ГЛАВА IV. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА КОНЕЧНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ
Методы анализа и синтеза линейных систем с переменными параметрами, изложенные в предыдущих главах, приводят к необходимости решения либо дифференциальных уравнений с переменными параметрами, либо интегральных уравнений с ядрами, являющимися функциями двух переменных. В частности, как импульсная переходная функция, так и параметрическая передаточная функция системы с обратной связью являются решениями интегральных уравнений соответственно во временной и в комплексной областях. К решению интегральных уравнений сводится также задача определения импульсных переходных и передаточных функций корректирующих фильтров. Решение этих уравнений в ряде случаев может быть связано с существенными вычислительными трудностями. Аналогичные затруднения возникают при определении статистических характеристик выходных сигналов систем с переменными параметрами при нестационарных воздействиях, определении импульсной переходной и передаточных функций по дифференциальному уравнению системы и т. д. Путь преодоления этих трудностей состоит в применении цифровой вычислительной техники.
В настоящей главе излагается спектральный метод анализа линейных систем с переменными параметрами [14], [17], являющийся обобщением частотного метода. Данный метод приводит к алгебраическим зависимостям и соотношениям в спектральной области в матричной форме, весьма удобным при использовании цифровых вычислительных машин и для ручного счета при небольшом объеме вычислений. Он основан на понятии нестационарных ортогональных функций, т. е. функций ортогональных на переменном во времени отрезке, позволяющих описывать свойства сигналов и систем на конечном и непрерывно изменяющемся интервале работы последних в зависимости от текущего времени
Одним из важных следствий алгебраического характера алгоритмов анализа и синтеза излагаемого метода является возможность получить в явном виде общее выражение для матриц
передаточных функций по дифференциальному уравнению системы с переменными параметрами.
Спектральные методы данной главы не имеют ограничений на число переменных параметров системы, порядок ее дифференциального уравнения. Все вводимые в рассмотрение характеристики сигналов и систем могут быть определены экспериментально.
При решении задач анализа и синтеза обычно система может рассматриваться на фиксированном постоянном интервале времени. В этом случае достаточно использовать лишь сечения нестационарных передаточных функций, спектральных характеристик и спектральных плотностей при фиксированном аргументе
Эти сечения описывают систему и воздействия на выбранном постоянном интервале времени и, вообще говоря, определяются относительно систем функций, ортогональных на постоянном отрезке. Однако в ряде случаев наименьшие вычислительные трудности возникают, если система рассматривается на непрерывно меняющемся интервале.
Спектральный аппарат анализа систем с переменными параметрами на конечных нестационарных интервалах времени позволяет развить спектральный (ортогональный) принцип построения самонастраивающихся систем, не связанный с предположением о квазистационарности характеристик как систем, так и внешних воздействий (см. гл. XX).
В данной главе рассматривается понятие нестационарных ортогональных функций и нестационарных ортогональных разложений. Дается определение нестационарной спектральной характеристики соответствующей функции времени и определяются нестационарные передаточные функции линейных систем. Эти нестационарные передаточные функции являются аналогами обобщенной [4] параметрической и бичастотной передаточных функций [18], введенных в классическом частотном анализе.
Устанавливаются связи между нестационарными передаточными функциями параллельного, последовательного соединения динамических звеньев и соединения с обратной связью. Приводится матричная форма записи наиболее важных связей между двумерными передаточными функциями. Далее показывается связь нестационарных передаточных функций с дифференциальными уравнениями систем с переменными параметрами и решаются задачи анализа нестационарных систем при детерминированных и случайных воздействиях.
Значительное влияние уделено методам экспериментального определения нестационарных спектральных характеристик, спектральных плотностей, передаточных функций, непрерывного получения среднеквадратических ошибок.
В конце главы рассматриваются задачи синтеза оптимальных характеристик и корректирующих фильтров систем с переменными параметрами.