5. ДВА СПОСОБА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНОГО МОМЕНТА ВРЕМЕНИ

Определение частотных характеристик для конечного момента времени в случае задания полюсов передаточной функции стационарной части системы. Рассмотрим первый метод решения уравнения (II 1.54). Представим передаточную функцию стационарной части в виде суммы элементарных дробей:

где — действительные полюсы; — комплексные полюсы;

— комплексные полюсы, сопряженные с полюсами Подставив уравнение (111.57) в (111.55) и проинтегрировав, получим

Для построения частотной характеристики нужно знать, как это следует из выражения (111.57), способ построения характеристик звеньев двух типов:

и

В отличие от стационарных систем здесь степени могут быть дробными и даже комплексными сопряженными числами. Условимся рассматривать только главные значения аргументов всех векторов. Тогда логарифмические частотные характеристики звена будут иметь вид

где

Таким образом, для их построения можно воспользоваться обычными шаблонами для звена первого порядка (см. кн. 1, гл. VIII), умножив его характеристики на множитель

Рассмотрим построение логарифмических частотных характеристик звена Обозначим

Тогда передаточную функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей:

где

Первый сомножитель представляет собой дифференцирующее звено второго порядка (только его характеристики нужно умножить на а логарифмические частотные характеристики второго сомножителя или поправки определяются с помощью выражений

Эти функции зависят от их можно вычислить заранее и оформить в виде шаблонов (рис. II 1.7).

Следовательно, для построения частотных характеристик звена необходимо построить по шаблонам характеристики звена второго порядка, умножить их на а также с помощью шаблонов, построенных по уравнениям: (II 1.63), определить поправку, соответствующую второму сомножителю.

Рис. III.7. Кривые поправок

Таким образом, рассмотренный метод позволяет построить частотные характеристики для Если воспользоваться номограммой для замыкания (см кн. 1, гл. VIII), то можно найти характеристики передаточной функции

которую удобно назвать передаточной функцией разомкнутой стационарной системы, эквивалентной данной переменной системе в момент времени Так как

то логарифмические частотные характеристики, соответствующие можно найти с помощью сложения ординат логарифмических частотных характеристик, соответствующих

Определение логарифмических частотных характеристик для конечного момента времени для случая, когда стационарная часть системы задана своими частотными характеристиками. Рассмотрим решение уравнения (III.54) в частотной области, т. е. при предположив, что аналитическое выражение для передаточной функции стационарной части неизвестно, а известны лишь соответствующие частотные характеристики. В этом случае при имеем

Умножая левую и правую части уравнения (II 1.66) на получим

где

Введем обозначения для амплитудных и фазовых частотных характеристик:

С учетом принятых обозначений уравнение (III.67) примет вид

или

Приравнивая действительные и мнимые части, получим систему уравнений в частотной области:

или после перехода к десятичному логарифму будем иметь

где

Из формул (III.70) находим

Таким образом, задачу построения логарифмических частотных характеристик системы рассматриваемого класса можно свести к интегрированию уравнений (III.71) по логарифму частоты. Граничные условия для интегрирования уравнений (III.71) можно определить, учитывая, что поэтому

Из условий (III.72) вытекает, что интегрирование производных амплитуды и фазы удобно проводить, двигаясь из области высоких к области низких частот.

Построение производных амплитуды и фазы, как это следует из уравнений (III.71), фактически заключается в вычислении вещественной и мнимой частотных характеристик и умножения их на масштабные коэффициенты. Эти операции значительно упрощаются, если воспользоваться номограммой (рис. III.8) для определения производных амплитуды и фазы по логарифмическим частотным характеристикам

На номограмме по оси координат отложены значения амплитуды и фазы для различных

Для того чтобы построить производные амплитуды и фазы необходимо на номограмму нанести для ряда частот значения амплитуд и фаз, снятых с логарифмических характеристик. Полученные точки соединяются плавной кривой. Точки пересечения этой кривой с линиями номограммы дают значения

Рис. III.8. (см. скан) Номограмма для определения производных от амплитуды и фазы

Следует помнить, что при построении производной фазы положительным фазовым углам номограммы соответствуют положительные значения а отрицательным отрицательные.

Таким образом, построение логарифмических частотных характеристик системы рассматриваемым методом состоит из следующих операций:

1) согласно заданной структурной схеме строятся логарифмические частотные характеристики где — передаточная функция стационарной части системы;

Рис. III.9. Логарифмические частотные характеристики

2) с помощью номограммы для производных амплитуды и фазы на том же графике строятся и

3) планиметрируя площади под найденными кривыми, находятся:

4) так как

то с помощью номограммы для замыкания [7, 8] определяются характеристики а затем путем сложения строятся так как

Пример 2. Предположим, что для системы, приведенной на рис. III.4, имеем а логарифмические частотные характеристики стационарной части умноженной на имеют вид, показанный на рис. III.9. Логарифмические частотные характеристики замкнутой системы с переменными параметрами для момента времени

найденные изложенным выше способом, изображены на том же рис. III.9.

Таким образом, данный метод позволяет произвести построение логарифмических частотных характеристик системы без необходимости разложения на элементарные дроби передаточной функции стационарной части