ГЛАВА V. МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К АНАЛИЗУ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ СУХОГО ТРЕНИЯ И ЛЮФТОВ

Среди методов анализа нелинейных систем метод, основанный на понятии фазового пространства, отличается своей геометрической наглядностью и возможностью получения полного представления о характере возможных движений в системе. Несмотря на то, что область применения этого метода ограничена системами не выше третьего порядка, он иногда полезен и для проверки различных приближенных методов, применимых к системам более высокого порядка.

Сущность уже давно введенного способа описания поведения динамических систем с помощью геометрических представлений заключается в следующем. Состояние системы, имеющей степеней свободы, т. е. описываемой дифференциальным уравнением (или системой дифференциальных уравнений) порядка задается числами. Эти чисел можно рассматривать как некоторую точку в -мерном пространстве, причем каждой точке этого пространства будет соответствовать одно определенное состояние (определенная фаза) системы. Поэтому такое пространство называется фазовым пространством.

Для систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка и имеющих однозначные нелинейные статические характеристики, фазовое пространство является двумерным и в частном случае превращается в фазовую плоскость [1], [2].

1. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ С НЕАНАЛИТИЧЕСКОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Рассмотрим систему из двух нелинейных дифференциальных уравнений

Мы не будем здесь останавливаться на случае, когда функции являются аналитическими функциями своих

аргументов, т. е. разлагаются в ряды по степеням Способ построения фазовой плоскости в этом случае можно найти во многих книгах по теории колебаний (см., например, [1]). Поэтому начнем изложение с более сложного случая, когда нелинейные характеристики не могут быть описаны только одной аналитической функцией, во всей области возможных значений переменных.

Рассмотрим вначале систему регулирования, которую можно отобразить на обычную фазовую плоскость. В нее входят объект самовыравниванием, безынерционный чувствительный элемент и серводвигатель постоянной скорости с обратной связью.

Уравнения системы регулирования в этом случае имеют вид: уравнение объекта

уравнение чувствительного элемента

уравнение серводвигателя

уравнение обратной связи

Здесь — регулируемый параметр, — перемещение регулирующего органа; перемещение чувствительного элемента; — смещение золотника; — постоянная времени объекта; — постоянная времени серводвигателя; — чувствительность датчика; — коэффициент обратной связи.

Исключая переменные , получим

но

поэтому условие эквивалентно

или

Условие эквивалентно

или

Таким образом, уравнение движения относительно переменной будет иметь вид

Обозначая переходим к дифференциальному уравнению интегральных кривых:

Построим фазовую плоскость системы уравнений (V.5).

Интегрируя уравнения (V.5), получим уравнение фазовых траекторий

Рассмотрим плоскость . Проведем на ней прямую (линия на рис. V.1) и будем называть ее прямой переключения, так как в момент перехода изображающей точки через нее происходит реверсирование серводвигателя. В соответствии с уравнением (V.5) часть фазовой плоскости, расположенная над прямой переключения, заполнена параболами, описываемыми уравнением а часть фазовой плоскости под прямой переключения по уравнению (V.56) заполнена параболами, описываемыми уравнением (V.66). Для полноты картины мы должны определить поведение изображающей точки на прямой переключения. Это можно выполнить различными путями.

Принимая один из этих путей, будем считать, что движение изображающей точки на прямой переключения определяется уравнением или (V.56). Таким образом, движение изображающей точки определено на всей фазовой плоскости. Рассмотрим подробнее фазовую диаграмму системы (рис. V.1). Возьмем изображающую точку Если бы обратной связи не было, то она двигалась бы по параболе затем перешла бы на параболу и начала периодически обходить замкнутую кривую причем в системе этому соответствовали бы незатухающие колебания.

При наличии обратной связи характер движения существенно иной. Изображающая точка движется по параболе и выходит на прямую переключения в точке С этого момента она начинает двигаться по параболе расположенной внутри параболы по которой она должна была двигаться, если бы не было обратной связи.

Рис. V.I. Фазовая плоскость системы регулирования с сервомотором постоянной скорости и жесткой обратной связью

Поэтому изображающая точка выходит на прямую переключения в точки расположенной ближе к точке равновесия, чем точка соответствующая незатухающим колебаниям. Далее она движется по параболе и выходит на прямую переключения в точке отстоящей от точки равновесия на меньшее расстояние, чем предыдущая точка и т. д.

С каждым полуколебанием изображающая точка все ближе подходит к положению равновесия. Начиная с некоторого момента, характер движения изображающей точки резко изменяется. Изменение это начинается с момента, когда изображающая точка попадает на прямую переключения между точками Данные точки являются точками пересечения прямой переключения с теми

кривыми семейств парабол уравнений (V.6a и V.6б), которые проходят через начало координат.

Пусть, например, изображающая точка попала в точку Двигаясь далее по фазовой траектории, она попадает снова на прямую переключения в точке расположенной выше начала координат 0. Двигаясь по параболе она должна была бы перейти в область под прямой Однако в связи с реверсированием серводвигатель в этой области имеет другой характер движения, представляемый семейством парабол уравнения (V.6б). Попадая на одну из парабол этого семейства, она возвращается на прямую переключения, пересекает ее и попадает в область над ней. Этому соответствует реверсирование серводвигателя. Фазовые траектории над прямой возвращают изображающую точку снова на прямую переключения, опять происходит реверсирование серводвигателя и т. д.

Если считать время реверсирования серводвигателя равным нулю, то начинается режим непрерывного реверсирования с бесконечно большой частотой. При этом изображающая точка будет передвигаться по прямой переключения к началу координат, которого достигнет через бесконечно большой промежуток времени. Такой режим работы серводвигателя назван пульсирующим или скользящим. Он имеет место в промежутке между точками являющимися точками касания прямой переключения с одной из кривых каждого семейства парабол. Из фазовой плоскости (рис.

V.1) можно найти все количественные характеристики процесса.

Рис. V.2. Регулятор давления воздуха: а — схема регулятора; б — характеристика серводвигателя

Рассмотрим несколько более сложный случай. Построим фазовую плоскость системы регулирования, в которую входит объект с самовыравниванием, безынерционный чувствительный элемент, серводвигатель постоянной скорости с симметричной мертвой зоной . В качестве примера возьмем регулятор давления воздуха (рис. V.2, а). Количество поступающего в баллон 3 воздуха регулируется заслонкой 2, которая вращается с помощью электродвигателя 1.

Реверсирование последнего производится контактным устройством 5, управляемым чувствительным элементом (сильфонным манометром) 4. Между рычагом контактного устройства, играющим роль золотника, и контактами 6 и 7 имеется зазор (мертвая зона).

Характеристика серводвигателя показана на рис. V.2, б. До тех пор, пока смещение золотника находится в пределах мертвой зоны скорость серводвигателя равна нулю;

если смещение золотника о то скорость если то

Уравнения объекта регулирования

чувствительного элемента

серводвигателя

уравнение золотника с жесткой обратной связью

Исключая из уравнений движения последовательно переменные, получим

Из уравнений (V.4) и (V.7) имеем

поэтому условие можно записать в виде

или

Аналогичным образом, если

то соответственно

При этом уравнение движения примет вид

Обозначим тогда дифференциальные уравнения интегральных кривых будут

Разобьем фазовую плоскость на области, в каждой из которых имеет силу одно из последних уравнений. Границами областей являются прямые, определяемые выражениями (V.9) и (V.10) в том случае, если в них левые части приравнять правым. На рис. V.3 эти прямые

показаны соответственно линиями и II—II. Вся область справа от прямой заполнена интегральными кривыми, определяемыми дифференциальным уравнением (V.13); уравнение этих кривых имеет вид

Рис. V.3. Фазовая плоскость системы регулирования давления

Область слева под прямой II — II заполнена семейством интегральных кривых

определяемым уравнением (V.136), а область между прямыми семейством прямых, уравнение которых

является решением уравнения Выбирая надлежащее значение постоянных С в уравнениях (V.15), можно найти фазовую траекторию, проходящую через любую заданную точку соответствующей области фазовой плоскости.

Рассмотрим, как ведет себя система регулирования в различные моменты. Прежде всего из фазовой плоскости видно, что, в отличие от всех рассмотренных ранее случаев в системе имеется не одно состояние равновесия, а бесчисленное их множество. На фазовой плоскости им соответствует отрезок оси абсцисс.

Далее, каждое из семейств кривых и (V.15 б) включает по одной прямой, параллельной оси абсцисс (прямые III—III и IV—IV). Изображающая точка, находящаяся справа от прямой переключения и выше прямой III—III, не может попасть в область над прямой III—III. Аналогичное обстоятельство имеет место для изображающей точки, расположенной слева от прямой II—II и ниже прямой IV—IV.

Проследим за поведением изображающей точки Двигаясь по кривой она попадает на прямую переключения Этому соответствует перемещение золотника из положения в положение и выключение серводвигателя. Далее изображающая точка движется по прямой (при этом скорость серводвигателя равна нулю) и выходит на прямую переключения что соответствует включению серводвигателя и перемещению его выходного вала со скоростью Затем изображающая точка движется по дуге кривой выходит снова на прямую переключения движется по прямой и попадает на отрезок покоя в точке А. Возможен также и иной характер переходного процесса, в котором изображающая точка попадает на прямую переключения в области скользящего режима.

Выше мы ограничивались рассмотрением систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка; движения в таких системах однозначно отображаются на фазовой плоскости. Движения в системах, описываемых уравнениями более высокого порядка, могут быть однозначно отображены в многомерном фазовом пространстве, причем число измерений фазового пространства должно равняться порядку дифференциального уравнения. Так, например, системе третьего порядка соответствует трехмерное фазовое пространство.

Рассмотрение трехмерного фазового пространства обычно значительно более сложно и трудно, чем рассмотрение двухмерной

фазовой плоскости. Для систем четвертого и более высокого порядка метод построения фазового пространства полностью теряет свою наглядность.