6. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Частотные характеристики замкнутых линейных систем автоматического регулирования определяются по номограмме, связывающей логарифмические амплитуду и фазу замкнутой системы с амплитудой и фазой разомкнутой системы (см. рис. VIII. 12 в кн. 1). Как известно, основой для построения характеристики замкнутой системы служит формула

Эта формула, очевидно, справедлива лишь для линейных систем.

Для различных нелинейных систем автоматического регулирования (см. рис. XII. 1) формулы для передаточных функций в замкнутом виде могут быть записаны в следующих формах:

или

или

Последние две формулы приведем к виду

и

Отметим, что в формулах (XII.128) и (XII.129) первые сомножители аналогичны выражению (XII.125). Разделим числитель и знаменатель формулы (XII. 125) на ; тогда получим

Из сравнения выражений (XII. 130) и (XII.124) видно, что если логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика линейной системы строится относительно центра номограммы с координатами 0 дб, —180°, что соответствует (первому члену в формуле XII.124), то логарифмические амплитудно-фазовые характеристики линейной части системы с однозначными нелинейностями строятся относительно смещаемых центров номограммы вдоль оси —180° на величины (что соответствует значениям

Таким образом на номограмме (рис, XII.29, а) получается семейство лога рифмических амплитудно-фазовых рактеристик линейной части системы. В точках пересечения логарифмических амплитудно-фазовых характеристик со сплошными линиями номог граммы получаются значения амплитуд, замкнутой нелинейной системы, а в точках пересечения со штриховыми линиями значения фаз замкнутой нелинейной системы.

Рис. XII. 29. Определение семейства амплитудных и фазовых частотных характеристик для нелинейной замкнутой системы: а — с однозначной нелинейностью, б — с двухзначной нелинейностью; в — с двумя нелинейностями, разъединенными между собой линейным динамическим звеном

Из данного построения видно, что каждому значению амплитуды А соответствует своя логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики замкнутой системы (семейства амплитуд и фаз).

Для систем с двузначными нелинейностями характеристика строится как обратная приведенная амплитуда (в дб) и фаза (в град) [см. рис. XIII.29, б]. На этой эквивалентной амплитуднофазовой характеристике производится разметка амплитуд . Точки, соответствующие интересующим нас амплитудам,

совмещаются с центром номограммы. При этом также получаются семейства амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутых нелинейных систем [33].

Для удобства пользования номограммами целесообразно характеристику и логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику линейной части строить на прозрачной бумаге. Накладывая прозрачную бумагу с построенными на ней характеристиками, можно получить семейство амплитудных и фазовых характеристик замкнутых нелинейных систем.

В системах автоматического регулирования с двумя и большими количествами нелинейностей, с заключенными между ними линейными динамическими звеньями, используют эквивалентные приведенные передаточные функции при наличии которых передаточная функция нелинейной замкнутой системы имеет

Функция зависит от двух переменных А и , поэтому на прозрачной бумаге она будет изображаться в виде серии кривых с изменяющейся частотой и постоянными значениями амплитуд А. Для получения амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутой системы будем накладывать прозрачную бумагу на номограмму, совмещая начало номограммы с точкой кривой имеющей постоянную амплитуду и некоторую частоту Значения амплитуд и фаз замкнутой системы определяем в точке пересечения логарифмической амплитудно-фазовой характеристики с той же частотой , с кривыми номограммы (см. рис. XIII.29, в). Перемещая прозрачную бумагу с нанесенными на ней кривыми и по номограмме получим семейства амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутых систем.

Сравнительные показатели качества систем автоматического регулирования могут быть определены по замкнутым амплитудам и фазовым характеристикам нелинейных систем с помощью изменений показателя колебательности системы М и ее собственной частоты колебаний (резонансной частоты) [46].

Пример 5. Оценим качество процессов регулирования по М и Для системы автоматического регулирования с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

и нелинейным элементом в виде люфта . В коэффициент усиления всей системы входит передаточное число редуктора

(кликните для просмотра скана)

На рис. XII.30, а линией 1 показана обратная эквивалентная логарифмическая характеристика а линией 2—5 — положение характеристик при соответственно. По точкам касания с линиями равных значений замкнутых амплитуд определим показатели колебательности М и частот (сплошные линии на рис. XII.31).

Рис. XII. 31. Характеристики показателей колебательности и собственных частот колебаний системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию И нелинейность типа люфт, имеющей

С целью уточнения параметров качества М и можно пользоваться характеристиками построенными с учетом влияния высших гармоник [9]. Для этого следует построить график при учете влияния третьей гармоники и логарифмические характеристики С помощью этих графиков и номограммы определяем М, сорт (рис. XII.32, а).

Полученные значения амплитуд и частот замкнутой системы нанесены точками на рис. XII.31. Через эти точки проведены две штриховые линии.

Из построенных двух кривых видно, что в следящей системе с люфтом неучет влияния третьей гармоники вносит погрешность в определении сравнительных показателей качества по амплитуде, примерно равную при а при Погрешность по частоте в указанном диапазоне изменений — не превышает 5%. По номограмме (рис. XII.30, а) определяем амплитудную и фазовую частотные характерйстики замкнутой системы в зависимости от частоты и соотношения Амплитудные характеристики построены на рис. XII.33, а, а фазовые — на рис.

Распространим предложенную методику на исследование многоконтурных нелинейных систем автоматического регулирования. В виде задачи рассмотрим систему автоматического регулирования из примера 1. Структурная схема системы показана на рис. XII.34, а. С помощью структурной схемы определим передаточную функцию всей замкнутой системы в виде

(кликните для просмотра скана)

откуда получим

Введем последнее выражение следующее обозначение:

тогда

Рис. XII. 33. Логарифмические частотные характеристикизамкнутой системы с нелинейностью: а — амплитудная; б — фазовая

В выражениях (XII. 133) и (XII. 134) использованы следующие передаточные функции:

Если принять

то из выражения (XII. 134) нетрудно найти условия гармонической линеаризации в виде

где

Из формулы (XII. 133) видно, что для получения шаблона нелинейного звена необходимо построить логарифмическую амплитудную и фазовую частотные характеристики по

Рис. XII. 34. Характеристики многоконтурной системы автоматического регулирования: а — структурная схема; б - номограмма замыкания с пятью амплитудно-фазовыми частотными характеристиками разомкнутого внутреннего контура системы; в — шаблон для нелинейного приведенного звена

передаточной функции На рис. XII.35 соответствующее построение выполнено кривой 1 (для амплитуды) и кривой 2 (для фазы); при этом использованы параметры системы, приведенные в примере 1. Далее, применяя методику, данную в этом параграфе, получим семейство логарифмических амплитудно-фазовых характеристик (нанесены на номограмме замыкания рис. XII.34, б), откуда нетрудно получить шаблон с характеристиками (см. рис. XII.34, в).

Рис. XII. 34. (см. скан) Характеристики многоконтурной системы автоматического регулирования: а — структурная схема; б - номограмма замыкания с пятью амплитудно-фазовыми частотными характеристиками разомкнутого внутреннего контура системы; в — шаблон для нелинейного приведенного звена

Построим на рис. XI 1.35 логарифмические амплитудные частотные характеристики и фазовую частотную характеристику (линия. 7).

Рис. XII. 35. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для передаточной функции с пятью положениями приведенных шаблонов

После этого наложим шаблон (рис. XII.34, в) на рис. XII.35 таким образом, чтобы линии шаблона, соответствующие некоторой частоте пересекали характеристику при той же частоте а точки пересечения лежали бы на одной вертикали.

На рис. XII.35 показано пять положений шаблона, соответствующих Точки пересечения шаблонов с кривыми соответствуют автоколебаниям в системе. Нанесем полученные значения частот и амплитуд

автоколебаний треугольниками на рис. XII. 12, а и б. Как видно из рисунка, полученные этим методом значения амплитуд и частот автоколебаний достаточно близко совпадают с ранее вычисленными в примере 1.

В заключение следует отметить, что для большинства многоконтурных нелинейных систем автоматического регулирования определение частотных характеристик замкнутых контуров возможно только на основе приведенной выше методики. Точность определения амплитуд и частот автоколебаний в значительной степени определяется точностью применяемой номограммы замыкания. Для принятых нами номограмм ошибка определения амплитуды и частоты автоколебаний, полученная от неточности построения, не превышает 2,5%.