Понятия и методы качественной теории дифференциальных уравнений, основателем которой был А. Пуанкере, введены в теорию регулирования А. А. Андроновым. Основные особенности подхода к решению нелинейных задач, разработанного А. А. Андроновым, следующие:
1) исследование всей совокупности движений, возможных в данной динамической системе при различных начальных условиях;
2) геометризация этого исследования, перенесение его в фазовое пространство, изображение движения системы в виде кривой в фазовом пространстве;
3) исследование превращений, происходящих в фазовом пространстве при изменении параметров исследуемой системы.
Наиболее существенным и интересным результатом применения метода фазового пространства в теории регулирования было полученное А. А. Андроновым совместно с А. Г. Майером решение классической задачи Вышнеградского о поведении паровой машины с центробежным регулятором прямого действия, обладающим как сухим, так и вязким трением. Для решения указанной задачи оказалось необходимым ввести в рассмотрение трехмерное фазовое пространство и метод точечных преобразований поверхностей. Идеи и методы А. А. Андронова получили дальнейшее развитие в работах его учеников и последователей.
Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы дать некоторые основные сведения, связанные с понятием о фазовом пространстве и с методом точечных преобразований, и проиллюстрировать их применение к решению некоторых нелинейных задач теории регулирования. Рассматриваемый метод позволяет для многих систем регулирования, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями второго, а в отдельных случаях и третьего порядка:
1) произвести исследование всех возможных движений в системе при различных начальных условиях;
2) исследовать устойчивость состояния равновесия исследуемой системы при заданных конечных и начальных отклонениях, т. е. устойчивость в большом;
3) найти возможные автоколебательные состояния системы, проанализировать их устойчивость, определить параметры автоколебаний и установить соотношения между параметрами, определяющие появление или, наоборот, подавление автоколебаний;
4) установить связь между качественными, а в некоторых случаях и количественными характеристиками свободных колебаний системы и ее параметрами.
В гл. V вводится понятие о многолистных фазовых поверхностях. Метод фазового пространства применяется к анализу систем регулирования второго порядка, содержащих сухое трение и люфты.
Гл. VI содержит краткое изложение метода точечных преобразований и его применение к исследованию сервомеханизмов, состояние которых в любой момент времени может быть отображено на фазовой поверхности.
В гл. VII, являющейся последней главой этого раздела, рассматриваются вопросы стабилизации и управления автоколебаниями релейных и близких к ним сервомеханизмов. В ней излагаются также принципы построения и анализа сервомеханизмов на основе теории систем с переменной структурой.
