3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Приведем несколько примеров исследования режимов автоколебаний, устойчивости и определения запасов устойчивости нелинейных автоматических систем.

Пример 1. Пусть имеется релейная система регулирования температуры объекта 1, использующая в качестве чувствительного элемента биметаллическую пластину 2 (рис. Х.12, а). В системе применены электронный усилитель 3, исполнительный двигатель 4, редуктор 5 и регулирующий орган 6.

Рис. Х.12. Релейная система автоматического регулирования температуры

Для улучшения динамических свойств системы может быть подключена жесткая дополнительная обратная связь 7, обеспечивающая перемещение панели с ламелями. Пусть заданы уравнения отдельных звеньев системы: объекта регулирования

чувствительного элемента

привода с регулирующим органом

обратной связи

контактного устройства

Требуется определить условия возникновения автоколебаний, зависимость их амплитуды и частоты от параметров регулятора, а также найти область отсутствия автоколебаний (область устойчивости равновесного состояния системы) и влияние величины коэффициента обратной связи на ширину этой области.

Выполним вначале расчет системы без учета жесткой дополнительной обратной связи. Гармоническая линеаризация заданной нелинейности (рис. Х.12, б) дает

где

Объединяя уравнения отдельных звеньев системы с учетом выражения и обозначая через коэффициент усиления линейной части системы, получим гармонически линеаризованное уравнение системы

Общий коэффициент усиления системы вследствие нелинейности является переменным в зависимости от амплитуды А.

Подставив из уравнения получим два уравнения для определения периодического решения по первому способу (см. § 1)

Из последнего уравнения легко определяется частота периодического решения

Подставив ее в первое уравнение получим выражение для вычисления амплитуды периодического решения в зависимости от параметров системы

Постоянные времени регулируемого объекта и привода регулирующего органа одинаково влияют на частоту и амплитуду периодического решения.

Амплитуда интересующей нас переменной (температуры регулируемого объекта) будет

Определим зависимости амплитуды и частоты периодического решения от параметров , принимая в качестве исходных следующие значения параметров системы: .

Так как соотношение легче разрешается относительно параметров системы, чем относительно амплитуды, то целесообразно задавать значения амплитуды и вычислять значения параметров.

Рис. Х.13. Зависимости амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы

Для определения зависимости из выражения получим

На рис. Х.13, а показаны две ветви периодического решения, полученные из выражения Периодическое решение возможно при значении причем из условия равенства нулю производной от по А получим

что для принятых значений параметров дает амплитуда изменяется по линейному закону и при . Ветвь больших амплитуд принадлежит устойчивому периодическому решению, т. е. соответствует автоколебаниям в системе, а ветвь малых амплитуд является границей устойчивости системы „в малом", что условно показано стрелками. Это подтверждается исследованием устойчивости периодического решения.

Для использования аналитического критерия устойчивости имеем

Отсюда с учетом графика зависимости найдем

Следовательно,

Перенося полученные результаты поведения системы в области автоколебаний на область малых значений коэффициента усиления линейной части видим, что движение системы в области отсутствия периодического решения будет устойчивым.

Согласно соотношению ширина области устойчивости пропорциональна ширине зоны нечувствительности

Для определения зависимости из выражения определим

На основании этого с учетом формулы выполнено построение кривых и (рис. Х.13, б), в результате чего определится область автоколебаний при и область устойчивости при

Значение находится из условия равенства нулю производной от по А, а именно:

и при принятых значениях параметров составляет сек.

Для построения кривой изхменения амплитуды периодического решения от изменения зоны нечувствительности из выражения получим соотношение вида

где

Кривая показана на рис. Х.13, в.

Кривые изменения частоты и амплитуды автоколебаний от параметров системы позволяют выбирать параметры системы из условия получения желаемого установившегося режима.

Для принятых значений параметров система будет работать с автоколебательным установившимся режимом при частоте — и амплитуде колебаний температуры , Такой режим для многих тепловых

объектов оказался бы приемлемым. Однако следует иметь в виду, что он получен за счет малого коэффициента усиления. Уменьшение коэффициента усиления снижает быстродействие системы и увеличивает установившуюся ошибку. Такая система неспособна будет работать при больших скоростях изменения возмущающего воздействия.

Для того чтобы добиться приемлемого автоколебательного режима при большом коэффициенте усиления в системе, возможно применение дополнительной жесткой обратной связи. Уравнение системы с учетом жесткой обратной связи для переменной (перемещение биметаллической пластины относительно ламелей) запишется в виде

где — коэффициент передачи обратной связи.

Рис. Х.14. Зависимость автоколебаний от параметров системы при введении жесткой обратной связи

После подстановки получим два уравнения для нахождения периодического решения

Разрешая второе уравнение относительно найдем

Отмечаем, что дополнительная обратная связь увеличивает частоту периодического решения. Подставив значения в первое уравнение для определения периодического решения, получим соотношение для определения амплитуды периодического решения в зависимости от параметров системы

Построим кривые и при включении обратной связи. Разрешая последнее уравнение относительно будем иметь

Сравнивая полученный результат с выражением видим, что в отличие от случая отсутствия обратной связи увеличивается на величину, не зависящую от амплитуды

и, следовательно, кривая амплитуд периодического решения будет смещена вправо на величину (рис. Х.14, а).

Таким образом, обратная связь расширяет область устойчивости за счет смещения области автоколебаний пропорционально коэффициенту обратной

связи . Эффект воздействия обратной связи в зависимости от соотношения постоянных времени будет тем большим, чем больше постоянная времени объекта по сравнению с постоянной времени привода регулирующего органа.

Пример 2. Пусть имеется релейная следящая система с чувствительным элементом в виде контактного устройства 1 (рис. Х.15). В систему для улучшения динамических свойств может быть введен пассивный дифференцирующий контур, включенный между двумя электронными усилителями 2 и 3.

Определим допустимую величину зоны нечувствительности контактного устройства из условия отсутствия автоколебаний. Расчет системы выполним частотным методом.

Рис. Х.15. Релейная следящая система Передаточная функция линейной части системы имеет вид

где

Примем следующие численные значения параметров системы:

Выражение для коэффициента гармонической линеаризации имеет вид

На рис. Х.16, а показаны амплитудно-фазовая характеристика линейной части а также обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного элемента, взятая с обратным знаком

Из анализа рис. Х.16, а следует, что условие невозможности возникновения автоколебаний в данном случае сводится к выполнению неравенства

Определим, при какой частоте происходит касание амплитудно-фазовых характеристик

Очевидно, что фаза 0 при этой частоте равна - 180°. Итак,

откуда следует, что

Окончательно получим

Рис. Х.16. Определение условия невозможности возникновения автоколебаний (а) и запретной зоны для амплитудно-фазовой характеристики (б)

Для граничного случая, соответствующего касанию характеристик амплитуда колебаний, очевидно, должна равняться т. е.

откуда

Имея в виду, что определим допустимую ширину зоны нечувствительности контактного устройства град.

Таким образом, для обеспечения работы без автоколебаний зона нечувствительности должна превышать град. Такое значение зоны нечувствительности нельзя считать приемлемым, так как в этом случае следящая система работает с очень низкой точностью.

Увеличить точность работы следящей системы можно уменьшением зоны нечувствительности при одновременном введении корректирующих средств. В схеме (рис. Х.15) предусмотрена возможность введения пассивного корректирующего контура, передаточная функция которого имеет вид

Примем . Соответственно увеличим коэффициент усиления линейной части системы в 10 раз с тем, чтобы компенсировать затухание, вносимое дифференцирующим контуром на низших частотах.

Вычислим значение частоты при котором существует периодическое решение (градичный случай)

Аналогично рассмотренному выше случаю определим значение общего коэффициента усиления разомкнутой системы

Таким образом, при введении корректирующих средств возможно повысить точность работы системы за счет уменьшения зоны нечувствительности до величины град.

Если условие отсутствия автоколебаний является жестким, то в расчет следует ввести показатель запаса устойчивости. При расчете системы частотным методом оценка запаса устойчивости может быть произведена по величине показателя колебательности (§ 2). Допустимое значение показателя колебательности для релейной системы может быть принято

Рис. Х.17. Определение минимально допустимой ширины зоны нечувствительности при заданном значении показателя колебательности

Определим, при каких значениях зоны нечувствительности показатель колебательности системы не будет превосходить заданной величины.

На рис. Х.16, б по формулам построена запретная зона заданного показателя колебательности

Для обеспечения требуемого значения необходимо, чтобы при всех значениях модуля превышающих отставание по Фазе было либо меньше либо больше

В рассматриваемом примере искомое решение легче всего получить графически. Для этого в прямоугольных координатах нужно построить амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы при и нанести запретную зону для заданного показателя колебательности (на рис. Х.17 выделена штриховкой).

Мысленно будем передвигать амплитудно-фазовую характеристику линейной части вверх до тех пор, пока она не коснется запретной зоны.

Новое положение оси абсцисс, отсчитанное от прежнего, даст в дб допустимую величину общего коэффициента усиления обеспечения необходимого показателя колебательности. Из рис. Х.17 следует, что

Отсюда определим ширину зоны нечувствительности контактного устройства

Следовательно, для получения показателя колебательности необходимо расширить зону нечувствительности в системе по сравнению с граничным случаем в три раза.

Пример 3. Рассмотрим приближенную оценку влияния насыщения и зоны нечувствительности. Метод гармонической линеаризации позволяет свести его к изменению общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Такой прием дает возможность при расчете систем методом логарифмических характеристик попутно оценить действие нелинейности, почти не прибегая к каким-либо дополнительным построениям или вычислениям.

Для характеристики с насыщением коэффициент гармонической линеаризации будет где причем С — величина линейной зоны.

При наличии зоны нечувствительности где а имеет то же значение, зона нечувствительности.

Таким образом, эффект насыщения уменьшает коэффициент усиления при больших сигналах, а зона нечувствительности понижает коэффициент усиления для малых сигналов.

В зависимости от влияния насыщения на характер переходного процесса можно различать две группы структурных схем.

К первой группе схем с малым изменением характера отработки рассогласований при наличии насыщения относятся схемы с отрицательными обратными связями, охватывающими насыщаемые элементы усилительного тракта (рис. X. 18, а и б).

Ко второй группе схем со значительным изменением характера отработки рассогласований при насыщении относятся схемы с последовательными корректирующими звеньями, схемы с отрицательными обратными связями, не охватывающими насыщаемые элементы (рис. Х.19, а и б).

Для иллюстрации качественной оценки явления насыщения в схемах, относящихся к первой группе, на рис. в приведены логарифмические амплитудные характеристики, построенные для линейной системы и с учетом насыщения

При насыщении вид логарифмической амплитудной характеристики в области средних частот сохраняется почти неизменным. Постоянное значение сохраняют частоты Демпфирование систем остается почти постоянным и существенных качественных различий в характере переходного процесса при работе в линейной зоне и выходе на насыщенные участки не наблюдается (см. рис. Х.18, г).

Логарифмические амплитудные характеристики, построенные с учетом насыщения для схем, относящихся ко второй группе (рис. Х.19, в), наоборот, существенно изменяют свой вид в области средних частот. Уменьшаются значения частоты среза и частоты Это приводит к заметному увеличению колебательности и длительности переходного процесса при отработке системой больших рассогласований (см. рис. Х.19, г).

(кликните для просмотра скана)