5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ С АПЕРИОДИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ И СКОЛЬЗЯЩИЕ ПРОЦЕССЫ

В ряде случаев в системах высокого порядка могут иметь место несимметричные колебательные переходные процессы с медленно меняющейся апериодической составляющей, например, вида, показанного на рис. XI. 19.

В нелинейных системах широкого класса переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

Решение уравнения (XI.111) будем искать в виде

где — являются искомыми функциями времени.

Переходный процесс в системе, описываемой уравнением (XI. 111), может стремиться либо к установившемуся состоянию

или либо к установившемуся автоколебательному режиму

Гармоническая линеаризация нелинейности производится по формуле

где определяются формулами .

Вычисленные значения для различных типовых нелинейностей приведены в приложении IV табл. 2.

Рис. XI. 19. Переходный процесс в системе с апериодической составляющей

Подставив в уравнение системы (XI. 111) вместо нелинейности ее значение, выраженное через коэффициенты гармонической линеаризации (XI. 112) и представив его в виде системы двух уравнений соответственно для апериодической и колебательной составляющих, получим

Величины являются функциями искомых неизвестных

Характеристическое уравнение для колебательной составляющей (XI.114) имеет вид

Делая в уравнении (XI.115) подстановку и решая его любым способом, изложенным в § 1 гл. X, определим зависимости амплитуды и частоты колебательной составляющей от

значения апериодической составляющей переходного процесса

Аналитическое определение функций и часто может оказаться трудоемкой задачей. В этом случае целесообразно воспользоваться различными графическими приемами. В частности, удобно, определив сначала возможный реальный диапазон изменения задаваться конкретными значениями и решать затем уравнение относительно амплитуды и частоты колебаний.

Повторив подобную операцию для ряда численных значений получим искомый график зависимостей Подставив полученные функции и в соответствующую формулу, найдем так называемую функцию смещения

которая является сглаженной характеристикой нелинейного звена для апериодической составляющей процесса.

В результате дифференциальное уравнение для апериодической составляющей будет содержать только одну неизвестную переменную

Используя обычную линеаризацию плавной нелинейной функции в виде заменим это уравнение линейным

которое легко решается. Необходимо только помнить, что при изменении структуры и параметров системы будет меняться и величина так как Решив уравнение найдем апериодическую составляющую переходного процесса

Но поскольку зависимости и уже определены, то теперь легко найти и функции и для колебательной составляющей переходного процесса.

Такое упрощенное решение предназначено для предварительного выбора структуры и параметров автоматической системы при ее синтезе. В дальнейшем же достигнутое качество переходного процесса при наличии апериодической составляющей можно проверить путем машинного решения исходного нелинейного дифференциального уравнения системы при окончательно выбранных параметрах.

Изложенный метод позволяет рассматривать и гак называемые скользящие процессы. Под этим понимаются такие переходные процессы в нелинейной автоматической системе, когда регулируемая величина изменяется апериодически с малыми наложенными колебаниями, а нелинейный элемент работает в автоколебательном вибрационном режиме на какой-нибудь границе существенного изменения своего состояния (например, на одном из крайних контактов трехпозиционного поляризованного реле). Эти

автоколебательные вибрации обычно имеют очень малую амплитуду и большую частоту. Поэтому в большинстве случаев при теоретических исследованиях скользящих процессов принимается Однако на практике наблюдаются и скользящие процессы, происходящие с конечными значениями амплитуды А и частоты переменной х, входящей под знак нелинейности), особенно при петлевых нелинейностях.

Переходный процесс в системе может либо стремиться к равновесному состоянию либо развиваться в автоколебательный режим Исходя из этого, во многих случаях скользящие процессы могут исследоваться приближенно теми же методами, что и рассмотренные выше несимметричные колебательные переходные процессы нелинейных систем (с апериодической составляющей).

Рис. XI. 20. Работа нелинейного звена в скользящем режиме

Отличие здесь состоит в том, что в большинстве случаев скользящий процесс сопровождается работой нелинейного звена не во всем диапазоне его нелинейной характеристики, а только на одном узком участке последней (рис. XI. 20). Это обстоятельство существенно скажется на конкретных выражениях коэффициентов гармонической линеаризации (XI. 112). В результате указанные выше зависимости а также сама функция смещения в отличие от прежнего будут сдвинуты от начала координат. При этом обычный, способ линеаризации функции смещения дает

Тогда для определения основной (апериодической) составляющей скользящего процесса согласно уравнению (XI. 113), будем иметь линейное уравнение

Аналогично могут быть исследованы переходные процессы и в системах с более сложными нелинейностями.

Пример 6. Пусть система (рис. XI.21, а) описывается следующими уравнениями [9]:

объект управления с чувствительным элементом 1:

усилители 2 и 3;

нелинейное звено, объединяющее обе нелинейности 4 и 5 в прямой цепи

исполнительный механизм

и регулирующий орган :

обратная связь с нелинейным звеном 4

где — регулирующее воздействие;

— возмущающее воздействие;

— запаздывание в исполнительном элементе и реле;

— крутизна характеристики регулирующего органа.

Рис. XI. 21. Структурная схема нелинейной системы (а); характеристика нелинейного звена в прямой цепи (б); характеристика нелинейного звена в цепи обратной связи (в)

Решение для переменной будем отыскивать в виде двух составляющих

где — апериодическая составляющая тока; — колебательная составляющая.

Характеристика нелинейного звена для прямой цепи приведена на рис. XI.21, б, а для обратной связи — на рис. XI.21, в.

Гармоническая линеаризация нелинейности производится в виде

Постоянная составляющая и коэффициенты гармонической линеаризации для случая колебаний, при которых работает только один контакт реле (скользящий режим), т. е. при условии

имеют значения

Характеристическое уравнение для колебательной составляющей имеет

Делая подстановку в характеристическое уравнение и выделяя вещественную и части, получим два уравнения вида

Граничные значения при которых может иметь место скользящий режим, будут

По уравнениям (XI. 124) определяем амплитуду и частоту автоколебательных вибраций для постоянных значений в интересующих пределах. Затем находим постоянную составляющую нелинейного звена по формуле (XI.121) как функцию используя полученную зависимость

Для примера используем следующие числовые данные: зона нечувствительности нелинейного звена коэффициент возврата реле . В этом случае будем иметь

Определим параметры скользящего режима при значениях .

Амплитуда вибраций при и и граничных значениях Пользуясь этими данными, находим

На рис. XI.22 построена зависимость По ней определяем пользуясь формулой (XI. 121) и соотношением

Характеристика нелинейного звена для апериодической составляющей приведена на рис. XI.22, б. Линеаризуем ее так, чтобы при построении переходного процесса можно было пользоваться линейными методами, и опишем ее следующим уравнением:

Рассматривая далее только апериодическую часть процесса, опустим все члены с обозначением индексом сверху. Итак из уравнения (XI.25) имеем

Теперь можно построить переходный процесс методами линейной теории, например, методом трапецеидальных частотных характеристик.

Рис. XI. 22. Зависимость амплитуды автоколебаний от апериодической составляющей (а); характеристика нелинейного звена для апериодической составляющей тока (б); характеристика изменения тока на входе усилителя (b)

Для этого, воспользовавшись уравнениями звеньев системы и заменив нелинейность выражением (XI. 126), получим уравнение замкнутой системы для переменной

Результат решения уравнения для тока на входе усилителя при показан на рис. XI.22, в. На полученный скользящий Переходный процесс накладываются найденные выше автоколебательные вибрации.