4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Приведем примеры расчета систем с одной и друмя нелинейностями.

Пример 4. Рассмотрим нелинейную следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. XI.14, а с релейным усилителем Выражение ошибки имеет вид где и соответственно входная и

выходная величины. Напряжение на выходе датчика будет На вход усилителя поступает напряжение рассогласования и обратной связи:

где — коэффициент пропорциональности, — передаточное отношение редуктора.

Напряжение на входе реле будет

Примем, что характеристика релейного элемента имеет вид, изображенный на рис. XI.14, б.

Рис. XI. 14. Нелинейная следящая система: а — структурная схема; б — характеристика нелинейного звена

Тогда после гармонической линеаризации имеем

где через А обозначена амплитуда колебаний напряжения причем

Следовательно,

Скорость вращения исполнительного электродвигателя будет

Подставляя значение и заменяя получим выражение ошибки системы в операторной форме:

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы будет

где

Согласно формулам (XI.74) и (XI.75) выражения для коэффициента затухания и частоты колебаний имеют вид

где

Следовательно,

Для построения линий на диаграмме качества нелинейных процессов по параметру уравнение (XI.92) преобразуем:

Для нахождения периодического решения полагаем При этом

где — амплитуда периодического решения.

Отсюда для каждого значения амплитуды периодического решения легко определяется значение параметра Пользуясь уравнением (XI.96), можно для определенных постоянных значений построить зависимости представляющие на диаграмме качество линии равных значений показателя затухания ?.

Для построения линий равного значения частоты колебаний со воспользуемся формулой

Эта формула дает возможность после построения линий равного значения определить частоту колебаний со в любой точке диаграммы затухания.

Процесс построения линий равного значения со упрощается, если

Как будет видно из дальнейшего, оба неравенства удовлетворяются; при этом

Так же, как и при построении линий для определенных значений строятся зависимости представляющие на диаграмме затухания линии равного значения частоты колебаний.

Рис. XI. 15. Диаграмма качества затухания в нелинейной следящей системе

Рис. XI. 16. Переходные процессы в нелинейной следящей системе

На рис. XI. 15 при помощи уравнений ХI.96) и (XI.97) построена диаграмма качества нелинейных колебаний при численных значениях параметров:

Для определения погрешности метода на рис. XI. 16 построен переходный процесс в системе путем численно-графического решения нелинейных

уравнений данной системы при начальном значении амплитуды колебаний в. Там же штриховой линией показана огибающая переходного процесса, построенная приближенно на основании кривой полученной из рис. XI.15. Отсюда (см. рис. XI. 16) видно, что приближенный расчет методом гармонической линеаризации дает небольшую, допустимую в технических расчетах, погрешность при определении огибающей переходного процесса. Погрешность определения со также невелика и составляет не более

Оценим погрешность определения времени затухания переходного процесса от начальной амплитуды в до амплитуды в. Точное значение определяемое из графика на рис. XI. 16, равно 0,85 сек. Приближенный расчет по формуле (XI.82) дает сек.

Пример 5. Рассмотрим следующую систему, структурная схема которой показана на рис. XI. 17, а с двумя нелинейностями (рис. XI.17, б и в).

Рис. XI. 17. Структурная схема нелинейной следящей системы (я); характеристика реле (б); характеристика реле с зоной нечувствительности (в)

Переходные процессы в системе (рис. XI. 17, а) описываются системой уравнений:

Амплитуды колебания в переходном процессе на входах двух нелинейных звеньев и обозначим соответственно А и А.

Гармоническая линеаризация первой нелинейности (рис. XI. 17, б) дает

а для второй нелинейности (рис. XI. 17, в) будем иметь

Подставляя значение переменных и производя соответствующие преобразования, можно получить выражение для рассогласования в виде

Таким образом, характеристическое уравнение системы имеет вид

где

Связь между амплитудами колебаний на входах нелинейных звеньев в соответствии со структурной схемой системы (рис. XI. 17, а) определяется через передаточную функцию

где

откуда

Уравнения для исследования качества переходных процессов в данном случае, согласно формулам (XI.74) и (XI.75), имеют вид

Коэффициент, характеризующий параметры нелинейных звеньев с учетом выражения (XI. 105) будет

Заменив амплитуду колебаний А при помощи выражения (XI. 106), получим

Для исследования переходных процессов в уравнения (XI. 107) необходимо подставить полученное значение Однако предварительно их целесообразно несколько упростить.

В соответствии с идеей, положенной в основу метода, одним из условий его применимости является достаточная колебательность переходного процесса. При затухании процесса за 1—3 колебания величина составляет менее от Следовательно, учитывая приближенность метода во всех формулах, можно пренебречь величиной по сравнению с Одновременно для сокращения записи введем обозначения:

При этом основные формулы (XI. 107) принимают вид

Из этих выражений видно, что показатель затухания переходных процессов 5 и частота колебаний <о являются сложными функциями параметров системы (XI.17, а) и амплитуды колебаний А. Кроме того, показатель затухания является функцией частоты колебаний, а частота колебаний, в свою очередь, зависит от него.

Последующий расчет должен, во-первых, дать возможность определить быстроту затухания и частоту колебаний в переходном процессе и, во-вторых, если полученные параметры переходного процесса окажутся неприемлемыми, то полученные формулы должны дать возможность выбрать более оптимальный переходный процесс.

Расчет по формулам (XI. 110) наиболее удобно производить методом последовательного приближения, используя условие (XI.73), т. е.

При этом решение производится в следующем порядке:

а) в формулы (XI. 110) подставляем выбранные, или заданные условиями работы параметры системы, например:

где — начальное отклонение системы от нулевого положения.

После этого в правой части формулы (XI. 110) останутся две неизвестные величины — частота колебаний со и показатель затухания системы

б) в качестве первого приближения полагаем в правой части формул по сравнению с из второй формулы (XI. 110) определяем первое приближение частоты колебаний

в) подставляем полученное значение в первую из формул (XI. 110) и определяем первое приближение показателя затухания

г) подставляя значение во вторую формулу (XI.68), определяем второе приближение

д) аналогично определяем второе приближение 5а.

Если полученное значение значительно отличается от то находим третье приближение. Практически решение получается достаточно быстро.

Таким образом, будут получены значения и для одного из значений амплитуды колебаний А. В частности, для параметров системы, приведенных выше, при рад находим

Затем расчет повторяется для других необходимых значений амплитуды колебаний.

На рис. XI. 18 изображены графики изменения показателя затухания 5 и частоты при изменении амплитуды колебаний А. Полученные графики позволяют, пользуясь формулами (XI.82), (XI.84) и (XI.89), определить интересующие проектировщика параметры системы.

В частности, некоторые выводы можно сделать и не прибегая к формулам, например:

а) при увеличении амплитуды колебаний частота падает, так что в данной системе опасаться резонансных явлений не следует;

Рис. XI. 18. Зависимость показателя затухания и частоты колебаний от амплитуды колебаний

б) постоянная времени переходного процесса при значительных отклонениях составляет

т. е. не слишком велика;

в) отношение в данном случае составляет

т. е. процесс затухает быстро.

Подобные числовые оценки можно привести и для других значений амплитуды колебаний. Если такие расчеты произвести для ряда других значений одного из параметров системы, например коэффициента усиления, то можно построить диаграмму качества затухания нелинейных процессов, которая позволяет оценивать переходные процессы во всей области изменения реальных параметров системы.