3. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пусть амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы и эквивалентная характеристика нелинейного элемента пересекаются больше, чем в одной точке.

Рис. IX.8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика линейного элемента и обратная эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного элемента

На рис. IX.8 характеристики пересекаются в двух точках: и М. Точке соответствует частота (по амплитудно-фазовой

частотной характеристике и амплитуда колебаний характеристике точке М соответствуют частота и амплитуда

При заданном виде характеристик точке соответствуют неустойчивые колебания, а точке М — устойчивые. В данном случае достаточно рассмотреть устойчивость колебаний по амплитуде.

Допустим, что амплитуда колебаний, соответствующая точке возросла и стала равной Тогда величина 2 будет определяться точкой и будет равна Общий коэффидиент усиления системы регулирования в разомкнутом состоянии определяется как произведение коэффициентов усиления линейного и нелинейного элементов. При амплитуде колебаний общий комплексный коэффициент усиления будет равен

Система в замкнутом состоянии, согласно критерию Михайлова-Найквиста, будет устойчива, если частотная характеристика не охватывает точку или, иными словами, система в замкнутом состоянии будет устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика — не охватывает точку конца вектора т. е. точку

Как видно из рис. IX.8, амплитудно-фазовая частотная характеристика — охватывает точку , следовательно, система при увеличенной амплитуде колебаний будет неустойчивой — колебания будут возрастать и далее. Процесс, характеризуемый точкой будет неустойчив. Если допустить, что амплитуда колебаний уменьшится, то система при уменьшенной амплитуде колебаний устойчива и колебания будут затухать. Отсюда следует: если начальное отклонение в системе было таким, что отклонение на входе нелинейного элемента меньше то в ней колебания не возникнут.

Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что колебания, соответствующие точке М, устойчивы. В самом деле, пусть амплитуда колебаний возросла и стала равной тогда величина будет определяться точкой

Так как амплитудно-фазовая частотная характеристика — не охватывает точку то система становится устойчивой

и колебания будут уменьшаться. Если допустить уменьшение колебаний по амплитуде, то легко показать, что создаются условия, при которых колебания начинают возрастать, и процесс переходит обратно в режим, характеризуемый точкой М.

В общем случае, если амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы имеет произвольный вид и пересекается с обратной эквивалентной характеристикой нелинейного элемента, то вопрос об устойчивости колебаний с частотой и амплитудой соответствующих данной точке пересечения, решается следующим образом: если точка амплитудной характеристики, соответствующая увеличенной амплитуде не охватывается амплитудно-фазовой частотной характеристикой, то рассматриваемые колебания устойчивы, в противном случае они неустойчивы.

Доказательство, приведенное здесь, является не строгим; более строго вопрос рассмотрен в работе [7].