4. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим на нескольких конкретных примерах, каким образом анализируется устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования.

Пример 1. Нелинейный регулятор напряжения с серводвигателем. Структурная схема системы показана на рис. IX.9, а.

Рис. IХ.9. Регулятор напряжения с серводвигателем: а — структурная схема системы; б - характеристика нелинейного элемента при постоянной скорости серводвигателя; в — характеристика нелинейного элемента при переменной скорости серводвигателя

Регулируемый объект состоит из возбудителя 1 и генератора 2, а регулятор — из измерительного элемента 3 с зоной нечувствительности и серводвигателя 4. Вначале рассмотрим поведение системы в случае постоянной

скорости серводвигателя. Характеристика нелинейного элемента структурной схемы в этом случае имеет вид, графически изображенный на рис. IX.9, б.

Сделаем упрощающее допущение: будем считать, что скорость серводвигателя мгновенно достигает конечного значения при замыкании контактов измерительного элемента. Учет постоянной времени разгона серводвигателя привел бы к несколько более сложному выражению передаточной функции линейной части системы. Необходимо было бы считать величину на выходе нелинейного элемента пропорциональной не скорости, а напряжению на якоре серводвигателя.

Напишем уравнения элементов системы: для возбудителя

для генератора

для измерительного элемента

для нелинейного элемента

для серводвигателя

где — соответственно коэффициенты усиления возбудителя, генератора и измерительного элемента;

— постоянная времени возбудителя;

постоянная времени генератора;

— постоянная времени демпфера;

— время серводвигателя;

— относительное изменение регулируемого напряжения, при котором замыкаются контакты измерительного элемента). Передаточная функция линейной части системы регулирования в разомкнутом состоянии будет равна

Система обладает астатизмом первого порядка и содержит три апериодических звена. Нелинейный элемент представляет собой релейную однозначную характеристику, и поэтому его эквивалентная характеристика лежит целиком на вещественной оси (см. рис. IX.10, а).

Значение величины отрезка, отсекаемого частотной характеристикой — на положительной вещественной оси, определяется уравнением

где — частота пересечения, т. е. частота, соответствующая точке пересечения амплитудно-фазовой частотной характеристики с вещественной осью.

Система будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характеристика не пересекает эквивалентную амплитудную характеристику , или иначе, если (на рис. IX.6, а)

Обычно можно принять Пусть далее . Тогда для устойчивости необходимо, чтобы

или

При отсутствии демпфера для устойчивости необходимо, чтобы сек.

Рис. IX. 10. Амплитудно-фазовые частотные и эквивалентные амплитудные характеристики регулятора напряжения с серводвигателем: а — расположение характеристик; б — эквивалентная амплитудная характеристика

Если принять, что зона нечувствительности составляет то время серводвигателя должно быть больше 13,75 сек при наличии демпфера и больше 10,6 сек при его отсутствии. Если то в системе возникают колебания с частотой и амплитудой, определяемой точкой пересечения амплитудно-фазовой частотной и эквивалентной амплитудной характеристик (рис. IX. 10, а).

Так как эквивалентная характеристика двузначна, то точке пересечения будут соответствовать два значения амплитуды. Согласно критерию, изложенному в § 3, устойчивыми будут колебания с большей амплитудой.

Значение амплитуды легко может быть получено, если на графике (рис. IX. 10, б) отложить величину тогда точки пересечения 1 и 2 определят искомые амплитуды, причем точке 2 будет соответствовать устойчивый режим колебаний, а точке 1 — неустойчивый. Это значит, если начальное

отклонение в системе будет меньше то колебания в системе не возникнут — система устойчива в малом и неустойчива в большом.

Рассмотрим проведение системы регулирования напряжения при наличии зоны нечувствительности и серводвигателя переменной скорости. Характеристика нелинейного элемента для этого случая показана на рис. IX. 10, в. Уравнение нелинейного элемента будет иметь вид

где

Условие устойчивости будет

Если принять то Следовательно, система будет устойчивее, если или

при наличии демпфера и

в случае отсутствия демпфера.

При соответственно должно быть сек при наличии демпфера и сек в случае отсутствия демпфера.

Рис. IX.11. Автопилот с серводвигателем постоянной скорости: а — структурная схема регулирования курса самолета; б — характера сгика нелинейного элемента

Сравнивая результаты расчетов для серводвигателя постоянной скорости и серводвигателя переменной скорости, видим преимущества последнего: устойчивость достигается при меньших значениях при одновременном уменьшении зоны нечувствительности (вместо в первом случае, во втором случае) и, следовательно, увеличении точности регулирования.

Пример 2. Автопилот с серводвигателем постоянной скорости. Структурная схема системы регулирования показана на рис. IX.11, а. Регулируемый объект представляет собой самолет 1. Регулятор состоит из измерительного элемента 2, работающего по отклонению, и производной, серводвигателя 3 постоянной скорости и жесткой обратной связи 4.

Характеристика нелинейного элемента показана на рис. IX.11, б. Как и в предыдущем случае, будем пренебрегать временем разгона серводвигателя; тогда уравнения системы в упрощенном виде имеют следующий вид:

для самолета

для измерительного элемента

для серводвигателя

для обратной связи

для нелинейного элемента

где

Передаточная функция линейной части системы будет определяться отношением к при обходе по линейной части системы. Она будет равна

В дальнейшем удобнее рассмотреть величину т. е.

Сделаем подстановку введем обозначения Тогда уравнение примет вид

Так как эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного элемента в данном случае лежит на положительной вещественной оси справа от точки то, очевидно, условием абсолютной устойчивости системы будет

или согласно уравнению (IX.206)

Это неравенство будет удовлетворяться при всех и при

При таком условии амплитудно-фазовая частотная характеристика (для значений лежит целиком в первом квадранте, и система устойчива при любом значении С. Если то амплитудно-фазовая частотная характеристика — будет иметь один из видов, графически изображенных на рис. IX. 12, д.

Рис. IX. 12. Характеристики автопилота с серводвигателем постоянной скорости: а — амплитудно-фазовые частотные характеристики при разных значениях К; б — эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного элемента

Отрезок К, отсекаемый характеристикой на вещественной оси, как это следует из равенства , равен

где относительная частота пересечения равна

и поэтому

Система в отсутствии нелинейного элемента будет устойчивой, если и неустойчивой, если При наличии нелинейного элемента релейного типа система будет устойчивой, если (рис. IX. 12, а)

Если возникают колебания с относительной частотой

и амплитудой, определяемой уравнением

Уравнению (IX.23) соответствуют два значения амплитуд (рис. IX. 12, б), определяемых точками 1 и 2. Точка 1, согласно изложенному критерию устойчивости колебаний, определяет устойчивый режим, точка 2 — неустойчивый,

или, иными словами, колебания с малой амплитудой устойчивы, с большой — неустойчивы. Как видно из рис. IX. 12, б, амплитуда колебаний не может быть больше

Если то в системе возникают колебания, амплитуда которых не может быть ограничена рассматриваемой нелинейностью.

Пример 3. Релейная следящая система. Принципиальная и структурная схемы релейной следящей системы показаны на рис. IX. Угол рассогласования между задающей и приемной осями с помощью сельсинов, соединенных по трансформаторной схеме, превращается в электрический сигнал который после демодуляции поступает на усилительный контур. К выходу последнего подключено трехпозиционное поляризованное реле, которое управляет электродвигателем приемной оси.

Для простоты будем считать, что время срабатывания и отпускания реле одинаково и равно и что реле не обладает гистерезисом и имеет характеристику, показанную на рис. IX. 13, в.

Уравнения системы в упрощенном виде имеют следующий вид:

для демодулятора

для усилителя

для элемента запаздывания

для серводвигателя

для нелинейного элемента

где

для обратной связи

— соответственно коэффициенты усиления демодулятора и элемента обратной связи;

— передаточная функция (в общем виде) усилителя;

Т — время серводвигателя;

— электромеханическая постоянная времени электродвигателя с редуктором.

Определим условия, при которых в рассматриваемой системе будут отсутствовать колебания. Передаточная функция линейной части системы определяется отношением при обходе по линейной части системы. При она равна

Будем предполагать вначале, что усилитель не имеет запаздывания и, следовательно, где — коэффициент усиления усилителя.

Величина будет равна

Сделаем подстановку и введем обозначения

где — установившаяся скорость приемной оси при напряжении на электродвигателе ;

— половина ширины зоны нечувствительности в единицах угла поворота приемной оси;

Рис. IX.13. Релейная следящая система: а — принципиальная схема; б - структурная схема (1 — демодулятор; 2 — усилитель; 3 — элемент запаздывания реле; 4 — серводвигатель; Н.Э — нелинейный элемент); в — характеристика нелинейного элемента

Тогда уравнение (IX.26) принимает вид

Релейная следящая система будет устойчивой, если амплитудно-фазовая частотная характеристика не пересекает амплитудную характеристику релейного нелинейного элемента, т. е. если

где относительная частота пересечения, равная наименьшему корню уравнения

Соотношение параметров следящей системы, которые удовлетворяют условию (IX.27), наиболее легко определяется из графического построения (рис. IX. 14). Для этого строим нормированную амплитудно-фазовую частотную характеристику —и радиусом проводим окружность до пересечения с амплитудно-фазовой частотной характеристикой [6]. Точка пересечения определяет относительную критическую частоту пересечения и угол

Рис. IX. 14. График для определения критического времени запаздывания в релейной следящей системе

Релейная следящая система будет устойчивой, если относительное время запаздывания удовлетворяет неравенству

При относительная критическая частота пересечения - уравнение нормированной частотной характеристики в параметрической форме при может быть приближенно написано в следующем виде:

и

Отсюда

Значение определяется из соотношения

Таким образом, условие устойчивости приближенно может быть записано в следующем виде:

или иначе

Если неравенство (IX.27) не соблюдается, то в системе возникают колебания. Относительная частота колебаний, равная относительной частоте пересечения, будет определяться уравнением

Амплитуда колебаний находится из соотношения

Уравнение (IX.30) аналогично уравнению (IX.23) и определяет два значения амплитуд (см. рис. IX. 12, б). В данном случае согласно критерию устойчивости колебаний будет устойчивой большая из амплитуд. Если начальное отклонение оси меньше то колебания затухнут до нуля, а если начальное отклонение больше то в системе возникнут колебания с амплитудой Значения и определяются из рис. IX. 12, б.

Допустим теперь, что усилитель имеет запаздывание и может быть представлен в виде апериодического звена с коэффициентом усиления и постоянной времени . тогда

и соответственно величина — принимает вид

где

Система будет устойчивой, если

где — относительная частота пересечения, равная наименьшему корню уравнения

Задачу наиболее наглядно можно решить графически. Для этого следует построить ряд нормированных амплитудно-фазовых частотных характеристик

при различных значениях (см. рис. IX.15).

Если эта характеристика при заданном отсекает на вещественной оси отрезок, больший то система неустойчива в большом при любом значении . Если отсекаемый отрезок меньше то нахождение предельного производится построением, приведенным в примере, когда При весьма малом времени запаздывания реле его можно с некоторой погрешностью представить в виде апериодического звена с постоянной времени, равной времени запаздывания

В этом случае уравнение (IX.31) становится аналогичным уравнению (IX. 18) и задача решается так, как показано на примере 1. Исследование релейных следящих систем с использованием излагаемого метода приведено в работе [6].

Рис. IX. 15. Амплитудно-фазовые частотные характеристики и эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного элемента следящей системы