2. ТЕОРИЯ ПРОСТЕЙШИХ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В качестве примера рассмотрим однокаскадный электрический сервомеханизм, принципиальная схема которого изображена на рис. VI.7. Сервомеханизм представляет собой электродвигатель постоянного тока управляемый с помощью контактного устройства 1. Жесткая обратная связь его выполнена в виде зубчатой передачи 5, связывающей выходную ось (выход) 5 с контактным устройством 1.

Сервомеханизм предназначен для усиления крутящего момента в системе автоматического регулятора. Входной сигнал от датчика регулятора поступает на ось (вход) 2 и с помощью контактного устройства замыкает цепь питания электродвигателя 4. Выходная ось 5 электродвигателя следит за движением входной оси с помощью жесткой обратной связи.

На электродвигатель действуют инерционная и демпфирующая нагрузки, а также силы трения в его выходной оси. Схема действия нагрузок показана на рис. VI.8. Для срабатывания контактного устройства 1 якорь электродвигателя 4 должен повернуться на некоторый угол относительно контактов, закрепленных

на зубчатой шестерне 3, так как в зубчатой передаче обратной связи имеются зазоры между зубьями (см. рис. VI.7). Таким образом, сервомеханизм представляет типичную нелинейную систему с релейным управлением, зазором в обратной связи и сухим трением в серводвигателе.

Рис. VI.7. Принципиальная схема электрического однокаскадного сервомеханизма

Согласно закону моментов количества движения уравнение вращающихся масс можно записать в следующем виде:

где — приведенный к выходной оси электродвигателя момент инерции вращающихся масс;

— крутящий момент;

— момент сопротивления;

— угловая скорость выходной оси.

Рис. VI.8. Схема нагрузок, действующих на электродвигатель сервомеханизма — имитаторы нагрузок: 1 — сухого трения; 2 — жидкостного трения; 3 — момента инерции; 4 — электродвигател сервомеханизма

Крутящий момент электродвигателя 4 пропорционален току в якоре:

а ток в якоре определяется напряжением на клеммах электродвигателя сопротивлением цепи якоря и противоэлектродвижущей силой, т. е.

где — противоэлектродвижущая сила, изменяющаяся пропорционально угловой скорости электродвигателя.

Момент сопротивления определяется демпфирующим моментом, создаваемым демпфером 2, и моментом сухого трения выходного вала в подшипниках и т. д., т. е.

где — демпфирующий момент, пропорциональный угловой скорости;

Если то уравнение (VI.9) должно быть заменено исходя из того, что покоя может принимать любое значение в пределах

Напряжение на клеммах электродвигателя включается с помощью контактного устройства. Включенное или выключенное состояние реле определяется углами поворота задающей оси и ведомой зубчатой шестерни.

Обозначим угол поворота задающей оси а угол поворота шестерни, на который закреплены клеммы реле, (угол поворота обратной связи). Тогда напряжение, включаемое в реле, может быть представлено как нелинейная функция от разности углов поворота контактов, вызываемых входным сигналом и обратной связью в следующем виде:

где

а представляет зону нечувствительности реле, величина которой определяется межконтактным расстоянием.

Вид нелинейной характеристики контактного устройства показан на рис. VI.9.

Вследствие зазора в зубчатой передаче обратной связи угол поворота шестерни, несущей контакты, неоднозначно связан с углом поворота выходной оси сервомеханизма

Зависимость графически показана на рис. VI.10.

Такая характеристика математически может быть описана следующими уравнениями:

Рис. VI.9. Характеристика контактного устройства

Рис. VI.10. Характеристика передачи при наличии зазора

Подставляя в уравнение (VI.6) и из уравнений (VI.7) и (VI.8) и — из уравнения (VI.9), а также используя уравнения (VI. 10), (VI. 11) и (VI. 12), получим уравнение движения электрического сервомеханизма в следующем виде:

В дальнейшем будем исследовать свободные колебания сервомеханизма, а потому положим входной сигнал равным нулю: тогда

Запишем уравнение (VI. 13) в следующем виде:

Обозначим: относительный угол поворота выходного вала электродвигателя

относительную величину напряжения, включаемого на клеммы электродвигателя, в виде

коэффициент, характеризующий инерционную нагрузку,

коэффициент, характеризующий скорость отработки,

относительную величину момента сухого трения

относительное расстояние между контактами

относительный зазор в зацеплении

После подстановки принятых обозначений в уравнение (VI. 15) получим уравнение движения сервомеханизма в относительных величинах:

Нелинейная функция когда пренебречь инерцией передачи обратной связи, легко определяется по двум нелинейным функциям Математическое выражение подобной функции уже приводилось в гл. VI книги 1. Выпишем выражение для этой функции после его приведения в относительных величинах.

Нелинейную функцию математически можно записать так:

Часто для удобства аналитического исследования производят еще дополнительные преобразования уравнения (VI.23), когда все переменные уравнения и его коэффициенты являются безразмерными величинами.

Для этого введем следующие безразмерные параметры:

тогда

и уравнение (VI.23), выраженное с помощью безразмерных величин, примет следующий вид:

Функция записывается аналогично выражениям (VI.24) при замене на .

Исследование динамики системы произведем с помощью фазовой плоскости. Для этого уравнение (VI.23) или (VI.27) в зависимости от того, какое из них будет выбрано для дальнейшего анализа, удобнее представить в виде двух уравнений первого

порядка. В этом случае переменные и будут координатами фазовой плоскости:

или

В качестве второго примера рассмотрим двухкаскадный пневмогидравлический сервомеханизм, используемый часто в автопилотах [7].

На рис. VI. 11 изображена структурная схема этого двухкаскадного сервомеханизма, а на рис. VI. 12 — его принципиальная схема. В сервомеханизме имеются два каскада усиления: пневматический и гидравлический. Пневматический усилитель состоит из управляющего элемента типа сопло — заслонка 1 и исполнительного устройства мембранного типа 2. В гидравлический усилитель входит поршневой привод рулей 4, управляемый золотником 3. Сервомеханизм имеет жесткую обратную связь 5, передающую воздействие с выходного штока его через дифференциальную зубчатую передачу на управляющий элемент первого каскада усиления.

Рис. VI.II. Структурная схема двухкаскадного сервомеханизма с релейным управлением

Входной сигнал осуществляется поворотом коллектора с соплами относительно заслонки, вызывающей открытие одного сопла и закрытие другого. Воздух, притекающий в полость мембраны, создает перепад давлений по ее сторонам, под действием которого мембрана вместе с золотником, сжимая пружину, перемещается. Золотник при своем движении открывает окна и впускает масло под давлением в ту или иную полость гидропривода.

В дифференциальной передаче обратной связи имеется зазор. Если угол поворота коллектора с соплами относительно заслонки, вызывающий полное открытие того или иного сопла, невелик по сравнению с его максимальным углом поворота (что имеет место в действительности), то действие такого управляющего элемента

можно рассматривать как релейное. Заслонка может иметь некоторую перекрышу сопел, что вызовет появление зоны нечувствительности. Таким образом, сервомеханизм представляет нелинейную систему с релейным управлением при наличии зоны нечувствительности и зазора в обратной связи.

При тщательном выполнении золотника и нулевой пружины в мембранном механизме для диапазона рабочих частот сервомеханизма можно принять, что с точки зрения динамики такой мембранный механизм является статическим звеном, т. е. уравнение его движения может быть с достаточной для целей практики точностью заменено уравнением связи.

Рис. VI. 12. Принципиальная схема пневмогидравлического сервомеханизма автопилота

Обозначим перепад давления воздуха на мембране через эффективную площадь мембраны через коэффициент жесткости нулевой пружины (или суммарный коэффициент нулевой пружины и мембраны) через С и ход золотника через х. Тогда уравнение будет иметь следующий вид:

Перепад давления воздуха на мембране устанавливается не сразу, а с течением времени. Экспериментальные исследования этого вопроса показали, что для данных типов мембранных устройств и управляющих элементов (сопло — заслонка) перепад давлений на мембране нарастает (или падает) примерно по экспоненциальному закону.

Таким образом, дифференциальное уравнение установления перепада давлений на мембране имеет следующий вид:

где и - постоянные коэффициенты, физический смысл которых будет объяснен ниже; а — угол открытия сопел.

Если в начальный момент при то скорость нарастания перепада в этот момент будет

С другой стороны, давление в камере мембранного механизма можно представить согласно уравнению состояния газов в следующем виде:

где — давление в камере; противодавление в другой камере мембранного механизма ввиду малости не учитываем;

— весовое количество воздуха в камере;

К — газовая постоянная;

Т — температура воздуха (абсолютная);

V — объем камеры.

В дальнейшем считаем Дифференцируя уравнение (VI.33) по времени, получим

Весовое количество воздуха, находящегося в камере, определяется количеством воздуха, притекающего в камеру в единицу времени от пневмореле , если мембранный механизм имеет отводящие сопла, — количеством воздуха, утекающего в единицу времени из камеры в атмосферу.

В связи с этим можно записать, что

Подставляя из уравнения (VI.35) в (VI.34), получим

Приток воздуха в камеру (или отток) зависит от давления воздуха в ней, поэтому для принятых ранее начальных условий обозначим

тогда в начальный момент

Сопоставляя уравнения (VI.32) и (VI.36), найдем

Коэффициент определяется по статической характеристике пневмоусилителя и равен

Если не учитывать влияния перекрыш золотника, то для ненагруженного привода скорость перемещения его поршня в некотором диапазоне перемещения золотника пропорциональна его ходу. Тогда, обозначая ход поршня через получим

где - постоянный коэффициент;

— перемещение золотника, при котором достигается

Открытие сопел пневмореле определяется входным сигналом и воздействием обратной связи

Зависимость (VI.40) ввиду существования зоны нечувствительности и зазора в дифференциале обратной связи является существенно нелинейной. Как и в первом примере, будем рассматривать свободные колебания сервомеханизма, т. е. положим тогда уравнение (VI.40) примет вид

Решая совместно уравнения - (VI.31) и (VI.41), а также (VI.30) и (VI.39), получим

Произведем преобразование уравнений, выразив переменные в относительных величинах; для этого введем следующие обозначения:

относительное изменение давления в полости мембранного механизма

относительное перемещение поршня серводвигателя

постоянная времени мембранного исполнительного устройства

постоянная времени серводвигателя

относительная величина зазора в обратной связи

относительная величина зоны нечувствительности пневмореле, выраженная через ход серводвигателя,

Тогда преобразования уравнения (VI.42) примут следующий вид:

уравнение первого каскада усиления

уравнение второго каскада усиления

В этом случае уравнение, описывающее свободные колебания сервомеханизма, можно записать

Нелинейная неоднозначная функция математически представляется уравнениями, аналогичными соотношениям (VI.24):

При исследовании динамики сервомеханизма с помощью фазовой плоскости можно пользоваться непосредственно уравнениями (VI.49), принимая за оси координат переменные

Полученное уравнение двухкаскадного пневмогидравлического сервомеханизма для частного случая, когда динамика второго каскада описывается линейным дифференциальным уравнением, по виду полностью совпадает с ранее выведенным уравнением однокаскадного электрического сервомеханизма, если принять в нем отсутствие сухого трения

Проведем на примере двухкаскадного пневмогидравлического сервомеханизма исследование его динамики при любых начальных отклонениях, т. е. «в большом». В задачу будет входить также нахождение критического соотношения параметров сервомеханизма, разбивающего пространство его параметров на области устойчивости, наличия и отсутствия автоколебаний. Результаты исследования целиком будут относиться и к однокаскадному электрическому сервомеханизму (при

Исследование динамики сервомеханизмов на фазовой плоскости. Фазовая плоскость представляет собой трехлистную фазовую поверхность, каждый лист которой наложен на другой в соответствии с неоднозначной функцией (VI.52), так как это изображено на рис. VI.6. На каждом листе нелинейная функция имеет только одно значение из трех возможных согласно уравнению (VI.52): Изображающая точка, двигаясь пофазовой поверхности, переходит с листа на лист, только дойдя до края листа. Таким образом, края листов соответствуют границам действия того или иного линейного дифференциального уравнения и согласно релейной характеристике отвечают моментам переключений реле. Края листов являются линиями переключений.

Начнем рассмотрение движения сервомеханизма с того момента, когда привод, двигаясь в положительном направлении, выбирает зазор в обратной связи и с помощью последней включит первое реле. Для этого момента координата выхода сервомеханизма имеет значение Включение второго управляющего элемента запаздывает по сравнению с первым, поэтому координата входа его имеет положительное значение. Тогда уравнения движения сервомеханизма на первом листе фазовой плоскости, начинающемся с этого момента, примут следующий вид:

Разделив первое уравнение (VI.53) на второе, получим дифференциальное уравнение интегральных кривых:

где

Интегрируя и подставляя начальные условия, получим уравнение фазовой траектории для этого листа:

Полученное уравнение остается справедливым до тех пор, пока привод, продолжая движение в положительном направлении, не пройдет путь, соответствующий зоне нечувствительности первого реле, и не включит его снова. В этот момент произойдет смена уравнений движения сервомеханизма. В дальнейшем мы увидим, что для определенного соотношения параметров привод может и не успеть пройти путь, соответствующий зоне нечувствительности, и движение сервомеханизма прекратится. Теперь же примем, что привод успевает пройти зону нечувствительности и координата выхода в конце первого листа будет иметь значение

Тогда значение в конце первого листа определится следующим выражением, полученным из уравнения (VI.55) после подстановки в него конечных значений:

Уравнения движения сервомеханизма на втором листе будут следующие:

Дифференциальное уравнение интегральных кривых будет

Интегрируя и подставляя начальные условия получим уравнение фазовой траектории на втором листе:

Уравнение остается справедливым до тех пор, пока привод снова не выключит первое реле. Это произойдет, когда примет значение соответствовать пол-обороту изображающей точки в фазовой плоскости.

Подставляя в уравнение (VI.59) выражения для начальных и конечных значений получим

При наличии периодических колебаний системы тогда, подставляя в уравнение из уравнения (VI.56), получим уравнение, выражающее условие существования периодических колебаний системы:

Если уравнение (VI.61) имеет действительные и положительные корни то периодические колебания системы существуют. Обозначим

Будем искать решение уравнения (VI.61) графически. Величина может изменяться от 0 до является экспоненциальной функцией, — гиперболой, а прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку

— одной из ее асимптот:

При этом при

Функции изображены на рис. VI. 13.

Рис. VI. 13. Диаграмма к выявлению существования периодических колебаний системы

Из анализа функций следует, что пересекаются, т. е. система при определенном соотношении параметров, обеспечивающих приводу прохождение зоны нечувствительности, может иметь периодические колебания. Для каждого соотношения параметров сервомеханизма выше критического пересекаются только один раз, т. е. система имеет периодические колебания только с одной определенной частотой.

Критическое соотношение параметров, определяющее качественно различные случаи разбиения фазовой плоскости на траектории, может быть определено следующих соображений.

Из уравнения (VI.56) следует, что при т. е. при привод, проходя путь, соответствующий зоне нечувствительности первого реле, оказывается в конце его как раз в тот момент, когда второй управляющий элемент выключается.

Интегрируя первое уравнение системы уравнений (VI.53) и подставляя начальные условия, получим

Подставляя из уравнения (VI.64) во второе уравнение (VI.53) и интегрируя его с учетом начальных условий, найдем

Из уравнения (VI.65) следует, что через время будет равно

Если то привод пройдет путь, соответствующий зоне нечувствительности, т. е.

Отсюда следует, что при привод проходит путь, соответствующий зоне нечувствительности, за конечный промежуток времени, а при — путь, проходимый приводом меньше зоны нечувствительности, поэтому движение сервомеханизма будет затухающим.

Таким образом, необходимым условием существования периодических колебаний является выполнение неравенства

Тогда, подставляя в уравнение (VI .61)

получим следующее соотношение параметров, определяющее границу качественно различных случаев движения сервомеханизма:

Значение при котором выполняется равенство (VI.69), является критическим. Превышение означает, что движение сервомеханизма будет в зависимости от начальных отклонений апериодически или колебательно затухающим.

Если то в системе после определенных начальных отклонений возникнут установившиеся колебания.

Обозначим через

и найдем графически значение

при

при

На рис. VI. 14 и VI. 15 показано графическое определение критической величины зоны нечувствительности первого управляющего элемента (реле).

Рис. VI. 14. Графическое определение критической величины зоны нечувствительности при трех значениях

Рис. VI. 15. Графическое определение критической величины зоны нечувствительности при и трех значениях

Из анализа функций следует, что при не существует критического значения т. е. система не имеет периодических колебаний. При увеличении зазора критическое значение растет. Критическое значение увеличивается также при увеличении быстродействия сервомеханизма, т. е. при уменьшении постоянной времени привода

Сервомеханизм имеет в качестве положения равновесия континиум

при что следует из положения особых точек дифференциального уравнения, полученного из уравнения (VI.49):

Диаграмма точечного преобразования (отображения). Для доказательства того, что положение равновесия системы устойчиво, а в случае появления периодических колебаний, что они будут устойчивы (или при определенном соотношении параметров в фазовой плоскости образуется устойчивый предельный цикл), рассмотрим уравнения фазовых траекторий. Для этого подставим в выражение (VI.60) начальные значения из формулы (VI.56); тогда получим

Если периодические колебания существуют, то и уравнение (VI.73) может быть переписано в следующем виде:

Обозначим

и рассмотрим взаиморасположение кривых

Поскольку ранее доказано, что в системе может существовать только один предельный цикл, то кривые могут пересекаться лишь в одной точке.

Кроме того, было доказано, что периодические колебания системы могут существовать лишь в том случае, если и соотношение параметров удовлетворяет условию (VI.69). Тогда при получим

откуда следует, что при выполнении условия (VI.69)

При получим

так как неравенство (VI.69) показывает, что периодические колебания возможны лишь при условии — Поэтому

На рис. VI. 16 показано взаиморасположение кривых позволяющее сделать заключение, что образующийся предельный цикл будет устойчивым.

Рис. VI. 16. Диаграмма точечного отображения полупрямой в полупрямую

Рис. VI. 17. Трехлистная фазовая плоскость и фазовые траектории при

На рис. VI. 16 показана диаграмма точечного преобразования (отображения) полупрямой параллельной оси ординат и проходящей через точку в полупрямую параллельную оси ординат и проходящую через точку — (рис. VI.17).

Диаграмма (рис. VI. 16) позволяет, задавшись найти Поэтому она и представляет диаграмму точечного преобразования (отображения). Например, при проведя вертикаль до пересечения с а затем горизонталь до пересечения с найдем абсциссу, равную

Таким образом, из диаграммы нетрудно заключить, что стремится к представляющей координату предельного цикла. Это обстоятельство показывает, что траектории изображающей точки в фазовой плоскости снаружи и изнутри стягиваются к предельному циклу, т. е. последний является устойчивым.

Фазовая поверхность при существовании предельного цикла разбивается на три области. В них (рис. VI. 17) система стремится к положению равновесия; траектории наматываются изнутри, а также снаружи на траекторию предельного цикла.

Таким образом, при рассматриваемый сервомеханизм имеет устойчивое положение равновесия, пока начальные отклонения не превосходят определенных значений, например при

Рис. VI. 18. Трехлистная фазовая плоскость и фазовые траектории

Если начальные отклонения превосходят эти значения, то в системе устанавливаются устойчивые периодические колебания. При соотношении параметров сервомеханизма система после любых начальных отклонений приходит в положение равновесия. Положение равновесия в этом случае устойчиво «в большом».

«Фазовые портреты», системы для случаев, когда зона нечувствительности первого реле меньше и больше критической, изображены на рис. VI. 17 и VI. 18. Траектории изображающей точки составлены из кусков прямых и логарифмических кривых.

Геометрические размеры предельного цикла определяются только параметрами сервомеханизма и не зависят от начальных условий. Поэтому периодические колебания системы являются автоколебаниями.

Амплитуда автоколебаний координаты выхода сервомеханизма определится по уравнению (VI.59), если положить в нем и по уравнению (VI.56), если положить в нем

Вырожденный полуустойчивый цикл и критическое соотношение параметров. Покажем на рассмотренном примере, как определяется критическое соотношение параметров сервомеханизма методом вырожденных полуустойчивых циклов.

Координатами вырожденного полуустойчивого цикла являются (для пол-оборота изображающей точки в фазовой плоскости)

Из уравнения (VI.56) Подставляя значения (VI.82) в выражение (VI.60), получим сразу критическое соотношение параметров:

На основе результатов проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Двухкаскадный пневмогидравлический сервомеханизм, а также и однокаскадный электрический сервомеханизм с релейным управлением при наличии зазора в обратной связи (или коэффициента возврата реле, см. гл. VI, кн. 1) имеют критическое соотношение параметров , в частности, критическую величину зоны нечувствительности.

2. Для рассмотренных примеров критические соотношения параметров имеют одинаковый вид и показывают, что в случае, если зона нечувствительности меньше критического значения, то сервомеханизмы могут после определенных начальных отклонений приходить в автоколебания, и наоборот, в случае, если зона нечувствительности больше критической, то сервомеханизм абсолютно устойчив и после любых начальных отклонений будет приходить в положение равновесия.

3. При отсутствии зазора в обратной связи такие системы ни при каких значениях параметров не приходят в автоколебания и являются устойчивыми «в большом».

4. Как для пневмогидравлического, так и электрического сервомеханизма существуют критические значения времени привода. Если сервомеханизм при прочих постоянных параметрах имеет быстродействие выше критического то в нем будут возникать автоколебания.

5. Подавление автоколебаний в том случае, если они недопустимы, возможно для данной структуры сервомеханизма или

за счет его загрубления (например, увеличения зоны нечувствительности), или за счет снижения его быстродействия (увеличение постоянной времени привода).

Если эти меры не удовлетворяют техническим требованиям, предъявляемым к сервомеханизму, то нужно изменять его конструкцию с целью уменьшения зазора в обратной связи А, постоянной времени мембранного механизма или инерционной нагрузки сервомеханизма, характеризуемой коэффициентом Отметим, что подавление нежелательных автоколебаний успешно может производиться с помощью специальных стабилизирующих средств путем введения обратных связей по первой и второй производным от выходной координаты по времени, вибрационных контуров и т. п.

6. Наконец, вследствие того, что положением равновесия является континиум положений, пределы которых определяются величинами зоны нечувствительности и зазора, сервомеханизм имеет статическую погрешность в указанных пределах.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)