Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Приведем примеры расчета систем с одной и друмя нелинейностями.

Пример 4. Рассмотрим нелинейную следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. XI.14, а с релейным усилителем Выражение ошибки имеет вид где и соответственно входная и

выходная величины. Напряжение на выходе датчика будет На вход усилителя поступает напряжение рассогласования и обратной связи:

где — коэффициент пропорциональности, — передаточное отношение редуктора.

Напряжение на входе реле будет

Примем, что характеристика релейного элемента имеет вид, изображенный на рис. XI.14, б.

Рис. XI. 14. Нелинейная следящая система: а — структурная схема; б — характеристика нелинейного звена

Тогда после гармонической линеаризации имеем

где через А обозначена амплитуда колебаний напряжения причем

Следовательно,

Скорость вращения исполнительного электродвигателя будет

Подставляя значение и заменяя получим выражение ошибки системы в операторной форме:

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы будет

где

Согласно формулам (XI.74) и (XI.75) выражения для коэффициента затухания и частоты колебаний имеют вид

где

Следовательно,

Для построения линий на диаграмме качества нелинейных процессов по параметру уравнение (XI.92) преобразуем:

Для нахождения периодического решения полагаем При этом

где — амплитуда периодического решения.

Отсюда для каждого значения амплитуды периодического решения легко определяется значение параметра Пользуясь уравнением (XI.96), можно для определенных постоянных значений построить зависимости представляющие на диаграмме качество линии равных значений показателя затухания ?.

Для построения линий равного значения частоты колебаний со воспользуемся формулой

Эта формула дает возможность после построения линий равного значения определить частоту колебаний со в любой точке диаграммы затухания.

Процесс построения линий равного значения со упрощается, если

Как будет видно из дальнейшего, оба неравенства удовлетворяются; при этом

Так же, как и при построении линий для определенных значений строятся зависимости представляющие на диаграмме затухания линии равного значения частоты колебаний.

Рис. XI. 15. Диаграмма качества затухания в нелинейной следящей системе

Рис. XI. 16. Переходные процессы в нелинейной следящей системе

На рис. XI. 15 при помощи уравнений ХI.96) и (XI.97) построена диаграмма качества нелинейных колебаний при численных значениях параметров:

Для определения погрешности метода на рис. XI. 16 построен переходный процесс в системе путем численно-графического решения нелинейных

уравнений данной системы при начальном значении амплитуды колебаний в. Там же штриховой линией показана огибающая переходного процесса, построенная приближенно на основании кривой полученной из рис. XI.15. Отсюда (см. рис. XI. 16) видно, что приближенный расчет методом гармонической линеаризации дает небольшую, допустимую в технических расчетах, погрешность при определении огибающей переходного процесса. Погрешность определения со также невелика и составляет не более

Оценим погрешность определения времени затухания переходного процесса от начальной амплитуды в до амплитуды в. Точное значение определяемое из графика на рис. XI. 16, равно 0,85 сек. Приближенный расчет по формуле (XI.82) дает сек.

Пример 5. Рассмотрим следующую систему, структурная схема которой показана на рис. XI. 17, а с двумя нелинейностями (рис. XI.17, б и в).

Рис. XI. 17. Структурная схема нелинейной следящей системы (я); характеристика реле (б); характеристика реле с зоной нечувствительности (в)

Переходные процессы в системе (рис. XI. 17, а) описываются системой уравнений:

Амплитуды колебания в переходном процессе на входах двух нелинейных звеньев и обозначим соответственно А и А.

Гармоническая линеаризация первой нелинейности (рис. XI. 17, б) дает

а для второй нелинейности (рис. XI. 17, в) будем иметь

Подставляя значение переменных и производя соответствующие преобразования, можно получить выражение для рассогласования в виде

Таким образом, характеристическое уравнение системы имеет вид

где

Связь между амплитудами колебаний на входах нелинейных звеньев в соответствии со структурной схемой системы (рис. XI. 17, а) определяется через передаточную функцию

где

откуда

Уравнения для исследования качества переходных процессов в данном случае, согласно формулам (XI.74) и (XI.75), имеют вид

Коэффициент, характеризующий параметры нелинейных звеньев с учетом выражения (XI. 105) будет

Заменив амплитуду колебаний А при помощи выражения (XI. 106), получим

Для исследования переходных процессов в уравнения (XI. 107) необходимо подставить полученное значение Однако предварительно их целесообразно несколько упростить.

В соответствии с идеей, положенной в основу метода, одним из условий его применимости является достаточная колебательность переходного процесса. При затухании процесса за 1—3 колебания величина составляет менее от Следовательно, учитывая приближенность метода во всех формулах, можно пренебречь величиной по сравнению с Одновременно для сокращения записи введем обозначения:

При этом основные формулы (XI. 107) принимают вид

Из этих выражений видно, что показатель затухания переходных процессов 5 и частота колебаний <о являются сложными функциями параметров системы (XI.17, а) и амплитуды колебаний А. Кроме того, показатель затухания является функцией частоты колебаний, а частота колебаний, в свою очередь, зависит от него.

Последующий расчет должен, во-первых, дать возможность определить быстроту затухания и частоту колебаний в переходном процессе и, во-вторых, если полученные параметры переходного процесса окажутся неприемлемыми, то полученные формулы должны дать возможность выбрать более оптимальный переходный процесс.

Расчет по формулам (XI. 110) наиболее удобно производить методом последовательного приближения, используя условие (XI.73), т. е.

При этом решение производится в следующем порядке:

а) в формулы (XI. 110) подставляем выбранные, или заданные условиями работы параметры системы, например:

где — начальное отклонение системы от нулевого положения.

После этого в правой части формулы (XI. 110) останутся две неизвестные величины — частота колебаний со и показатель затухания системы

б) в качестве первого приближения полагаем в правой части формул по сравнению с из второй формулы (XI. 110) определяем первое приближение частоты колебаний

в) подставляем полученное значение в первую из формул (XI. 110) и определяем первое приближение показателя затухания

г) подставляя значение во вторую формулу (XI.68), определяем второе приближение

д) аналогично определяем второе приближение 5а.

Если полученное значение значительно отличается от то находим третье приближение. Практически решение получается достаточно быстро.

Таким образом, будут получены значения и для одного из значений амплитуды колебаний А. В частности, для параметров системы, приведенных выше, при рад находим

Затем расчет повторяется для других необходимых значений амплитуды колебаний.

На рис. XI. 18 изображены графики изменения показателя затухания 5 и частоты при изменении амплитуды колебаний А. Полученные графики позволяют, пользуясь формулами (XI.82), (XI.84) и (XI.89), определить интересующие проектировщика параметры системы.

В частности, некоторые выводы можно сделать и не прибегая к формулам, например:

а) при увеличении амплитуды колебаний частота падает, так что в данной системе опасаться резонансных явлений не следует;

Рис. XI. 18. Зависимость показателя затухания и частоты колебаний от амплитуды колебаний

б) постоянная времени переходного процесса при значительных отклонениях составляет

т. е. не слишком велика;

в) отношение в данном случае составляет

т. е. процесс затухает быстро.

Подобные числовые оценки можно привести и для других значений амплитуды колебаний. Если такие расчеты произвести для ряда других значений одного из параметров системы, например коэффициента усиления, то можно построить диаграмму качества затухания нелинейных процессов, которая позволяет оценивать переходные процессы во всей области изменения реальных параметров системы.

1
Оглавление
email@scask.ru