2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СВЕРТКИ К АНАЛИЗУ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
Рассмотрим пример применения метода свертки к анализу нестационарной следящей системы с периодически изменяющимися коэффициентами [10].
Пример 1. На рис. III.2 представлена следящая система на переменном токе. Она состоит из исполнительного двигателя 
сельсинов грубого и точного отсчетов (на схеме показан только точный сельсин), сравнивающего устройства 2, Т-образного мостика 3 и усилителя 4.
Рис. III.2. Следящая система на переменном токе
Система дифференциальных уравнений, соответствующая схеме на рис. 111.2, состоит из двух уравнений. Одно из них связывает ток в обмотке возбуждения двигателя с напряжением, поступающим от сельсина на вход Т-образного мостика. Другое из них определяет зависимость угла поворота выходного вала двигателя 1 от тока возбуждения.
При малых оборотах двигателя, когда следящая система работает в линейном режиме, эти уравнения [10] для случая вращения входного вала с постоянной скоростью 
имеют вид
где 
ток в обмотке возбуждения; 
ошибка;
— импульсная переходная функция корректирующего фильтра:
— коэффициент самоиндукции и омическое сопротивление обмотки возбуждения; 
— коэффициент усиления; 
— сдвиг фазы напряжения сельсина; 
— несущая частота; 
— момент инерции; а — коэффициент вязкого трения; 
— постоянные коэффициенты; 
угловая скорость вращения входного вала.
За единицу времени и единицу тока в уравнениях (III. 13) выбраны соответственно величины 
.
Система (III. 13) есть система линейных интегродифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Покажем, что, применяя метод свертки, можно: 1) получить решение уравнений (III. 22) относительно ошибки 
получить выражение для передаточной функции системы в замкнутой форме; 3) произвести анализ ее устойчивости и качества в переходном режиме при помощи обычных частотных методов.
Применяя к уравнениям (III. 13) преобразование Лапласа, получим
где
или
и
где
Подставляя выражение (III. 17) в (III. 16), получим
Решение интегрального уравнения (III. 19) будем искать в виде ряда
где
Интеграл в правой части выражения (III.21) можно вычислить, применяя теорию вычетов. В результате получим
Второй член в правой части уравнения (III. 13) в квадратных скобках представляет собой функцию удвоенной несущей частоты. Так как вал двигателя не реагирует на изменение тока с двойной несущей частотой, то этим членом можно пренебречь и, следовательно, можно написать
На основании формулы (III.23) выражение для 
примет вид
Легко видеть, что ряд (111.24) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 
Выражение является дробно-рациональной функцией, причем порядок знаменателя превышает порядок числителя. В интеграле (III.21) путь интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы 
было бы больше единицы. Поэтому ряд (111.24) является убывающим, сходящимся и его можно представить в замкнутом виде
Рис. III.3. Эквивалентная схема следящей системы
Таким образом, нами получено решение для ошибки 
в замкнутой форме.
Выражение (111.25) показывает, что рассматриваемая следящая система может быть представлена в виде эквивалентной схемы на рис. III.3, где
и передаточная функция 
определяется формулой 
Выражение (111.23) можно рассматривать как эквивалентную передаточную функцию следящей системы на переменном токе, вид которой не зависит от преобразования Лапласа для воздействия, входящего в 
Выражение (III.25) позволяет обобщить обычный частотный метод анализа и синтез систем с постоянными параметрами на рассматриваемую систему с переменными параметрами. В частности, для анализа устойчивости необходимо построить логарифмические частотные характеристики, соответствующие передаточной функции 
и применить частотный критерий устойчивости. Построение переходного процесса можно выполнить при помощи обычных номограмм замыкания и применения метода трапецеидальных частотных характеристик.
