5. СЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ

Рассмотрим два дифференциальных уравнения:

и предположим, что им соответствуют импульсные переходные функции

Если динамические элементы, описываемые уравнениями (1.56), соединить параллельно (см. рис. 1.11), обозначить импульсную переходную функцию этого соединения через и подать на его вход -функцию, то получим

Рис. 1.11. Импульсная переходная функция параллельного соединения

Рис. 1.12. Параллельное соединение операторов

Но дифференциальное уравнение схемы (рис. 1.12)

уже нельзя получить также просто из уравнений (1.56). Действительно, полагая

и складывая правые и левые части равенства (1.56), получим

Из выражения (1.59) очевидно, что операция суммирования операторов (1.44) представляет собой гораздо более сложную операцию, чем простое суммирование членов дифференциальных уравнений (1.56).

Для того чтобы выяснить, что следует понимать под действием суммирования операторов (рис. 1.12), представим каждое из уравнений (1.56) в виде последовательного соединения двух операторов: дифференцирующего и интегрирующего (рис. 1.13, а).

Присоединим последовательно к первоначальной схеме (рис. 1.13, а) два интегральных оператора и обратные им операторы образующие единичный оператор (рис. Так как система линейна, то оператор может быть перенесен влево от сумматора (рис. 1.13, в).

Перемножим интегральный оператор на дифференциальный оператор В результате получим новые интегральный и дифференциальный операторы (рис. 1.13, г).

В результате передвижения оператора влево от суммирующего элемента получим схему (рис. 1.13, д), в которой все

дифференциальные операторы расположены слева, а интегральные — справа от суммирующего элемента. Произведя перемножение операторов, получим схему (рис. 1.13, е), которую легко привести к окончательному виду (рис. 1.13, ж) [18].

Рис. 1.13. Преобразование параллельного соединения операторов в последовательное соединение дифференцирующего и интегрирующего операторов: а — исходная схема; б — схема, эквивалентная исходной; в — схема, полученная из схемы (б) переносом обратного оператора влево сумматора; г — схема, полученная из схемы (в) в результате умножения операторов ; д схема, полученная из схемы (г) переносом оператора влево от сумматора; е — преобразованная схема (д); ж — схема, состоящая из последовательного соединения дифференцирующего и интегрирующего операторов, эквивалентная исходной схеме (а)

В качестве частного случая сложения операторов рассмотрим два уравнения

соответствующие схеме, приведенной на рис. 1.14.

Очевидно, что выход х этой схемы тождественно равен нулю. Динамический элемент, описываемый дифференциальным уравнением, решение которого тождественно равно нулю, называется нулевым элементом.

Аддитивным обратным оператором В по отношению к оператору А называется оператор, который при суммировании с А образует нулевой элемент:

Рис. 1.14. Схема нулевого элемента

Таким образом, примером аддитивных обратных операторов могут служить операторы, соответствующие уравнениям (1.60).

Кроме рассмотренных выше правил алгебры операторов, полезно иметь в виду следующие правила:

1) операция сложения коммутативна, т. е.

2) операция сложения ассоциативна, т. е.

3) операция умножения не коммутативна, т. е.

4) операция умножения ассоциативна, т. е.

5) операторы обладают свойством дистрибутивности, т. е.