4. ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОБРАТНЫЕ ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ

Введем понятие единичного элемента, или оператора. Единичным называется такой оператор, который при воздействии на некоторую функцию оставляет ее неизменной. Дифференциальное уравнение единичного элемента имеет вид

при нулевых начальных условиях.

Если

т. е. произведение двух операторов равно единичному оператору, то оператор В называется обратным по отношению к и обозначается через т. е.

где через Е обозначен единичный оператор.

В частности, обратными друг другу являются операторы интегрирования и дифференцирования, скаляры

Рассмотрим систему, состоящую из двух динамических элементов (рис. 1.8), описываемых уравнениями

Первому из них соответствует оператор , а второму

Очевидно,

причем выход х системы (рис. 1.8) равен ее входу т. е.

Рис. 1.8. Последовательное соединение обратных друг другу операторов

Рис. 1.9. Последовательное соединение дифференцирующего и интегрирующего элементов

Из выражений (1.51) и (1.52) следует, что:

1) для получения дифференциального уравнения элемента, обратного данному, необходимо операторы в левой и правой частях уравнения исходного элемента поменять местами;

2) прямой и обратный операторы коммутативны.

Соединим последовательно интегрирующий динамический элемент, описываемый уравнением

с дифференцирующим элементом, уравнение которого имеет вид

Очевидно, эти два элемента обратны друг другу, причем структурная схема их последовательного соединения имеет вид, изображенный на рис. 1.9. Из рис. 1.9 следует, что для построения структурной схемы обратного элемента достаточно в структурной схеме исходного элемента направления связей и все элементарные звенья в прямой цепи изменить на обратные [9].

Рис. 1.10. Импульсная переходная функция последовательного соединения обратных друг другу динамических элементов

Найдем связь между импульсными переходными функциями двух последовательно соединенных динамических элементов, один из которых является обратным по отношению к другому (см. рис. 1.10). Предположим, что на вход первого элемента подана дельта-функция Тогда вход обратного элемента, импульсную переходную функцию которого мы условимся обозначать через будет равен а реакция обратного элемента

Но если элементы являются обратными, то согласно определению

или