4. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С СЕРВОДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ СУХОГО ТРЕНИЯ В ЧУВСТВИТЕЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ

Рассмотрим систему регулирования, состоящую из объекта с самовыравниванием серводвигателя постоянной скорости с зоной нечувствительности и безынерционного чувствительного

элемента, обладающего сухим трением. При отсутствии сухого трения уравнения движения системы имели бы вид

Предположим теперь, что в чувствительном элементе действуют силы сухого трения (кулоновского). Во многих случаях можно считать, что зависимость силы сухого трения от скорости имеет вид, графически изображенный на рис. V.7.

Рис. V.7. Зависимость силы сухого трения от скорости

Рис. V.8. График работы чувствительного элемента при наличии сухого трения

Если относительная скорость чувствительного элемента то сила трения постоянна по величине, но отрицательна по знаку

так как она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Если то сила трения имеет то же абсолютное значение, но положительна

Если же относительная скорость равна нулю, то сила сухого трения может иметь между и любое значение:

Посмотрим, как отразится наличие силы сухого трения на работе чувствительного элемента Отложим по оси абсцисс прямоугольной системы координат величину а по оси ординат смещение (рис. V.8). Если трение отсутствует, то зависимость между представится прямой линией АВ — биссектрисой

координатного угла. Предположим теперь, что в элементе действуют силы трения. Пусть в начальный момент Начнем увеличивать Сначала увеличение не вызывает смещения так как сила трения уравновешивает усилие, возникающее при отклонении При некотором значении сила трения достигает максимального значения затем начинается увеличение по прямой Уравнение этой прямой

При уменьшении от любого значения смещения муфты не произойдет в интервале где вследствие влияния силы трения в тот промежуток времени, в который . С момента, когда , дальнейшее убывание вызовет убывание по прямой при этом Уравнение прямой имеет вид

Таким образом, при наличии трения уравнение чувствительного элемента на основании выражений (V.22) и (V.23) будет

Уравнения движения примут вид

Исключив из этих уравнений , получим

Рассматривая условие

и учитывая уравнение получим

Умножим обе части уравнения (V.27) на 8, т. е.

Условие (V.28) эквивалентно условию (V.26). Но из рис. V.8 видно, что если условие выполнено, то оно продолжает быть выполнимо, пока Подставляя вместо его значение из уравнения (V.28), получим

Условие (V.29) равносильно условию (V.26). Аналогично находим, что при

а при

Таким образом, уравнение движения приобретает вид

Упростим несколько выражения (V.32). Для этого произведем замену переменных:

тогда

Подставляя эти выражения в уравнение (V.32), получим

Обозначив

запишем:

Уравнения (V.33) поочередно, циклически сменяясь, описывают движение в системе регулирования.

Обозначая и переходя к дифференциальным уравнениям интегральных кривых, получим

Для построения фазовой поверхности системы отображаем каждое из уравнений (V.34) на свой лист фазовой плоскости.

Уравнение отражается на первый лист — полуплоскость ограниченную слева прямой

уравнение (V.346) — на второй лист — полуплоскость, ограниченную справа прямой

а уравнение на третий лист — кусок плоскости, ограниченный справа и слева прямыми

Первый лист заполнен кривыми, уравнение которых

получается путем интегрирования уравнения

Второй лист заполнен кривыми

а третий лист заполнен отрезками прямых

Участки границ, через которые изображающая точка может покинуть листы, отмечены штриховыми линиями. Для построения многолистной фазовой поверхности, которая в этом случае будет трехлистной (рис. V.9), накладываем все три листа друг на друга так, чтобы их координатные оси совпали, и склеиваем между собой вдоль участков границ, отмеченных штриховыми линиями. Из фазовой плоскости видно, что при тех значениях параметров системы, для которых она построена, в системе имеется один устойчивый предельный цикл, которому соответствуют автоколебания координаты Имеется устойчивый отрезок состояний равновесия. Если система находится в равновесии, т. е.

изображающая точка расположена на отрезке покоя, то необходим достаточно сильный начальный толчок, чтобы начались автоколебания. При надлежащем изменении параметров системы амплитуда предельного цикла будет уменьшаться и в конце концов можно достигнуть такого сочетания параметров, при котором автоколебания будут невозможны. Такого режима необходимо добиваться для нормальной работы системы регулирования.

Для определения условий устойчивой работы произведем количественное исследование, для которого используем метод точечных преобразований. В нашем случае он может быть реализован в следующем виде.

Рис. V.9. Трехлистная фазовая поверхность системы регулирования при объекте с самовыравниванием

Мы будем рассматривать переход каждой точки полупрямой в соответствующую точку линии разветвления [см. уравнение (V.34)]. Этот переход будет определяться некоторой формулой, которую мы найдем. Затем найдем закон преобразования линии разветвления [уравнение (V.34)] в полупрямую Этими двумя последовательными переходами точки полупрямой переводятся в точки

Ввиду симметрии фазовой поверхности относительно начала координат можно утверждать, что точки полупрямых расстояния которых от начала координат одинаковы (по модулю), определяют амплитуду предельного цикла. Требуя, чтобы эти точки совпадали с точками разветвления получим условие устойчивости. Далее нетрудно определить, устойчив ли предельный цикл. Так, если упомянутые выше расстояния приближаются по величине как снаружи, так и изнутри к амплитуде предельного цикла при возрастании времени, то последний устойчив, если же удаляются, то неустойчив. Условие устойчивости

можно выразить аналитически в общем случае. Применим этот способ и к нашей задаче.

Рассмотрим точку с координатами лежащую слева от точки Найдем уравнение траектории, проходящей через эту точку. Из уравнения (V.366) имеем

Мы получили искомое уравнение. Найдем теперь точку пересечения этой траектории с прямой [уравнение Подставляя уравнение в формулу получим

Уравнение (V.376) определяет ординату точки Далее определим формулу, переводящую точку полупрямой в соответствующую точку линии разветвления [уравнения Через точку с координатами проводим траекторию [уравнение При этом можно записать

Ордината уточки пересечения этой траектории с прямой

Движение будет периодическим, если ему соответствуют замкнутая траектория на фазовой плоскости, что имеет место, если одна из прямых [уравнение представляющих траектории третьего листа, проходит через обе точкй Но расстояние по вертикали между точками пересечения траекторий [уравнение прямых [формулы (V.35)] равно Поэтому условие периодичности есть

Подставляя последнее условие в уравнение (V.38б), получим

Из уравнений (V.37б) и (V.38в) легко определяются амплитуды предельного цикла. Однако нас больше интересует условие устойчивости, которое заключается в том, чтобы амплитуда была меньше или равна абсциссе точки Абсциссу находим из уравнения (V.36б).

Подставляя в формулы найдем

где

Исключая нетрудно определить границу области устойчивости. Второе уравнение имеет один действительный корень

Подставляя его в первое уравнение, находим, что условие устойчивости принимает вид

и зависит лишь от двух параметров

Плоскость параметров изображена на рис. V.10. Незаштрихованная часть плоскости соответствует неустойчивому состоянию системы регулирования; при этом система имеет устойчивый предельный цикл. Если то амплитуда его стремится к бесконечности. Заштрихованная часть плоскости параметров соответствует устойчивому состоянию системы регулирования.

Из рассмотрения рис. V.10 можно сделать вывод о целесообразном выборе параметров системы регулирования. Возьмем в плоскости например точку М, лежащую на границе устойчивости. Если увеличивать то и а растут, но отношение их остается постоянным:

Рис. V.10. Плоскость параметров в случае объекта без самовыравнивания

Следовательно, точка М перемещается по прямой, проходящей через начало координат, удаляясь от начала. При этом она попадает в область устойчивости, и при дальнейшем увеличении запас устойчивости, который может быть охарактеризован расстоянием от границы устойчивости, будет увеличиваться; при уменьшении точка М попадает в область неустойчивости.

Поскольку точка М выбрана на границе устойчивости произвольно, наше рассуждение является общим; с увеличением всегда повышается устойчивость системы.

Из рис. V. 10 видно, что если то система регулирования устойчива при любых е.

Следовательно, если у регулятора нет обратной связи, но объект обладает самовыравниванием, то для устранения возможности возникновения автоколебаний нужно выбирать параметр

Рост параметра при заданных достигается увеличением