3. ОБЩЕЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В гл. I было получено дифференциальное уравнение для параметрической передаточной функции в котором независимой переменной является время Воспользуемся теперь теоремой свертки для того, чтобы получить интегральное уравнение для параметрической передаточной функции в области комплексной переменной сводящееся в частном случае полиномиальных коэффициентов к дифференциальному уравнению, в котором независимой переменной является комплексная переменная

В гл. I § 7 было показано, что функция рассматриваемая как функция аргумента , может быть найдена при помощи выражения

где функция решение дифференциального уравнения

Умножая обе части уравнения (III.28) на и интегрируя от 0 до , т. е. применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получим

Поменяем в уравнении (111.29) местами порядок операций суммирования и интегрирования:

или

Применяя к выражению (III.31) теорему свертки в комплексной области, найдем

где — контур интегрирования, который включает все полюсы функции в плоскости комплексной переменной — преобразования Лапласа, определяемые формулами

Используя уравнение (III.31), запишем уравнение (III.32) в следующей форме:

Интегральное уравнение (III.35) определяет параметрическую передаточную функцию системы при

Для определения параметрической передаточной функции для общего случая воспользуемся уравнением (III.27). Преобразуя его по Лапласу, получим

По аналогии с уравнением (III.31) уравнение (III.36) можно переписать в следующей форме:

Используя свертку в комплексной области, приведем уравнение (II 1.37) к виду

где — контур в комплексной плоскости х, охватывающей все полюсы функции и

Таким образом, параметрическая передаточная функция системы с переменными параметрами определяется в результате решения уравнений (III.35) и (III.38). Уравнение (III.35) является интегральным уравнением относительно искомой передаточной функции После определения нахождение параметрической передаточной функции системы по уравнению (III.38) не вызывает затруднений.

Выбор метода решения уравнения (111.38) во многом определяется характером коэффициентов оператора На практике часто встречается случай, когда коэффициенты с достаточной степенью точности аппроксимируются полиномами от

Рассмотрим методы решения уравнения (111.38) для этого случая.

Нестационарная система с полиномиальными коэффициентами. Пусть коэффициенты оператора имеют вид

где [1] — единичная ступенчатая функция; — старшая степень полиномов.

Тогда функцию входящую в уравнение (III.31), можно с помощью разложения в ряд Тейлора, который будет иметь членов, записать в форме

Подставляя выражение (111.39) в уравнение (111.34), получим

Подставив выражение (III.42) в (III.35), найдем

Используя теорему вычетов, вычислим контурный интеграл, стоящий в левой части уравнения (111.43):

Подставляя полученное выражение в уравнение (II 1.43), будем иметь

Тот же самый результат можно получить непосредственно из уравнения так как

Таким образом, в случае системы с полиномиальными коэффициентами интегральное уравнение (III.35) сводится к дифференциальному уравнению в области комплексной переменной вида (111.45). Это уравнение определяет параметрическую передаточную функцию в случае Для определения параметрической передаточной функции системы по известной необходимо воспользоваться формулой (III.38). В частности, если коэффициенты оператора представляются полиномами по степени не выше то аналогично уравнению (III.45) получим