1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ

Рассмотрим широкий класс нелинейных систем, уравнения которых сводятся к виду

или же

где — многочлены с постоянными коэффициентами, причем степень ниже степени

Автоколебания представляют собой нелинейные колебания. Поэтому они, вообще говоря, имеют несинусоидальную форму, особенно на выходе нелинейного звена.

Однако после прохождения через линейную часть системы высшие гармоники подавляются (свойство фильтра) и на выходе х нелинейного звена автоколебания будут близки к синусоиде

Рис. Х.2. Петлевая нелинейность

Для отыскания амплитуды А и частоты этого периодического решения необходимо произвести гармоническую линеаризацию нелинейности, т. е., ограничиваясь первой гармоникой разложения нелинейной функции в ряд Фурье, произвести замену

где для однозначной нелинейности [рис. (Х.1)] имеем

а для петлевой нелинейности [рис. (Х.2)] добавится коэффициент

В случае нелинейности общего вида имеем

Конкретные выражения этих коэффициентов гармонической линеаризации даны в приложении I и II табл. 1. Сделав в уравнении или подстановку выражения получим гармонически линеаризованное уравнение системы в виде

Периодическое решение будет иметь место в том случае, когда характеристическое уравнение замкнутой системы

имеет пару чисто мнимых корней Это и является исходным положением для отыскания амплитуды А и частоты периодического решения.

Рассмотрим несколько способов решения этой задачи [7, 13].

Первый способ заключается в следующем. В характеристическое уравнение подставляем чисто мнимое значение и в полученном комплексном выражении

выделяем вещественную и мнимую части в виде

где X и Y будут многочленами по степеням , причем в коэффициенты их вместе с среди других величин будет входить искомая амплитуда А. Таким образом, из соотношения получим два алгебраических (возможно трансцендентных) уравнения

с двумя неизвестными А и , которые, следовательно, и будут определены путем решения пары алгебраических уравнений Если выражения сложны, то можно пользоваться непосредственно уравнениями в сочетании с готовыми графиками для любой нелинейности или же для нелинейностей (см. приложения I и II табл. 2).

По своему физическому смыслу амплитуда А и частота периодического решения являются вещественными положительными числами. Поэтому, если в результате решения пары уравнений или хотя бы одна из двух неизвестных А и окажется отрицательной или же мнимой, или комплексной, то будем считать, что периодическое решение отсутствует и, следовательно, автоколебаний, близких к указанному виду в данной системе, не будет.

Если же решение пары уравнений или дает для неизвестных А и вещественные положительные ответы, то будем считать, что периодическое решение, близкое к

имеется. Однако существование периодического решения еще не означает наличия автоколебаний в данной системе, так как только устойчивое периодическое решение уравнения или соответствует автоколебаниям. Иногда по смыслу задачи можно заключить, что это автоколебания. В противном случае, чтобы определить автоколебания, нужно исследовать еще устойчивость найденного периодического решения (см. ниже).

Второй способ определения А и со базируется на том, что условием наличия пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица

(все остальные определители Гурвица должны быть положительны).

В качестве второго уравнения, которое необходимо сюда добавить, чтобы найти неизвестные (А и ), надо взять одно из уравнений Если записать характеристическое уравнение в виде

где коэффициенты могут зависеть от искомых А и [или только от А в случае однозначной нелинейности то, например, для системы четвертого порядка уравнение имеет вид

а второе из уравнений дает

Для систем третьего порядка аналогичные два уравнения имеют вид

Для систем второго порядка

Все общие замечания, которые были указаны при рассмотрении первого способа, остаются в силе.

Второй способ имеет практический смысл только тогда, когда коэффициенты не зависят от , т. е. только для случая однозначной нелинейности . В этом случае уравнение содержит одну неизвестную А, которая и определяется из данного уравнения независимо от частоты Последняя определяется затем отдельно из второго уравнения

Третий способ определения А и , который можно применять в особо сложных случаях, когда другие приемы оказываются слишком громоздкими, заключается в построении годографов типа кривой Михайлова. Рассматривая величины X и Y в

венствах как прямоугольные координаты, надо строить кривые для серии конкретных значений А при

Равенствам удовлетворяет та кривая, которая пройдет через начало координат, чем и определяются искомые значения А и . Поэтому практически надо строить не все кривые, а только их участки вблизи начала координат. После этого надо исследовать устойчивость найденного периодического решения (см. ниже).

Если ни при каком значении А кривая не проходит через начало координат, периодического решения (а значит, и автоколебаний), близкого к виду нет.

Четвертый способ. Главной задачей практических расчетов конкретных автоматических систем обычно является выбор параметров системы, исходя из желательных значений амплитуды А и частоты автоколебаний, либо исходя из требования устойчивости системы без автоколебаний. Поэтому в конкретных системах обычно представляет интерес получение зависимостей величин А и от одного или нескольких параметров системы (например, от коэффициента усиления линейной части от коэффициента обратной связи от какой-либо постоянной времени

Рис. Х.3. Определение автоколебаний третьим способом

Естественно, что для решения этой задачи может быть применен любой из указанных выше способов, если в нем определять величины А и , меняя какие-либо параметры системы. Однако для решения данной задачи могут быть применены и другие приемы, которые в ряде случаев будут проще [7, 13]. Например, если нужно найти зависимости и то в уравнениях следует считать неизвестными переменными не две величины , а три , т. е.

Обычно величина А входит в уравнения сложным образом через Поэтому часто значительно проще будет определить из этих уравнений не величину , а величину (или другой параметр), задаваясь значениями А. В этом и состоит сущность четвертого способа. Последний способ может иметь много вариантов в зависимости от сложности уравнений

Довольно универсальными могут быть следующие:

1. Из уравнений исключаем параметр в результате чего получим

а затем по одному из уравнений

Дальше на основании функций легко строятся искомые зависимости и

Решение во многих практических задачах получается, сразу в явном виде. В более сложных случаях после исключения из выражений получим уравнение вида

При этом задача решается графически путем нанесения кривой и серии кривых при разных значениях что представлено на рис. Х.4, а.

Координаты всех точек пересечения и дают искомую зависимость, а затем, следовательно, и выражение

Рис. X.4. Определение автоколебаний четвертым способом

2. Если интересует выбор двух параметров системы, то можно пользоваться указанным выше способом по отдельности для каждого параметра. Но можно поступить и иначе. Обозначив их через и Т, запишем выражение в виде

откуда

По этим формулам, задаваясь разными значениями можно, меняя , на плоскости параметров (рис. построить линии по параметрическим уравнениям Таким образом получаются линии (рис. Х.4, б). Затем, соединив между собой точки на этих линиях с одинаковыми значениями , получим линии (рис. Х.4, б).

Полученная диаграмма позволяет выбрать сразу два параметра системы , исходя из желательных значений амплитуды и частоты автоколебаний или же исходя из требования отсутствия автоколебаний (область на рис. Х.4, б, которая не заполнена кривыми).

Пятый способ — частотный с использованием амплитудно-фазовых характеристик [4] был описан в гл. IX.

Шестой способ — то же частотный, но сводится к построению логарифмических амплитудно-фазовых характеристик линейной части и нелинейности — где в прямоугольных координатах [по оси ординат откладываются в дб значения логарифмических амплитудных характеристик, а по оси абсцисс — значения фазовых характеристик в град (рис. Х.5)]. Этим способом можно решать, например, одну из важных задач практических расчетов — выбор коэффициента усиления линейной части системы, исходя из желательных значений амплитуды А и частоты автоколебаний, либо исходя из требования устойчивости системы без автоколебаний. Для решения указанной задачи достаточно построить с соблюдением масштаба характеристику на кальке и, совместив оси ординат обоих графиков, передвигать характеристику вверх или вниз до тех пор, пока точка пересечения этих характеристик не будет соответствовать желательным значениям А и . Ордината, соответствующая новому (отличному от нуля) значению оси абсцисс, покажет, во сколько раз нужно изменить коэффициент усиления линейной части чтобы обеспечить требуемые динамические свойства системы.

Рис. Х.5. Определение автоколебаний с помощью амплитудно-фазовой частотной характеристики и обратной эквивалентной характеристики нелинейности

Седьмой способ — сводится к совместному рассмотрению логарифмических амплитудной и фазовой характеристик линейной части системы а также характеристики, отображающей нелинейность которая на рис. изображена штриховой линией.

В левой части рис. Х.6 нанесена вспомогательная логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика поясняющая необходимые построения для получения искомой характеристики — Отмеченное построение характеристики полностью аналогично построению запретных зон показателей

колебательности для фазовой частотной логарифмической характеристики, выполненному в работе [14].

Точки пересечения фазовой характеристики с характеристикой — показывают на возможность существования периодических решений и, следовательно, позволяют определить значения амплитуды А и частоты автоколебаний.

Такой способ расчета автоколебаний удобен в тех случаях, когда при практических расчетах конкретных автоматических систем используется метод логарифмических частотных характеристик.

Рассмотренные способы определения автоколебаний, за исключением второго, могут применяться и к системам, содержащим элемент чистого запаздывания.

Рис. Х.6. Определение автоколебаний с помощью логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристики и логарифмической обратной эквивалентной характеристики нелинейности

Тогда а характеристическое уравнение добавляется в соответствующем месте множитель

который следует разложить на вещественную и мнимую части в виде

В данном параграфе рассматривались системы с одной нелинейностью. Однако метод гармонической линеаризации легко распространяется и на многие более сложные случаи. О более сложных системах (со сложными нелинейностями и с несколькими нелинейностями) см. гл. XII и работы [1, 6, 11, 13, 14].

Устойчивость периодического решения. Если найдено периодическое решение, то для того, чтобы определить, соответствует ли оно автоколебаниям или нет, нужно исследовать его устойчивость. Особенно это относится к случаю наличия одновременно двух или более периодических решений. При практических расчетах исследование устойчивости и периодического решения обычно ведется приближенными способами путем использования линейных критериев устойчивости.

Сначала рассмотрим критерии устойчивости периодического решения, основанные на применении критерия Михайлова [7]. Выражение для построения кривой Михайлова по уравнению (X .5) может быть получено путем подстановки в него т. е.

где через обозначен текущий параметр кривой Михайлова в отличие от частоты о) периодического решения.

Рис. Х.7. К доказательству аналитического критерия устойчивости периодического решения

Выделим в этом выражении вещественную и мнимую части

Известно, что для случая периодического решения, т. е. при наличии, пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении, кривая Михайлова проходит через начало координат (рис. Х.7), причем в точке кривой, совпадающей с началом координат, параметр равняется абсолютной величине мнимого корля (частоте периодического решения).

Дадим малое отклонение амплитуде вследствие чего коэффициенты выражения изменятся и кривая Михайлова отклонится от начала координат в ту или другую сторону. В том случае, когда критерий Михайлова, известный из линейной теории автоматического регулирования, удовлетворяется (кривая рис. Х.7), то в системе будут затухающие колебания, а когда он не удовлетворяется (кривая 2), то в системе наблюдаются расходящиеся колебания.

Следовательно, для устойчивости периодического решения, т. е. для возможности существования автоколебаний, требуется, чтобы при критерий Михайлова удовлетворялся, а при не удовлетворялся. Этим критерием удобно пользоваться, когда частота и амплитуда периодического решения определяются графически по третьему способу.

В аналитической форме тот же критерий устойчивости выражается следующим образом. Перемещение точки О кривой

Михайлова при малом изменении А можно характеризовать вектором с проекциями

а перемещение точки вдоль кривой Михайлова определяется вектором (рис. Х.7) с проекциями

В обоих случаях звездочка соответствует подстановке конкретных значений А и исследуемого периодического решения в частные производные от выражений X и входящих в выражение эта подстановка соответствует начальному положению точки О. Пользуясь правилами векторной алгебры, определим угол между векторами

Из рис. Х.7 видно, что, если взять то для выполнения сформулированного выше критерия устойчивости периодического решения требуется, чтобы вектор был отклонен от вектора против часовой стрелки при и по часовой стрелке при Отсюда, согласно выражению следует

Поскольку величины и положительны как модули векторов, то после подстановки значений получим, что для устойчивости периодического решения требуется, во-первых, выполнение условия

При этом производные по А, входящие в соотношение удобно вычислять в виде

во-вторых, кроме выполнения условия требуется, чтобы весь ход остальной части кривой Михайлова (за исключением одной точки О в начале координат), как показано на рис. Х.7, удовлетворял критерию Михайлова.

Последнее условие надо специально проверять только для систем пятого порядка и выше. Для систем третьего и четвертого порядков это условие сводится к простому требованию положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы.

Аналитической формой критерия особенно удобно пользоваться при определении амплитуды и частоты периодического решения первым и четвертым способами.

Критерий устойчивости периодического решения основан на применении критерия Найквиста (см. в гл. IX). Применение его целесообразно при расчете автоколебаний частотными методами.

Критерий устойчивости периодического решения, основанный на применении критерия Гурвица [7], заключается в том, чтобы при характеристическое уравнение системы удовлетворяло критерию Гурвица, а при удовлетворялись бы все условия Гурвица, кроме одного Напомним, что при т. е. для самого периодического решения,

В аналитической форме этот критерий устойчивости периодического решения может быть представлен следующим образом.

Во-первых, необходимо, чтобы

где звездочка означает подстановку величины А, соответствующей периодическому решению, устойчивость которого исследуется. При этом знак выражения не должен меняться при малом отклонении в обе стороны от значения, соответствующего исследуемому периодическому решению, если величина входит в коэффициенты a и b.

Во-вторых, при значениях отвечающих исследуемому периодическому решению, должны быть положительными все остальные определители Гурвица за исключением уже обследованного определителя Для систем третьего и четвертого порядков это эквивалентно просто положительности всех коэффициентов уравнения. Этим критерием особенно удобно пользоваться при расчете автоколебаний вторым способом.