ГЛАВА IX. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРИНЦИПЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

В настоящей главе излагается метод, который позволяет с минимальной затратой труда провести исследование систем автоматического регулирования, содержащих нелинейный элемент (один или несколько) и линейную часть, описываемую дифференциальными уравнениями любого порядка. Метод позволяет определить условия устойчивости нелинейных систем, найти возможные колебания в них и их устойчивость, определить частоту и амплитуду этих колебаний. Он позволяет также (и это весьма существенно) решить задачу стабилизации системы сравнительно просто и, в частности, дает возможность выбирать корректирующие цепи, обеспечивающие заданные характеристики.

Используемые построения аналогичны построениям, выполняемым при частотном методе исследования линейных систем. Метод основан на принципе гармонического баланса и на введении понятия эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента Метод предполагает гармонический характер колебаний в системе и поэтому дает решение задачи в первом приближении. Однако, если линейная часть системы регулирования представляет низкочастотный фильтр, что часто имеет место, то, пользуясь излагаемым методом, допускают незначительную ошибку, тем меньшую, чем выше фильтрующее действие линейной части системы.

1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА

Рассмотрим вначале линейный элемент системы регулирования. Если на вход этого элемента подать величину то на выходе его получим величину связанную с следующим линейным уравнением:

где преобразование Лапласа для

— преобразование Лапласа для а;

— передаточная функция линейного элемента.

Если в частном случае величина представляет синусоидальную функцию времени с амплитудой А и частотой со, то она символически может быть представлена в виде

Установившееся значение величины на выходе линейного элемента при этом будет

где — комплексный коэффициент усиления линейного элемента, получающийся из при

Согласно уравнению (IX.3), на выходе звена получается также синусоидальное колебание, в общем случае отличающееся по амплитуде и по фазе от Это отличие в амплитуде и фазе целиком определяется комплексным коэффициентом усиления Модуль величины показывает, во сколько раз амплитуда на выходе больше амплитуды на входе, аргумент в величины определяет разность фаз между выходом и входом.

Рис. IX.1. Характеристики линейного элемента (частный случай): а — частотные; б — амплитудные

Для линейного элемента модуль и аргумент передаточной функции являются в общем случае некоторой функцией частоты (рис. IX. 1, а) и не зависят от величины амплитуды А входного синусоидального колебания (рис. IX. 1,6).

Рассмотрим теперь нелинейный элемент. В этом случае выходная и входная величины будут связаны между собой некоторой нелинейной зависимостью вида

Здесь для простоты предполагается, что выходная величина зависит только от входной и не зависит от ее производных или интегралов. Предполагается также, что при изменении по синусоидальному закону среднее значение за период равно нулю, т. е.

Подобные ограничения все же позволяют охватить при исследовании весьма широкий класс нелинейных систем автоматического регулирования. Более сложные случаи рассмотрены ниже и в работе [2]. Вид нелинейной зависимости, определяемый уравнением (IX.4), может быть весьма разнообразным.

Рис. IX.2. Характеристики нелинейных элементов: а — серводвигателя переменной скорости с зоной нечувствительности С; б - элемент с сухим трением или зазором, когда при при при в — нелинейного элемента релейного регулятора, когда — В при при — при , г — нелинейного элемента вибрационного регулятора, когда

Однако в системах регулирования наиболее часто встречаются нелинейные зависимости, приводящиеся к виду, графически показанному на рис. IX.2.

Пусть на вход нелинейного элемента подано синусоидальное колебание амплитуды А и частоты тогда на выходе

нелинейного элемента в силу уравнений (IX.4) и (IX.5) получится периодическое движение, которое в общем случае будет содержать весь спектр гармоник. Ограничимся в разложении в ряд Фурье лишь первой гармоникой, т. е. будем считать, что выходная величина также является синусоидальной, тогда

Величины и в выражении (IX.6) определяются как коэффициенты первой гармоники ряда Фурье. Следовательно, они будут равны

или, обозначив через получим

Выражение для можно преобразовать

Согласно принятому закону изменения величины на входе нелинейного элемента и поэтому

где

Значение равно площади петли, образуемой характеристикой нелинейного элемента (рис. IX.2, б - г). Поэтому для однозначных характеристик (рис. IX. 2, а)

Величину

будем называть эквивалентной передаточной функцией нелинейного элемента.

Амплитуда эквивалентной передаточной функции

показывает, во сколько раз первая гармоника на выходе нелинейного элемента больше амплитуды А синусоидального входного сигнала. Фаза эквивалентной передаточной функции

определяет разность фаз между первой гармоникой на выходе нелинейного элемента и синусоидальным входным сигналом.

Рис. IX.3. Характеристики нелинейного элемента (частный случай): а — амплитудные характеристики, - частотные характеристики

Уравнения (IX.9) и (IX. 10) показывают, что эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента зависит от амлитуды А входного сигнала и не зависит от его частоты (рис. IX.3, а и б).

Из изложенного выше следует, что понятие эквивалентной передаточной функции базируется на предположении о допустимости неучета высших гармоник. Однако в силу обычно фильтрующего действия линейной части системы регулирования, не пропускающей высшие гармоники, ошибка, возникающая при этом, в большинстве случаев лежит в допустимых пределах.

Таким образом, согласно выражениям (IX.6) и (IX.9), можно написать в комплексной форме уравнение

предполагая, что меняются по гармоническому закону.

Это уравнение по внешней форме весьма напоминает уравнение (IX.3) для линейного элемента.

В качестве примера рассмотрим вычисление для релейной характеристики без гистерезиса, показанной на рис. IX.4.

Рис. IX.4. Характеристики релейного элемента: а — статическая характеристика (выход ко входу); б - формы входного и выходного сигналов

Так как характеристика однозначна, то Согласно уравнениям (IX.9) и (IX.7), имеем

где

или, измеряя величину А в единицах С, получим

где

Величину будем называть нормированной эквивалентной амплитудной характеристикой нелинейного элемента. Это

понятие относится не только к рассматриваемому примеру, но и к любому случаю однозначного нелинейного элемента. Значение в каждом случае может быть легко установлено.

График уравнения (IX.13) показан на рис. IX.5.

Максимальное значение равно — и имеет место при 2.

Если то, согласно уравнению (IX. 13), При неограниченном увеличении амплитуды А входного сигнала амплитуда первой гармоники на выходе будет стремиться к конечному значению а это означает, что коэффициент стремится к нулю.

Рис. IX.5. График зависимости для релейной характеристики

В дальнейших расчетах необходимо будет пользоваться годографом вектора или вектора который позволяет найти амплитуду и фазу первой гармоники величины на выходе нелинейного элемента в зависимости от амплитуды величины на входе. Параметром этих годографов служит амплитуда Поэтому подобные годографы в дальнейшем будем называть эквивалентными амплитудно-фазовым и характеристиками нелинейного элемента. Для построения эквивалентной характеристики

необходимо по вещественной оси откладывать величину и по мнимой оси

Величина равна

где

и для построения ее эквивалентной амплитудно-фазовой характеристики необходимо по вещественной оси откладывать и по мнимой оси Очевидно, что характеристика 20 является обратной к характеристике Если нелинейный элемент имеет однозначную характеристику, то, согласно уравнению и поэтому его амплитудная характеристика совпадает с вещественной осью.

Для случая релейной характеристики нелинейного элемента амплитудные характеристики имеют вид, графически показанный на рис. IX.6, а.

Рис. IX.6. Характеристики нелинейных элементов: а — эквивалентная амплитудная характеристика релейного элемента; — эквивалентная амплигудно-фазовая характеристика для сложной нелинейности (общий случай)

Каждой точке амплитудной характеристики занимающей участок вещественной оси от у до соответствуют два значения амплитуды . В одном случае значение амплитуд изменяется от до , а во втором — от до со. Этот результат непосредственно виден на рис. IX.5. Амплитудная характеристика также двузначна и занимает участок вещественной оси от 0 до Эквивалентные амплитудно-фазовые характеристики для одного из общих случаев показаны на рис. IX.6, б.