3. УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим последовательное соединение двух нестационарных динамических элементов (рис. 1.6), каждый из которых структурно может быть представлен в виде последовательного соединения дифференцирующего и интегрирующего элементов.
Рис. 1.6. Умножение операторов: а — структурная схема, соответствующая произведению двух операторов; б и в - структурные эквивалентные схемы
Уравнения связи между переменными имеют вид
Символически эти уравнения могут быть записаны в виде
где
Подставляя уравнение (1.38) в уравнение (1.39), получим
где через С обозначен оператор, эквивалентный произведению операторов В и А, т. е.
Выясним, что следует понимать под действием умножения операторов. Для этого заменим систему, показанную на рис. 1.6, а, эквивалентной ей системой (рис. 1.6,6), поменяв местами внутренние интегрирующий и дифференцирующий операторы. Так как, вообще говоря, эти операторы не коммутативны, то
Найдем выражения для 
Предположим, что (см. также рис. 1.6, б)
где 
— пока неизвестные коэффициенты.
Подставляя в уравнения (1.42) и (1.43) выражения, определяющие 
через 
получим
Если приравнять коэффициенты при одинаковых производных и положить без ограничения общности 
то мы получим систему из 
совместных уравнений относительно 
неизвестных 
Таким образом, эквивалентность схем на рис. 1.6 доказана. Теперь, если объединить дифференциальные и интегральные операторы, то схема, показанная на рис. 
может быть сведена к схеме, изображенной
на рис. 1.6, б, причем ее уравнение имеет вид
или в развернутой форме
Итак, смысл операции умножения операторов (1.40), символически представленный равенством (1.41), выяснен [18].
Рис. 1.7. Импульсная переходная функция последовательного соединения
Предположим, что нестационарные динамические элементы (рис.
1.7) имеют импульсные переходные функции 
Найдем импульсную переходную функцию их последовательного соединения. Для этого подадим на вход первого элемента дельтафункцию 
Рассматривая выход первого элемента, т. е. 
как вход второго, учитывая, что
и применяя интеграл (1.7), получим
