.138).

В том случае, когда внутри интервала наблюдения вид дифференциального уравнения системы претерпевает изменения в некоторый момент времени функция должна удовлетворять граничным условиям:

Эти условия всегда имеют место, если параметры системы изменяются непрерывно и, следовательно, передаточная функция также является непрерывной функцией от

Зная функцию можно найти переходный процесс вызываемый в нестационарной системе воздействием при помощи следующей формулы:

где

Таким образом, задача анализа нестационарной системы сводится к нахождению ее передаточной функции

Формула (1.139) отличается от соответствующей формулы для системы с постоянными параметрами (см. кн. 1, гл. XV)

лишь тем, что функция зависит от

Отсюда следует, что если рассматривать как параметр [т. е. задаваться в формуле (1.139) фиксированными значениями то все методы анализа систем с постоянными параметрами, основанными на выражении (1.140), легко обобщаются и на нестационарные системы. В частности, для определения по формуле (1.139) могут быть использованы таблицы преобразований Лапласа, теорема разложения, метод трапецеидальных частотных характеристик и т. д.

К сожалению, точное решение уравнения (1.138) в общем случае не менее затруднительно, чем решение уравнения (1.1). Поэтому представляют интерес приближенные методы его решения. Один из таких методов излагается ниже.

Предположим, что коэффициенты в уравнении (1.137) являются медленно изменяющимися функциями времени t. В этом случае решение уравнения (1.137) можно искать методом последовательных приближений в виде ряда:

где первое приближение может быть получено, если в уравнении (1.137) предположить, что производные равны нулю.

Для получения последующих приближений можно воспользоваться рекуррентной формулой, получаемой из уравнения (1.138):

В ряде случаев решение (1.141) является степенным рядом относительно малого параметра, и исследование его сходимости не представляет труда.