3. СИСТЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЛЮФТОМ МЕЖДУ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ И ЗОЛОТНИКОМ

Рассмотрим в качестве примера систему регулирования, в которую входит объект без самовыравнивания, серводвигатель постоянной скорости и безынерционный чувствительный элемент, в предположении, что имеется люфт между чувствительным элементом и золотником. В случае отсутствия люфта уравнения движения будут иметь вид: уравнение объекта

уравнение чувствительного элемента

уравнение сервопоршня

уравнение золотника

Рис. V.4. Характеристика золотника

Характеристика золотника представляет собой прямую линию (биссектрису координатного угла). Допустим, что величина люфта соответствует изменению на величину . Теперь характер изменения при изменении будет иметь вид, показанный на рис. V.4.

Пусть в начальный момент (при ) люфт распределен равномерно в обе стороны При возрастании до тех пор, пока

не будет выбран люфт, т. е. пока золотник с места не сдвинется и При дальнейшем возрастании будет увеличиваться а по закону который графически изображается прямой Пусть увеличивается до значения при этом Начнем теперь уменьшать До тех пор, пока не будет полностью выбран люфт, т. е. пока не уменьшится на величину изменения не произойдет, этому соответствует отрезок . Следовательно, в этот период (при ) или .

При дальнейшем убывании а изменяется по закону который соответствует линии Если начать увеличивать от значения которому соответствует то до выборки люфта а не изменится (см. на рис. V.4 участок прямой с уравнением При дальнейшем увеличении изменение а снова идет по прямой Уравнение золотника примет вид

Следовательно, уравнения движения системы запишутся в виде

Из первого уравнения этой системы получим

В этом уравнении вид правой части зависит от знака а. Нам необходимо выразить условия через переменную Допустим, что в некоторый момент имеем Точку на плоскости а с координатами обозначим через (рис. V.4). Определим область значений в которой сохраняется (зная эту область и имея в виду, что

найдем соответствующую область значений Если будем увеличивать то точка характеризующая состояние золотника, будет вначале передвигаться по отрезку прямой неизменном значении а, а затем начинает двигаться по прямой удаляясь от оси абсцисс; при этом возрастает с. Поэтому для уменьшения о необходимо уменьшать

Из рис. V.4 видно, что при уменьшении точка М сначала будет двигаться влево по прямой (при ), а затем перемещаться по прямой приближаясь к оси абсцисс. При значении получим независимо от того, где находится точка (лишь бы ). Таким образом, условие эквивалентно условию .

Аналогично можно обнаружить, что условие эквивалентно условию . Но поэтому при имеем или при имеем или Следовательно, уравнение (V. 16) распадается на два уравнения:

Полагая и переходя к дифференциальному уравнению интегральных кривых, получим

Уравнения (V.17) и (V.16) не могут быть записаны в виде одного уравнения второго порядка с однозначной правой частью. Области, в которых имеют силу различные уравнения и (V.176), перекрывают друг друга в полосе . В связи с этим пользоваться обычной фазовой плоскостью для изображения на ней возможных движений в системе неудобно, так как каждой точке фазовой плоскости в указанной полосе будут соответствовать два различных состояния системы, а это обстоятельство противоречит основной идее фазового пространства о взаимно однозначном соответствии между положением изображающей точки в фазовом пространстве и состоянием системы. Для сохранения однозначности необходимо ввести в рассмотрение многолистные фазовые поверхности. Это было сделано автором настоящей главы в работах [3, 4, 7].

Указанная неоднозначность правой части не является специфической особенностью люфта. К этому же приводит наличие сухого трения в регуляторе, неоднозначных характеристик в серводвигателе и в электромагнитных реле и т. д.

Построим фазовую поверхность системы, описываемой уравнениями (V. 17). Рассмотрим вначале уравнение (V. 17а). Оно справедливо для значений и для всех значений скорости у. Возьмем полуплоскость ограниченную справа прямой (рис. V.5). Эта фазовая полуплоскость заполнена семейством парабол

и отображает движения в системе, когда они описываются уравнением Перейдем теперь к уравнению (V.176). Оно справедливо в области — . Возьмем кусок фазовой плоскости, ограниченный слева прямой (рис. V.5). Этот лист будет заполнен параболами

Рис. V.5. Фазовые полуплоскости многолистпой поверхности

Рассмотрим, каков характер движений, изображающей точки по построенным фазовым полуплоскостям. Из рис. V.5 видно, что изображающая точка, двигаясь по любой из фазовых траекторий, может покинуть фазовую полуплоскость уравнения лишь через положительную часть своей границы, т. е. через положительную полупрямую Далее видно, что изображающая точка, двигаясь по любой из парабол семейства (V.176), может покинуть фазовую полуплоскость уравнения (V.186) только через отрицательную часть своей левой границы, т. е. через отрицательную полупрямую

Построим теперь фазовую поверхность всей системы регулирования в целом. Фазовая поверхность нашей системы составляется из двух листов следующим образом: оба листа накладываются друг на друга так, чтобы их координатные оси совмещались. Далее оба листа скрепляются друг с другом вдоль тех участков их границ, через которые изображающие точки выходят за пределы листов. Следовательно, часть левой границы верхнего листа, которым мы будем считать фазовую полуплоскость уравнения (V.176), должна быть скреплена с нижним листом вдоль отрицательной полупрямой а часть правой границы нижнего листа к необходимо скрепить с верхним листом вдоль

положительной полупрямой Последнее скрепление (склеивание) происходит на нижней поверхности верхнего листа (рис. V.6). Границы, вдоль которых производится склеивание, показаны штриховой линией. При этом мы полагаем, что изображающая точка может покинуть лист, на котором находится, только через его границу.

Построенная таким образом фазовая поверхность дает взаимно однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки. По полученной двухлистной фазовой поверхности можно изучить характер возможных движений в нашей системе. Пусть в начальный момент состояние системы изображается точкой Если бы люфта не было, то она, двигаясь по траектории вышла бы на ось ординат в точке далее, перемещаясь по параболе вышла бы снова на ось ординат в точке Си после чего начала бы периодический обход по траектории В системе этому обходу соответствуют незатухающие колебания. При наличии люфта характер движения будет иным.

Рис. V.6. Двухлистная фазовая поверхность системы регулирования при наличии люфта

Изображающая точка движется по траектории до границы верхнего листа в точке Здесь изображающая точка переходит на нижний лист и движется по траектории охватывающей траекторию и выходит на границу нижнего листа в точке далее движется по параболе охватывающей параболу выходит на границу верхнего листа и т. д. Следовательно, в системе происходят нарастающие колебания. Таким образом, люфт в чувствительном элементе играет вредную роль, ухудшая устойчивость системы.

Мы видим, что движение системы регулирования поочередно отображается то на одном, то на другом листе. Это значит, что поведение системы поочередно (циклически) описывается уравнениями и (V.176). Аналогичным образом могут быть построены многолистные фазовые поверхности в более сложных случаях.

Полученная таким образом многолистная фазовая поверхность дает взаимно однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки на многолистной фазовой поверхности. В отличие от обыкновенных систем второго порядка, в которых состояние системы определяется полностью двумя числами — скоростью х и отклонением х, в рассматриваемых системах

второго порядка состояние системы определяется скоростью х, отклонением и номером листа многолистной фазовой поверхности. Ниже, с помощью многолистных фазовых поверхностей исследуются системы регулирования, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка, в которых действуют силы сухого трения или имеются люфты в отдельных элементах регулятора, а также изучается характер переходных процессов в таких системах регулирования и определяется их устойчивость.

Итак, для систем., имеющих второй порядок и неоднозначную статическую характеристику, фазовое пространство является многолистной поверхностью. Поскольку неоднозначные характеристики являются источником автоколебаний, рассмотрение влияния нелинейностей такого типа на устойчивость и характер переходного процесса в системе регулирования является важной задачей. Решить эту задачу можно путем повышения порядка системы до третьего; этим устраняется неоднозначность. Фазовое пространство в случае повышения порядка является трехмерным и включает как частный случай многолистные фазовые поверхности. Этот метод использован в работах [5], [6].

Если в системе имеется несколько элементов с многозначными характеристиками, то количество различных уравнений, описывающих систему, значительно возрастает. Для исследования такой динамической системы методом многолистных фазовых поверхностей целесообразно поступать следующим образом:

1) разбить дифференциальное уравнение системы, имеющее многозначную правую часть, на ряд дифференциальных уравнений, имеющих однозначную правую часть, и определить области существования этих однозначных правых частей;

2) установить характер взаимосвязи между уравнениями, т. е. определить порядок перехода от одного уравнения к другому;

3) отобразить каждое из уравнений на свой кусок фазовой плоскости;

4) скрепить получившиеся листы фазовых плоскостей между собой в соответствии с исходным дифференциальным уравнением вдоль тех участков границ отдельных листов, через которые изображающие точки выходят за границы листов.