5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЖЕСТКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ С СЕРВОДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ СУХОГО ТРЕНИЯ В ЧУВСТВИТЕЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ И ПРИ ОТСУТСТВИИ САМОВЫРАВНИВАНИЯ

Рассмотрим предыдущую систему, если в нее введена жесткая обратная связь, причем в объекте регулирования отсутствует самовыравнивание. Исследование показывает, что никаким выбором коэффициента жесткой обратной связи нельзя в такой системе обеспечить устойчивость равновесного режима [8].

Уравнения, описывающие работу системы, будут иметь вид: объекта

чувствительного элемента

серводвигателя постоянной скорости с симметричной мертвой зоной

золотника в случае жесткой обратной связи

где — коэффициент жесткой обратной связи.

Введя новые переменные

и преобразуя систему уравнений, получим

если то

если

если

где

Из системы уравнений (V.43) видно, что состояние равновесия системы определяется условиями

Эти условия на плоскости (рис. V. 11) определяют область ограниченную прямыми

Изображающая точка системы может находиться в полосе между плоскостями или на плоскости если , и на плоскости если Фазовое пространство изображено на рис. V.12 и V.13.

Рис. V.l1. Фазовая плоскость

Рис. V.12. Фазовое пространство

Назовем полупрямой часть прямой точки которой

удовлетворяют соотношению а полупрямой часть прямой точки которой удовлетворяют соотношению

Рис. V.13. Фазовое пространство с вынесенными плоскостями

Пусть кривая на плоскости является геометрическим местом точек пересечения с этой плоскостью фазовых траекторий, начинающихся на прямой (рис. V.14).

Далее будем рассматривать кривую в проекции на плоскость

Кривая (рис. V.14) имеет вид ломаной где уравнение прямой

уравнение прямой

Рис. V.14. Вид кривой 1

В работе [5] показывается, что если то в системе возможны автоколебания, а если , то автоколебаний нет

и имеет место абсолютная устойчивость. Однако можно показать, что в последнем случае ни одна из точек площадки равновесия не является устойчивой и система, выбитая из какой-либо точки равновесия, обязательно уже не вернется в нее, как бы ни был мал толчок. Несколько иная картина имеет место для точек А и которые оказываются неустойчивыми в ином смысле. Чтобы это показать, мы сейчас подробно рассмотрим фазовые траектории на плоскости и на плоскости Рассмотрим плоскость причем На этой плоскости интегральные кривые описываются уравнениями (V.43а). Из них видно, что внутри полосы интегральные кривые будут представлять прямые, параллельные оси у.

Рис. V.15. Плоскость

При будем иметь

или

Кривые, описываемые этими уравнениями, будут параболами, причем изображающая точка по ним перемещается вверх.

При получим следующие уравнения фазовых траекторий:

или

Это также параболы, однако изображающая точка по ним перемещается вниз.

Общий фазовый портрет на плоскости показан на рис. V.15.

Рассмотрим теперь случай При этом фазовый портрет плоскости будет аналогичен предыдущему случаю, произойдет только смещение полосы вверх (рис. V.16).

Если интегральная кривая начинается на прямой при то возможны два случая:

а) интегральная кривая пересекает прямую до пересечения с плоскостью Изображающая точка двигается сначала по параболе (рис. V.16), а потом по прямой

(отрезок ) до пересечения с плоскостью В этом случае изображающая точка попадает на отрезок кривой

б) интегральная кривая, начинающаяся на прямой при пересекает плоскость не доходя до прямой . В этом случае имеем

При пересечении с плоскостью Н

или

но о для момента пересечения с плоскостью имеем т. е. интегральная кривая попадает на отрезок кривой 7.

Рис. V.16. Плоскость при

Рис. V.17. Полуплоскость Н

Рассмотрим теперь движение по плоскости Движение в этом случае описывается уравнениями (V.436), а уравнения фазовых траекторий будут иметь вид (рис. V.17):

при

при

т. е. фазовая траектория проходит параллельно оси .

При , имеем

Рассмотрим траекторию проходящую через точку Можно показать, что координата точки Р будет равна

Мы видели, что фазовые траектории, выходящие с прямой попадают на кривую 7. При этом, если координата точки пересечения будет больше то фазовая траектория на полуплоскости. Н войдет на прямую и далее начнется движение в полупространстве

Рассмотрим случай Фазовая траектория попадет в точку Далее войти в область на конечное расстояние изображающая точка не может, так как фазовые траектории в этой полосе направлены навстречу движению. Поэтому далее движение можно себе представить в виде бесконечно малых траекторий, расположенных поочередно то под прямой, то над прямой (получим так называемый скользящий режим). В результате изображающая точка будет опускаться вниз прямой до точки .

Таким образом, можно показать, что все интегральные кривые, начинающиеся из точек, лежащих ниже траектории будут приближаться к точке Фазовое пространство рассматриваемой системы изображено на рис. V.13.

Пусть теперь изображающая точка находится в какой-нибудь точке площадки покоя, т. е. . В результате какого-то малого возмущения система будет выведена из положения равновесия вверх После этого начнется движение в плоскости (см. рис. V.15 и рис. V.13, пл. 1). В полосе на плоскости Н фазовые траектории параллельны оси х. Поэтому, как бы мал ни был толчок, изображающая точка будет двигаться параллельно оси у до тех пор, пока не пересечет плоскость Затем начинается движение внутри полосы в данной плоскости до тех пор, пока изображающая точка не пересечет прямую после чего она по этой прямой достигнет точки А.

Таким образом, в какой бы точке площадки покоя ни находилась вначале изображающая точка и как бы мало ни было возмущение, изображающая точка придет или в точку А (если точка была смещена вверх), или в точку (рис. V. 11) (если точка была смещена вниз). Отсюда следует, что любая внутренняя точка площадки покоя является точкой неустойчивого равновесия (согласно определению устойчивости по Ляпунову). Итак, в системе имеются две точки притяжения А и в каждую из которых фазовые траектории входят по единственной прямой (для

точки А это прямая а для точки — соответствующий отрезок прямой).

Пусть теперь изображающая точка находится в точке А. Если в результате малого возмущения изображающая точка попадет внутрь кривой на плоскости то изображающая точка вернется в точку А. Если же она попадет выше или левее этой кривой, то при дальнейшем движении она выйдет на прямую и после этого пойдет в полупространстве к точке Таким образом, точки и А также не являются точками устойчивого равновесия. Поэтому в отличие от обычных и общепринятых утверждений [5], [10], в реальной системе, подверженной сколь угодно малым возмущениям, изображающая точка будет блуждать от точки А к и обратно, и никаким выбором коэффициента жесткой обратной связи нельзя обеспечить абсолютной устойчивости системы регулирования.