2. СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ В СЕРВОМЕХАНИЗМАХ С РЕЛЕЙНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Рассмотрим стабилизирующее действие обратных связей в однокаскадных, двухкаскадных и т. д. сервомеханизмах с релейным управлением.

Для выявления эффекта стабилизации различных сервомеханизмов с помощью обратных связей необходимо найти условия, определяющие положения равновесия системы и появление в них автоколебаний. Как известно, этими условиями являются такие соотношения конструктивных и динамических параметров сервомеханизмов, которые определяют границы в пространстве параметров областей устойчивости, а также областей существования и отсутствия автоколебаний. Следующим вопросом является определение влияния параметров сервомеханизма на амплитуду и частоту автоколебаний, если технологические и эксплуатационные условия всей системы регулирования допускают существование последних.

Выбор обратных связей лишь по стабилизирующему их действию на положение равновесия и другие стационарные режимы сервомеханизма не дает еще ответа о качестве переходных процессов при различного рода возмущающих воздействиях, поступающих на его вход. В то же время эффективность действия обратных связей значительно влияет на быстродействие сервомеханизма и, следовательно, на переходные процессы в нем. Поэтому выбор обратных связей следует производить с учетом их влияния на переходные процессы так, чтобы они в сочетании с характеристиками прямых связей и характеристиками управляющих элементов сервомеханизмов (например, с характеристиками релейных элементов) обеспечивали наиболее качественный переходный процесс сервомеханизма при различных возмущающих воздействиях.

Рассмотрим стабилизирующее действие обратных связей для различных сервомеханизмов, представляющих типичные устройства многих систем автоматического регулирования. Анализ динамики будем производить методом точечных преобразований с помощью многолистной фазовой плоскости.

Приемы исследования таких нелинейных устройств изложены в гл. VI. Поэтому здесь ограничимся лишь приведением вида фазовой плоскости, критического соотношения параметров для ряда случаев, а также результатов анализа устойчивости таких сервомеханизмов.

Для пневмогидравлического сервомеханизма (см. рис. VI. 12) дифференциальное уравнение фазовых траекторий на основе уравнений будет иметь вид

и положение равновесия его в соответствии с видом функций Ф) и будет представлять континиум положений, определяемый граничным значением координат

Фазовая плоскость является не обычной, а трехлистной фазовой поверхностью вследствие наличия в уравнении (VII. 13) неоднозначной функции Каждый из листов дополнительно разбивается на участки в соответствии с видом функции Для каждого участка представляется возможным найти интеграл уравнения (VII. 13) и, таким образом, вид интегральных кривых:

Интегрируя уравнение (VII. 15), после подстановки значений функций для каждого листа и участка, получим

— номер листа (участка) фазовой плоскости].

Фазовая плоскость и интегральные кривые для рассматриваемого случая показаны на рис. VII. 10 и VII. 11.

Анализ динамики такого сервомеханизма показывает, что он при определенном соотношении параметров подвержен автоколебаниям. На существование автоколебаний указывает наличие предельного цикла в фазовой плоскости (рис. VII. 12). Изменяя параметры сервомеханизма, можно добиться подавления автоколебаний. Тогда такой сервомеханизм будет иметь устойчивое положение равновесия и после любых начальных отклонений приходить в положение равновесия (рис. VII. 12).

Для того чтобы найти критическое соотношение параметров, а также решить вопрос об устойчивости положения равновесия и об устойчивости возможных автоколебаний, воспользуемся теорией точечных преобразований поверхностей. В силу симметричности фазовой плоскости относительно начала координат для решения поставленной задачи достаточно исследовать отображение полупрямой в полупрямую (см. рис. VII.11).

Для данной задачи удобнее проводить анализ с помощью двух кривых отображения, а именно: путем исследования отображения полупрямой в полупрямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от нее на расстоянии полупрямой в ту же полупрямую. Тогда по взаиморасположению этих двух кривых отображения можно судить о структуре разбиения фазовой плоскости на траектории и выявить критическое соотношение параметров.

(кликните для просмотра скана)

Отображение полупрямой в полупрямую, параллельную оси абсцисс, дается уравнением

Отображение полупрямой в ту же полупрямую дается уравнением

На рис. VII. 13 изображена диаграмма точечного отображения и дано расположение кривых для трех возможных случаев, определяемых соотношением параметров сервомеханизма.

Рис. VII.13. Диаграмма точечного отображения

Первому случаю соответствует такое соотношение параметров, при котором кривые пересекаются. Это свидетельствует о возможности автоколебательного состояния сервомеханизма. Взаиморасположение кривых показывает, что колебания в этом случае будут устойчивыми, т. е. что они будут физически существовать.

Второму случаю соответствует критическое соотношение параметров сервомеханизма. Кривые пересекаются на границе зоны покоя. Возможные колебания системы будут носить полуустойчивый характер. Это означает, что при изменении соотношения параметров в одну сторону колебания будут устойчивыми, а при изменении в другую сторону колебания будут прекращаться.

В третьем случае кривые не пересекаются, что означает, что автоколебания в системе возникнуть не могут. В этом случае сервомеханизм после любых начальных отклонений возвращается в положение равновесия. Если в первом случае положение равновесия ивбольшом” сервомеханизма было неустойчивым, то в последнем случае, наоборот, устойчивым.

Критическое соотношение параметров найдем из усдовия существования неподвижной точки для полуустойчивого цикла так, как это изложено в гл. VI. Это соотношение имеет вид

где

На рис. VII. 14 представлено разбиение пространства параметров на области наличия и отсутствия автоколебаний, по которому легко можно проследить влияние параметров на подавление автоколебаний и в данном случае на стабилизацию положения равновесия сервомеханизма.

Рис. VII. 14. Разбиение пространства параметров на области устойчивых состояний и автоколебаний для различных значений X, выражающего эффективность действия скоростей обратной связи:

Параметр входящий в уравнение (VII. 18), содержит коэффициент у, характеризующий действие жесткой обратной связи.

Коэффициент представляет отношение , где — максимальный ход серводвигателя, а — ход серводвигателя при максимальном входном сигнале. Поэтому изменение можно рассматривать как изменение конструктивного размера серводвигателя, максимального хода его

Однако, поскольку входит также в выражение времени серводвигателя при оценке влияния следует

полагать Т неизменным, прин имая для этого соответствующее изменение скорости серводвигателя Последнее приводит к тому, что изменение коэффициента у следует рассматривать как изменение максимальной скорости серводвигателя

Действительно, время сервомотора и коэффициент обратной связи связаны соотношением

Поскольку выражение (VI 1.20) содержит оба параметра и , то, как было уже отмечено, необходимо положить тогда

где

т. е. влияние эффективности жесткой обратной связи сервомеханизма с релейным управлением на его динамику аналогично влиянию скорости серводвигателя. Отсюда следует основной вывод: влияние эффективности действия жесткой обратной связи в таких системах противоположно влиянию времени серводвигателя. Например, увеличение коэффициента обратной связи можно рассматривать, как уменьшение постоянной времени серводвигателя

Для более полного суждения следует рассмотреть также связь коэффициента обратной связи у с параметрами нелинейной характеристики где — выходная координата сервомеханизма.

Нелинейная функция включает три типичные зоны нелинейности: зону нечувствительности, а также участки неоднозначности и насыщения, расположенные симметрично относительно начала координат. Зона нечувствительности характеризуется координатой участки неоднозначности характеризуются параметром А, представляющим ширину петли.

В этом случае аргумент нелинейной функции включает в себя коэффициент обратной связи у, а скорость серводвигателя характеризуется непосредственно параметром

Если нечувствительность управляющего элемента выражается величиной те, а ширина петли то в относительном виде эти величины будут

Переменная I связана с переменной через коэффициент обратной связи Тогда относительная величина половины Зоны покоя, приведенная к ходу серводвигателя, равна

Отсюда следует, что с изменением коэффициента обратной связи меняются приведенные к ходу серводвигателя величины зоны нечувствительности и ширина петли. При этом с увеличением коэффициента уменьшаются

Таким образом, представляется возможным привести в соответствие влияние времени серводвигателя влияние зоны нечувствительности и ширины петли на динамику сервомеханизма, поскольку влияние как так и выражается через влияние коэффициента обратной связи. Итак, увеличение эквивалентно соответствующему уменьшению или уменьшению Отсюда на основе выражения для критического соотношения параметров (VII. 19), а также на основе изображенного на рис. VII. 14 разбиения пространств параметров на области наличия и отсутствия автоколебаний можно сделать следующие основные выводы о стабилизирующем влиянии жесткой обратной связи:

1) увеличение эффективности действия жесткой обратной связи выше критического значения вызывает для рассмотренной структуры сервомеханизма неустойчивость и появление автоколебаний;

2) коэффициент обратной связи можно увеличить, не вызывая автоколебаний сервомеханизма, лищь при условии снижения его быстродействия, т. е. уменьшения времени серводвигателя или при загрублении (т. е. при увеличении его зоны нечувствительности);

3) сопоставление влияния параметров и А на динамику сервомеханизма, исходя из влияния коэффициента обратной связи показывает, что пропорциональное уменьшение ширины петли и зоны нечувствительности может привести к возникновению автоколебаний сервомеханизма. При необходимости умень Шения зоны нечувствительности конструктор должен в большей степени уменьшить ширину петли А в том случае, если возникновение автоколебаний сервомеханизма нежелательно.

Необходимо отметить, что в результате проведенного анализа представляется возможным рассчитать эффективность обратной связи сервомеханизма так, чтобы положение равновесия его было устойчивым. Однако выбор коэффициента обратной связи на этом еще не заканчивается. Как уже отмечалось, дальнейшее уточнение коэффициента следует произвести на основании желаемого вида переходного процесса сервомеханизма. Это вопрос для случая однократного начального возмущения не вызывает затруднений, поскольку интегральные кривые, характеризующие движение

его в каждый момент времени, уже найдены; остается лишь проварьировать коэффициентом и выбрать тот вид фазовых траекторий, который обеспечивает наиболее быстрый переходный процесс.