ГЛАВА VIII. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА В ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Метод малого параметра возник в небесной механике. Основные исследования по этому методу принадлежат французскому математику А. Пуанкаре. Ниже будут кратко изложены общие черты метода; подробное изложение данного метода приведено в монографии [7].

1. ОБЩИЕ ЧЕРТЫ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Допустим, что мы имеем дифференциальные уравнения возмущенного движения системы автоматического регулирования

определенные в некоторой области изменения переменных и некоторого параметра Область должна иметь одну непременную характеристику, допускающую выбор малых значений по условиям задачи. Вопрос о том, каковы эти малые значения подлежит отдельному рассмотрению в каждой частной задаче

Предполагается, что при этих условиях функции могут быть разложены в степенные ряды, которые сходятся всюду в и в этом случае уравнениям (VIII. 1) можно придать вид

Здесь функции также допускают разложения в кратные степенные ряды по независимым переменным, сходящиеся в Основным допущением метода малого параметра является предположение о том, что решения так называемой упрощенной системы уравнений

получающейся из системы уравнений (VIII.2) при существуют и нам хорошо известны. Далее нас будет интересовать периодическое решение упрощенной системы уравнений

Предполагается, что это решение зависит от произвольно назначаемых параметров и имеет период Т.

Основная задача метода малого параметра состоит в определении и изучении условий, выполнение которых гарантирует существование периодического решения исходных уравнений (VIII.2) с периодом непрерывно переходящего в решение (VIII.4) упрощенных уравнений (VIII.3) при и обращающегося в него при а также в построении этого решения. Возможность существования решения вытекает из следующих рассуждений.

Если искать периодическое решение уравнений (VIII.2), обращающееся в решение (VIII.4) при то с этой целью введем новую независимую переменную определяемую формулой

где постоянная а есть некоторая функция от подлежащая дальнейшему определению; величина а определяет поправку на период решения уравнений (VIII.2). Пусть — период искомого решения, а

его начальное значение; тогда, очевидно, разности

будут известные функции малого параметра и величин, определяющих начальные значения переменных.

При разности (VIII.6) тождественно равны нулю, и Очевидно, если мы желаем иметь периодическое решение уравнений (VIII.2) при необходимо, чтобы функции при и при имели одинаковые значения. В этом случае искомое решение, если оно существует, по истечении времени будет повторяться, т. е. будет действительно периодическим с периодом Таким образом, условия периодичности искомого решения имеют вид

Эти условия следует рассматривать как уравнений, содержащих неизвестных постоянных . Следовательно, при решении уравнений (VI 1.7) одну из постоянных например играющую роль так называемой фазовой константы периодического решения, можно положить равной

нулю, а утраченную при этом произвольность в найденном решении всегда можно восстановить, изменив начало отсчета времени.

Вопрос о существовании периодического решения зависит от разрешимости уравнений (VIII.7). При этом могут встретиться различные случаи, анализ которых представляет самостоятельный математический интерес. Все зависит от матрицы

Рассмотрим случай, когда данная матрица имеет ранг В этом случае, например, первые уравнений (VIII.7) могут быть разрешены относительно неизвестных а в зависимости от величин Подставляя эти значения неизвестных в остальные уравнения (VIII. 7), найдем соотношения

где функции должны обращаться в нули вместе с Для данных уравнений (VIII.2) функции непременно имеют вид

ибо уравнения (VIII.9) при должны удовлетворяться тождественно при любых значениях параметров Таким образом, после сокращения на общий множитель и разложения функции в степенные ряды по неизвестным уравнения (VIII.9) примут вид

Для того чтобы эти уравнения имели решения обращающиеся в нуль при необходимо, чтобы удовлетворялись условия

Условия (VIII. 11) служат уравнениями для нахождения тех значений параметров при которых периодическому решению (VIII.4) упрощенной системы может соответствовать

периодическое решение системы исходных уравнений (VIII.2), непрерывно переходящее в решение (VIII.4) при Это как раз те Значения параметров которые отвечают поставленной выше задаче. Они называются прождающими, а решение

прождающим периодическим решением.

При некоторых условиях периодические решения уравнений (VIII. 12) описывают периодические движения исследуемой системы автоматического регулирования, которые А. А. Андронов [1] называл автоколебаниями.

Практическая ценность основной задачи метода малого параметра состоит в следующем. В тех случаях, когда в заданной системе автоматического регулирования существуют автоколебания, они могут быть приближенно охарактеризованы функциями (VIII. 12), в которых значения параметров определяются соотношениями вида (VIII.11).

Рис. VIII. 1. Типичная нелинейная функция

В большинстве задач теории автоматического регулирования упрощенная, система уравнений (VII 1.3) является линейной; в этом случае система уравнений (VII 1.2) при достаточно малых значениях называется квазилинейной. Изучением периодических решений квазилинейных систем занимались многие советские ученые [2], [3], [6]. Эти задачи имеют свои частные и специфические особенности, которые не позволили применять уже разработанный и готовый аппарат теории квазилинейных систем. Дело в том, что очень большой класс простейших задач теории автоматического регулирования описывается, например, уравнениями вида (см. рис. VIII. 1)

где — координаты;

— заданные постоянные параметры объекта регулирования;

— постоянные параметры регулирующего органа;

— постоянные регулятора;

— заданная нелинейная функция аргумента а, обладающая свойствами (см. рис. VIII. 1, а и б).

Обычно случается так, что функция задается графически и не может быть представлена аналитически в каком-либо виде, достаточно удобном для производства вычислений. Поэтому заслуга Б. В. Булгакова состоит в том, что он первый дал вариант метода малого параметра, учитывающий указанную особенность задач теории автоматического регулирования. В этом варианте метода, используя графическое задание функции можно избежать большого числа промежуточных вычислений и получить ответы на многие вопросы теории и автоматического регулирования. Такие весьма ценные для практики свойства варианта метода малого параметра дают основание назвать его методом Б. В. Булгакова [2], [3].

В данной главе не предоставляется возможным изложить этот метод полностью и в общем виде, поэтому остановимся лишь на изложении рабочего аппарата данного метода для построения первого приближения, иллюстрируя изложение примером.