16. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМУМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ

В этом и последующем параграфах излагается методика решения задачи синтеза систем с переменными параметрами лишь в одной из возможных постановок.

Предположим, что на вход системы, имеющей нулевые начальные условия, поступает в момент полезный сигнал и аддитивная помеха т. е. ко входу системы приложено воздействие Полезный сигнал и помеха являются случайными некоррелированными и в общем случае нестационарными функциями времени с известными нестационарными спектральными плотностями определенными для Система должна наилучшим образом преобразовать полезный сигнал и подавлять помехи. Идеальное преобразование полезного сигнала задается сечением нестационарной сопряженной передаточной функции которая определена для За критерий оптимальности системы примем условие минимума среднеквадратической ошибки в каждый момент времени

Требуется найти динамические характеристики, структуру и параметры оптимальной модели системы.

Составим выражение для среднеквадратической ошибки системы, имея в виду, что

где — средние значения квадратов соответственно ошибки в преобразовании полезного сигнала и ошибки, обусловленной прохождением помехи через систему.

Используя формулу (IV. 134), можно записать:

Подставляя формулы (IV. 161), (IV. 162) в (IV.160) и учитывая при этом, что выразим среднеквадратическую ошибку через неизвестное сечение сопряженной передаточной функции

Заметим, что среднеквадратическая ошибка является функцией ординат сечения сопряженной передаточной функции Необходимое условие экстремума имеет вид

Вычислим частную производную из выражения (IV. 163). Учитывая свойство (IV. 122), найдем

Подставляя формулу (IV. 165) в (IV. 164), получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения ординат сопряженной передаточной функции дающей экстремум среднеквадратической ошибки:

Матричная форма записи этой системы уравнений имеет вид

откуда

Учитывая, что вторая частотная производная вычисляемая из выражения (IV. 165), положительна для всех при которых ординаты спектральных плотностей отличны от нуля

убедимся, что сечение сопряженной передаточной функции, вычисляемое из системы уравнений (IV. 166), дает минимум .

Сечение нестационарной сопряженной передаточной функции позволяет найти импульсную переходную функцию оптимальной модели:

Последняя дает возможность вычислить любую передаточную функцию, например определенную на квадрате

Структурная схема оптимальной модели, построенная по передаточной функции не отличается от схемы, приведенной на рис. IV. 16.

Ошибки оптимальной модели найдем, подставляя оптимальную передаточную функцию в выражения (IV. 161) и (IV.162).