16. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Необходимым условием для нормальной работы систем автоматического регулирования является условие устойчивости (см. кн. 1, гл. XI). Известен целый ряд классических определений устойчивости, связанный с решением дифференциальных уравнений, — устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и т. д. [8]. Все эти определения основаны на рассмотрении свойств решения в течение бесконечного интервала времени. Однако всякая реальная система работает в течение конечного интервала. Причина, оправдывающая применение классических определений понятия устойчивости, заключается в том, что во многих случаях, хотя продолжительность работы системы и является конечной, однако она очень велика по сравнению с постоянными времени системы.

Таким образом, классическое понятие устойчивости применимо для систем, работающих в течение сравнительно продолжительных промежутков времени, и может быть названо «длительной» устойчивостью, или устойчивостью на бесконечном интервале.

Существуют, однако, системы, работающие в течение небольших промежутков времени, для анализа которых целесообразно ввести понятие «кратковременной» устойчивости, или устойчивости на конечном интервале.

Так же, как и для определения устойчивости, в классическом смысле существует целый ряд определений и методов исследования устойчивости на конечном интервале. В частности, в работах [I] и [3] принято следующее определение понятия устойчивости на конечном интервале.

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (см. кн. 1, гл. XI)

таковы, что при достаточно малом положительном числе величины рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию

на конечном интервале времени Т и начальные значения этих функций удовлетворяют условию

то невозмущенное движение устойчиво на конечном интервале времени Т.

Согласно этому определению исследование устойчивости систем с переменными параметрами сводится к ответу на следующие два вопроса:

каковы необходимые и достаточные условия устойчивости в указанном выше смысле по уравнениям первого приближения с переменными параметрами?

какова величина интервала времени Т, на котором имеет место устойчивость невозмущенного движения в указанном выше смысле?

Этот метод исследования устойчивости на конечном интервале в виду его сложности за недостатком места не может быть здесь изложен и читатель, интересующийся этим вопросом, отсылается к упомянутым выше работам [1] и [3].

Другое определение понятия устойчивости на конечном интервале [16] связано с рассмотрением импульсной переходной функции и требует введения ограничения на величину реакции системы при заданном ограничении на величину вызвавшего его воздействия. Таким образом, в противоположность классическому понятию устойчивости пределы изменения для воздействия и для реакции системы должны быть заранее определены. Обычно эти пределы могут быть выбраны из физических соображений. В частности, они могут ограничивать работу системы линейной областью или безопасной областью изменения ее координат. Это определение понятия устойчивости на конечном интервале заключается в следующем

Система, реакция которой на воздействие удовлетворяющее условиям

удовлетворяет неравенству

называется устойчивой на конечном интервале Т относительно заданных величин .

Величины и Т должны быть заданы для того, чтобы можно было исследовать устойчивость на конечном интервале. Одна и та же система может быть «кратковременно» устойчивой или неустойчивой, в зависимости от выбора величин .

Система классически неустойчивая может быть кратковременно устойчивой и наоборот (см. рис. 1.33, а, б).

Рис. 1.33. Графики, характеризующие устойчивость на конечном и бесконечном интервалах

Можно доказать следующую теорему [16]. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы нестационарная система, имеющая импульсную переходную функцию была устойчива на конечном интервале Т относительно заданных величин заключается в том, чтобы имело место неравенство

Доказательство достаточности условия (1.173) следует из неравенств

так как по предположению имеем

Для нахождения условия необходимости нужно показать, что когда соотношение (1.173) не удовлетворяется, т. е. если

то можно найти воздействие удовлетворяющее условиям (1.172 а) и вызывающее реакцию превышающую с, по крайней мере, для одного момента времени в интервале .

Предположим, что условие (1.173) нарушено при т. е.

и пусть

Тогда из выражения (1.174) следует, что

и, следовательно, необходимость условия (1.173) доказана.

Сравним условие (1.173) с соответствующим классическим условием для устойчивости на бесконечном интервале

В соотношении (1.175) постоянная с не определена и может иметь любое конечное значение. Это означает, что даже если то понятия «кратковременной» и классической «длительной» устойчивости отличаются друг от друга, так как в первом случае величина у имеет заданное значение, а во втором — величина с может быть любой постоянной величиной.

Для системы с постоянными параметрами условие (1.175) принимает вид

Из сказанного выше очевидно, что исследование устойчивости системы с переменными параметрами на конечном интервале согласно критерию (1.173), сводится к нахождению ее импульсной переходной функции как функции второго аргумента и вычислению интеграла (1.173) при значениях в интервале .

Не следует, однако, думать, что классическое понятие устойчивости не применимо в случае систем с переменными параметрами. На практике переходный процесс во многих системах автоматического регулирования с переменными параметрами не обязательно требует очень большого промежутка времени, чтобы достигнуть своего конечного состояния.

В ряде других случаев, в которых время выполнения системой заданной ей программы, хотя и короче, чем время переходного

процесса, устойчивость или неустойчивость на бесконечном интервале все же может иметь значение, так как в последнем случае может понадобиться устройство, останавливающее процесс и предупреждающее возможность возникновения в системе колебаний с возрастающей амплитудой [17].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)