ВВЕДЕНИЕ

Теория линейных систем автоматического регулирования с постоянными параметрами получила существенное развитие и широкую область применения. Объясняется это, во-первых, тем, что для данного класса систем разработаны методы анализа и синтеза, обладающие, с одной стороны, достаточной общностью, а с другой — удобные для инженерных расчетов. И, во-вторых, тем, что часто результаты, которые удается получить при линеаризации систем регулирования, оказываются вполне удовлетворительными, хотя последние и являются заведомо приближенными.

Однако допущения о линейности, постоянстве параметров во времени и стационарности воздействий далеко не всегда применимы. В частности, ограничения линейной стационарной теории регулирования оказываются особенно неприемлемыми в ряде новых областей ее применения, к которым, например, можно отнести системы стабилизации и управления ракетами, космическими кораблями и сверхзвуковыми самолетами, системы, осуществляющие слежение за движущимися объектами при наличии помех, следящие приводы для прокатных станов и бумагоделательных машин и т. д.

Важно также подчеркнуть, что нелинейное рассмотрение систем регулирования позволяет обнаружить существенно новые явления, которые могут не наблюдаться в линейных системах. Так, например, если линейная система устойчива, то она устойчива при любых начальных отклонениях от рассматриваемого состояния. В то же время нелинейная система при малых отклонениях может быть устойчива, а при больших отклонениях — неустойчива.

В случае свободных колебаний линейной системы, не находящейся на границе устойчивости, при любых начальных отклонениях возможны лишь два типа движения, при одном из которых отклонения всех координат системы асимптотически стремятся к нулю, а при другом — неограниченно возрастают; в нелинейной системе возможно значительно большее многообразие типов движений.

Здесь прежде всего необходимо указать на часто встречающееся при наладке и эксплуатации систем регулирования

явление автоколебаний, представляющее собой периодическое движение, возникающее не вследствие наличия внешних по отношению к системе периодических воздействий, а вследствие собственных динамических свойств самой системы.

Проблема автоколебаний в системах регулирования имеет большое практическое значение. Обычно они недопустимы при нормальной работе, но иногда, наоборот, их вводят специально для улучшения динамических свойств этих систем. Поэтому необходимо уметь определять условия возникновения и устойчивости, средства подавления и параметры автоколебаний.

Иногда, как, например, в случае релейных систем или систем с нелинейными корректирующими устройствами, линейные методы не применимы из-за самого принципа действия исследуемых систем.

Самонастраивающиеся системы по своему существу являются нестационарными, нелинейными системами со случайными параметрами. Наконец, может оказаться, что обычные линейные методы дают значения показателей качества и динамической точности, существенно отличающиеся от действительных. Привлечение методов, не связанных с предположениями о стационарности и линейности, необходимо для получения приемлемых количественных результатов, даже если это влечет значительное усложнение и увеличение трудоемкости расчетов.

Характерными чертами развития современной теории автоматического регулирования, направленными на преодоление указанных трудностей, являются: стремление разработать методы анализа и синтеза, основанные на экспериментальных данных, не требующих знания дифференциальных уравнений объекта, развить и обобщить понятия и методы линейной теории регулирования применительно к более общим классам систем и широко использовать вычислительные машины как средство исследования, моделирования расчета и проектирования автоматических систем.

В основе указанных выше черт развития лежит ряд причин, к числу которых необходимо отнести следующие.

Во-первых, часто нестационарные или нелинейные объекты регулирования представляют собой так же, как и стационарные линейные объекты «черные ящики», дифференциальные уравнения которых неизвестны, и возникает задача их математического описания на основе экспериментальных данных, получаемых при помощи наблюдения сигналов на их входах и выходах. Уже на начальной стадии своего развития теория автоматического регулирования показала, что, помимо классического аппарата дифференциальных уравнений, возможны и часто оказываются более удобными другие способы описания систем автоматического регулирования (например, при помощи частотных характеристик или импульсных переходных функций). Этот вывод в ряде случаев оказывается справедливым и для нестационарных и нелинейных систем.

Во-вторых, многие системы регулирования можно представить состоящими из линейных стационарных динамических элементов и одного (или во всяком случае небольшого числа) нестационарных или нелинейных элементов. Стремление обобщить на этот класс систем обычные методы линейной стационарной теории вполне естественно.

В-третьих, в случае линейных нестационарных систем, для которых остается справедливым принцип суперпозиции, в полной силе применим прием линейной стационарной теории регулирования, сводящий анализ реакции системы на любое воздействие к анализу ее реакции на элементарные воздействия. В результате использования этого приема решение ряда характерных для теории регулирования проблем как, например, воспроизведение сигналов, оптимизация, идентификация, фильтрация и т. д., существенно упрощается.

Последняя из указанных выше черт развития теории регулирования очевидна и вряд ли нуждается в пояснениях. Нужно лишь подчеркнуть, что применение вычислительной техники для решения проблем теории регулирования существенно расширило пределы практической применимости этой теории для количественного исследования сложных систем. В настоящее время практически применимым, по существу, является любой метод, дающий возможность сформулировать алгоритм решения задачи, удобный для реализации при помощи имеющихся в распоряжении средств аналоговой и цифровой вычислительной техники.

Содержание настоящей книги подразделено на шесть разделов.

Первый раздел, состоящий из четырех глав, посвящен теории линейных систем автоматического регулирования с переменными параметрами. В главе I излагается теория этого класса систем при детерминированных воздействиях, основанная на понятиях импульсной переходной функции и параметрической передаточной функции. Здесь же дается подход к синтезу нестационарных систем, основанный на приемах операторной алгебры. Глава II посвящена основам статистической динамики нестационарных систем. Значительное внимание в ней уделено вопросу построения и условиям физической реализуемости формирующих фильтров. Решение задачи синтеза оптимальной импульсной переходной функции дается для случая стационарных входных сигналов и помехи и для случая нестационарной помехи. Глава III представляет собой, по существу, обобщение частотного метода на системы с переменными параметрами при помощи теоремы свертки в комплексной области. Дается вывод интегрального уравнения, которому удовлетворяет параметрическая передаточная функция. Это интегральное уравнение в случае полиномиальных коэффициентов дифференциального уравнения системы сводится к дифференциальному уравнению для параметрической передаточной функции в комплексной области в отличие от хорошо известного

дифференциального уравнения для этой функции во временной области. Последняя глава IV содержит изложение оригинального спектрального подхода к построению теории систем с переменными параметрами на конечных переменных интервалах времени. Этот подход базируется на понятии нестационарных ортогональных спектров, которые в частном случае сводятся к обычным стационарным частотным спектрам. Он позволяет решать все основные задачи анализа и синтеза нестационарных систем при помощи однообразных алгоритмов, удобных для программирования на цифровых вычислительных машинах.

Цель второго раздела, состоящего из трех глав (гл. V—VII), заключается в том, чтобы дать основные сведения, связанные с методами фазового пространства и точечных преобразований. Как известно, такой подход дает возможность произвести наиболее полное исследование динамических свойств нелинейных систем. Однако область его практического применения ограничена, по существу, системами, описываемыми дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. В главе V метод фазового пространства и понятие многолистной фазовой поверхности применяется к анализу, в частности, систем автоматического регулирования с учетом сухого трения и люфтов. Глава VI содержит краткое пояснение идеи метода точечных преобразований и примеры его применения к системам, содержащим элементы с неоднозначными нелинейными статическими характеристиками. В последней главе этого раздела (гл. VII) рассматриваются вопросы стабилизации и управления автоколебаниями релейных сервомеханизмов, а также иллюстрируется применение для этих целей теории систем с переменной структурой.

В третьем разделе, к которому относятся главы VIII—XII, в отличие от методов предыдущего раздела, называемых точными, рассматриваются приближенные методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования, состоящих из линейной части, описываемой линейными дифференциальными уравнениями любого порядка и одного или нескольких нелинейных элементов. В главе VIII раздела излагается один из вариантов метода малого параметра Пуанкаре для систем с аналитическими нелинейными характеристиками, близкими к линейным.

Глава IX посвящена изложению метода гармонического баланса и его применению к анализу устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования.

В главе X рассматриваются вопросы устойчивости колебательных режимов в нелинейных системах. Приводится математическое обоснование метода гармонической линеаризации и устанавливаются условия, ограничивающие его применение. Сравнение этого метода с методом малого параметра Б. В. Булгакова показывает на совпадение их первых приближений.

В главе XI рассматриваются способы определения показателей качества и построения переходных процессов в нелинейных системах; исследуются также системы при действии медленно меняющихся сигналов и определяются статические характеристики и установления ошибки, если система является автоколебательной.

Глава XII посвящена анализу влияния высших гармоник на коэффициенты гармонической линеаризации, основанному на теории обобщенных функций, уточнению коэффициентов гармонической линеаризации и применению метода логарифмических частотных характеристик для определения режимов устойчивых и неустойчивых колебаний в нелинейных системах. С помощью семейств амплитудных характеристик замкнутых систем определяются характеристики скачкообразного резонанса. На основе семейств вещественных или мнимых характеристик предлагается приближенный способ построения переходных процессов, использующий трапецеидальные частотные характеристики и -функции.

Четвертый раздел (гл. XIII—XVI) посвящен теории релейных систем автоматического регулирования, состоящих из линейной части, описываемой линейными дифференциальными уравнениями любого порядка и релейного элемента. Глава XIII, содержащая изложение основ общей теории релейных систем и методы решения перечисленных выше задач, базируется на применении аппарата дифференциально-разностных уравнений. В главе XIV основное внимание уделено матричному методу определения периодических режимов и, наконец, глава XV этого раздела содержит изложение частотного метода анализа релейных систем.

В пятом разделе (гл. XVI—XVIII) рассматриваются некоторые вопросы, связанные с оптимизацией, а также с анализом и синтезом нелинейных систем, как при детерминированных, так и при случайных воздействиях. Нужно, однако, подчеркнуть, что в рамках настоящей книги эти вопросы не могли быть изложены сколько-нибудь подробно и что их систематическое изложение предполагается в одной из последующих книг данной серии. Поэтому, в частности, изложение методов оптимизации ограничено лишь применением принципа максимума к синтезу систем оптимальных по быстродействию (гл, XVI). В следующей главе (гл. XVII) основное внимание уделено исследованию нелинейных систем методом эквивалентной статистической линеаризации. В последней главе раздела (гл. XVIII) дается подход к анализу нелинейных систем на основе понятия обобщенных ортогональных спектров, связанного с методом функциональных рядов Вольтерра и методом Винера.

Последний шестой раздел книги (гл. XIX — XX) посвящен изложению теории двух классов адаптивных систем, а именно: экстремальных или поисковых и аналитических или вычислительных самонастраивающихся систем.