4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ
Изложенный выше метод формирующих фильтров лежит в основе статистического анализа линейных систем с переменными параметрами, цель которого заключается в определении дисперсии и корреляционной функции сигнала на выходе системы по заданной корреляционной функции сигнала на ее входе. Вообще говоря, существует два подхода к решению задачи анализа систем автоматического регулирования при случайных воздействиях.
Первый подход — аналитический. Недостатком его является то, что он практически применим к узкому кругу задач, к которому в основном можно отнести линейные постоянные системы при стационарных случайных воздействиях. Как это было уже показано (см. кн. 2, гл. I, § 11), решение задачи в данном случае сводится к вычислению интегралов вида (1.151). Поэтому мы не будем здесь на нем останавливаться.
Второй подход — экспериментальный. Он состоит в том, что дифференциальные уравнения исследуемой системы набираются на аналоговой вычислительной машине, которая возбуждается от соответствующего генератора шума. При этом наиболее широкое распространение получил метод сопряженных систем, сущность которого для случая детерминированных воздействий была изложена в гл. I, § 7 настоящей книги (см. также [3], [4]).
Анализ систем с переменными параметрами при случайных воздействиях на основе метода сопряженных систем заключается в следующем. Как это было показано выше, исследование системы с переменными параметрами, на вход которой подано нестационарное случайное воздействие, может быть сведено к исследованию эквивалентной системы с белым шумом на входе (см. рис. II.3) и состоящей из последовательно соединенных формирующего фильтра и исходной системы.
Обозначим импульсные переходные функции исходной системы и формирующего фильтра соответственно через 
Тогда импульсная переходная функция эквивалентной системы
а дисперсия величины на выходе
Последнее выражение показывает, что если ко входу эквивалентной системы приложить дельта-функцию, то на выходе получится сигнал 
Так как переменной интегрирования в формуле (II.53) является 
то для определения значения 
соответствующего некоторому значению 
необходимо определить импульсные переходные функции для различных 
найти ординаты этих функций, соответствующих выбранному значению 
и различным 
и, наконец, произвести численное или графическое интегрирование согласно формуле (11.53). Этой сложной процедуры можно избежать, если так же, как и в случае детерминированных сигналов (см. гл. I, § 7), применить метод сопряженных систем. Для применения данного метода произведем в формуле (11.53) замену переменной 
где 0 время, отсчитываемое от начала опыта при моделировании.
В результате получим
Выражение (II.54) дает возможность определить дисперсию в различные фиксированные моменты времени 
Рис. II.5. Определение дисперсии методом сопряженных систем
Для этого достаточно набрать на модели (рис. II.5) уравнения сопряженной системы, эквивалентной последовательно соединенным исходной системе и формирующему фильтру, возвести решение в квадрат и проинтегрировать в пределах от нуля до 
Сигнал на выходе интегратора в момент 
будет равен дисперсии 
выходного сигнала системы в этот момент времени. Заметим, что для определения 
на моделирующей установке удобнее решать не уравнение (1.5) с воздействием в виде дельта-функции, а однородное уравнение (1.25) с начальными условиями вида (1.26).
Повторяя процесс решения для различных фиксированных значений 
можно исследовать изменение дисперсии со временем.
