2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одним из важнейших этапов анализа и синтеза нестационарных систем так же, как и стационарных, является определение динамических характеристик системы в целом по динамическим характеристикам ее элементов.

Запишем дифференциальное уравнение (1.2) нестационарного элемента в символической форме:

Выражение (1.27) показывает, что выход представляет собой результат применения некоторого линейного оператора

к входу

Оператор (1.28) может рассматриваться как последовательное соединение оператора и оператора (рис. 1.2).

Оператор

удобно называть интегрирующим, так как результат его воздействия на вход и

можно представить в виде структурной схемы (рис. 1.3), содержащей интеграторов. Эта схема (см., например, [9]) легко может быть получена, если дифференциальное уравнение интегрирующего элемента, описываемого оператором (1.29) или дифференциальным уравнением вида (1.8), записать в следующей форме:

Точно так же оператор

удобно называть дифференцирующим, так как результат его воздействия на вход и

можно представить в виде структурной схемы (рис. I.4), содержащей дифференциаторов [9].

Рис. I.2. Нестационарный динамический элемент как последовательное соединение дифференцирующего и интегрирующего элементов

Возникает вопрос, каким образом, располагая уравнениями нестационарных элементов в форме (I.2) или соответствующими им операторами вида (I.28) или (I.29) и (I.32), можно находить дифференциальные уравнения или операторы для систем, состоящих из некоторого соединения дифференцирующих и интегрирующих динамических элементов.

Рис. I.3. Структурная схема интегрирующего элемента

Ответ на этот вопрос дает операторная алгебра, которая показывает, что поставленная задача может быть решена в результате алгебраических действий над операторами, Изложение основных положений операторной алгебры дается ниже [18].

Рис. 1.4. Структурная схема дифференцирующего элемента

Операторная алгебра использует следующие три основных действия:

1) сложение операторов

2) умножение операторов

3) умножение оператора на скаляр

или

Рис. 1.5. Основные действия операторной алгебры: а — сложение двух операторов; б — умножение операторов; в — умножение оператора на скаляр; г — умножение скаляра на оператор

Эти действия, соответствующие операциям сложения двух дифференциальных уравнений, их умножения и умножения

дифференциального уравнения на скаляр, графически пояснены на рис. 1.5.

Выясним смысл этих операций, причем вначале определим действие умножения, а уже затем действие сложения.