2. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕСТАЦИОНАРНОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Пусть независимые переменные — время 
— имеют общее начало отсчета. Прямоугольник 
назовем нестационарным, если хотя бы один конец любого
образующего отрезка конечной длины 
подвижен, являясь функцией соответственно независимых переменных 
и стационарным, если все концы образующих отрезков неподвижны. В плоскости 
можно изобразить мгновенное положение нестационарного прямоугольника, соответствующее мгновенным положениям образующих отрезков при 
Рис. IV.3. Мгновенное положение нестационарного прямоугольника
Систему функций, определенных на нестационарном прямоугольнике, назовем ортогональной на нестационарном прямоугольнике с весом 
если все функции этой системы удовлетворяют условию 
и ортонормированной, если справедливо условие
В дальнейшем используются такие ортогональные системы, для которых функция веса и сами функции могут быть представлены в виде произведений:
где 
- система функций, ортогональных на отрезке 
с весом 
— система функций, ортогональных на отрезке 
с весом 
В качестве систем 
можно использовать, например, приведенные в предыдущем параграфе нестационарные полиномы Лежандра и тригонометрические функции. Функции 
могут быть как однотипными, так и разных типов, например, 
— полиномы Лежандра, 
— тригонометрические функции.
Пример 3. Рассмотрим систему, ортогональную на нестационарном прямоугольнике. Ортогональную систему будем строить на прямоугольнике с образующими отрезками 
проводя упорядочение согласно формуле (IV.12) и используя в качестве функций 
нестационарные
ортонормированные полиномы Лежандра. Тогда, учитывая формулу (IV.7), будем иметь ортонормированную систему
где
Функция веса этой системы 
