9. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ. МЕТОД ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим нестационарную систему автоматического регулирования (см. рис. 1.20), состоящую из объекта регулирования с известной импульсной переходной функцией и последовательного и параллельного корректирующих устройств, характеризуемых неизвестными импульсными переходными функциями

Задача синтеза так же, как и в случае стационарных систем, сводится к нахождению функций из условия приближенного равенства импульсной переходной функции замкнутой системы некоторой импульсной переходной функции определяемой на основе исходных требований, к системе, например, задачи оптимизации.

Изложим два подхода к решению задачи синтеза, один из которых основан на рассмотрении импульсных переходных функций, а другой — операторов (или дифференциальных уравнений) синтезируемой системы.

Основные этапы синтеза методом переходных функций следующие:

1) определение оптимальной или желаемой импульсной переходной функции замкнутой системы;

2) определение соответствующей импульсной переходной функции разомкнутой системы и импульсной переходной функции корректирующего элемента;

3) реализация схемы корректирующего элемента, имеющего требуемую импульсную переходную функцию.

Не останавливаясь на первом этапе, который более подробно рассматривается далее (см. § 6 и 7 гл. II), перейдем ко второму этапу.

Рассмотрим частный случай замкнутой системы, приведенной на рис. 1.20, а, не содержащей параллельного корректирующего устройства (см. рис. 1.20, б). Для этой системы второй этап синтеза сводится к определению функции по известным функциям при помощи интегральных уравнений (1.96) и (1.97).

Основная трудность этого этапа (даже в случае использования средств вычислительной техники) связана с решением относительно неизвестных функций двух совместных интегральных уравнений (1.96) и (1.97). В особенности это замечание относится к уравнению (1.96). Оно является интегральным уравнением первого рода, задача решения которого относится к так называемому классу некорректных задач (см. кн. 2, гл. VIII, § 1 и [11], [13]).

Один из способов частичного преодоления этой трудности состоит в применении для синтеза структурных преобразований и понятия обратных систем. Сущность этого подхода заключается в следующем.

Рассмотрим вначале синтез последовательного корректирующего устройства при

Интегральное уравнение (1.96) можно привести в соответствие со структурной схемой (см. рис. 1.21). Следовательно, для получения динамического элемента, имеющего импульсную переходную функцию необходимо динамический элемент с известной импульсной переходной функцией охватить положительной обратной связью.

Перейдем теперь к интегральному уравнению (1.97). Умножим обе его части на функцию обратную импульсной переходной функции заданной части системы, и проинтегрируем. В результате получим

или

Структурная схема, соответствующая выражению (1.109), приведена на рис. 1.22. Таким образом, последовательное корректирующее устройство должно состоять (рис. 1.22) из двух последовательно соединенных нестационарных элементов

Рассмотрим теперь задачу синтеза параллельного корректирующего устройства (см. рис. 1.20, в), т. е. задачу определения по заданным импульсным переходным функциям системы в замкнутом состоянии и ее неизменяемой части

Полагая в уравнении получим , следовательно, согласно выражению (1.95)

Связь между импульсными переходными функциями системы соответственно в замкнутом и разомкнутом состоянии по-прежнему определяется интегральным уравнением (1.96).

Итак, задача синтеза парал лельного корректирующего устройства сводится к решению двух совместных интегральных уравнений (1.96), (1.110) относительно неизвестной импульсной переходной функции

Рис. 1.22. Структурная схема последовательного корректирующего устройства

Интегральное уравнение (1.110) еще более сложно, чем уравнение (1.97). Поэтому так же, как и в предыдущем случае, для синтеза параллельного корректирующего устройства применимы структурные преобразования и понятие обратных систем [6].

На основании равенства (1.110) можно написать

или

где

Из выражения легко видеть, что

Подставляя соотношение (1.112) в выражение (1.114), найдем

Приравнивая правые части равенств (1.113) и (1.115), получим

Следовательно,

Но

откуда окончательно получим

и структурная схема системы примет вид, приведенный на рис. 1.23. Схема на рис. 1.23 в соответствии с рис. 1.24 может быть преобразована к виду, представленному на рис. 1.25.

Таким образом, структура корректирующих динамических элементов может быть сформирована без необходимости решения интегральных уравнений (1.94) — (1.96).

Однако для применения метода необходимо уметь формировать динамические элементы, имеющие импульсные переходные функции, обратные заданным.

Решение этой задачи не вызывает затруднений, если известны дифференциальные уравнения, которым соответствуют импульсные переходные функции

Действительно, предположим, что

Тогда обратные импульсные переходные функции удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Итак, задача сводится к формированию динамических элементов, описываемых дифференциальными уравнениями (1.120) без необходимости вычисления самих импульсных переходных функций Нужно, однако, заметить, что решение уравнений (1.120) относительно вообще говоря,

может быть получено лишь в тех частных случаях, когда операторы не зависят от времени либо имеют порядок не выше первого.

Если же дифференциальные уравнения, соответствующие функциям не известны, возникает задача построения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами по заданной импульсной переходной функции.

Рис. 1.23. Синтез параллельного корректирующего устройства (исходная схема)

Рис. 1.24. Структурная схема, поясняющая способ реализации функции по известной функции

Рис. 1.25. Синтез параллельного корректирующего устройства (преобразованная схема)

Решение этой задачи излагается ниже.