6. СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КОРРЕКТИРУЮЩИМИ УСТРОЙСТВАМИ

В последнее время для улучшения динамических свойств автоматических систем нашли широкое применение нелинейные корректирующие устройства. Однако теоретически обоснованный выбор и расчет подобных устройств для систем высокого порядка является сложной задачей, в решении которой пока сделаны лишь первые шаги.

Сначала опишем выбор нелинейных корректирующих устройств путем рассмотрения физических процессов, происходящих в автоматической системе, а затем изложим расчет автоматических

систем с нелинейными корректирующими устройствами методом гармонической линеаризации.

Нелинейные корректирующие устройства обычно вводят в систему либо для улучшения качества переходного процесса, либо для повышения точности работы в установившемся режиме, которое достигается значительным увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы.

Рассмотрим вначале первую задачу. Под понятием улучшение качества переходного процесса будем подразумевать уменьшение времени затухания переходного процесса и уменьшение величины перерегулирования (рис. XI.23). Для того чтобы в автоматичекой системе, например в следящей системе, можно было бы обеспечить процесс, близкий к оптимальному (см. кривую 2 на рис. XI.23), необходимо ввести в систему переменное демпфирование, зависящее от угла рассогласования.

Рис. XI. 23. Переходные процессы в системе

При больших углах рассогласования демпфирование системы должно быть малым, что вызывает, как правило, расширение полосы пропускания системы, а следовательно, и более резкую реакцию в начальный момент переходного процесса.

По мере уменьшения угла рассогласования демпфирование должно возрастать. В свою очередь, это ведет к сужению полосы пропускания, т. е. замедляет реакцию системы, предотвращая тем самым значительную величину перерегулирования и излишнюю колебательность процесса. Это простое рассуждение позволяет во многих случаях качественно правильно подойти к выбору нелинейных корректирующих устройств.

Для иллюстрации рассмотрим схему следящей системы с нелинейным демпфиройанием, предложенную Льюисом [3] (см. рис. XI. 24, а). Переменное демпфирование в системе достигнуто за счет включения дополнительного тахогенератора обмотка возбуждения которого питается сигналом, пропорциональным углу рассогласования, навстречу основному тахогенератору обеспечивающему скоростную отрицательную обратную связь.

Если пренебречь индуктивностями якоря электродвигателя и обмотки возбуждения тахогенератора , а также не учитывать замедлений, вносимых усилителями и то уравнение движения рассматриваемой системы можно привести к следующему нелинейному виду:

где управляющая (входная) величина следящей системы (ступенчатое возмущение);

— выходная величина следящей системы;

— постоянные коэффициенты.

В начале переходного процесса, когда сигнал рассогласования велик, демпфирование в системе почти отсутствует (сигнал демпфирования равен тем самым обеспечивается максимально возможная скорость нарастания процесса. По мере уменьшения сигнала рассогласования демпфирование увеличивается и в конце переходного процесса становится равным причем система эффективно тормозится.

Рис. XI. 24. Структурная схема системы с нелинейным демпфированием (а); логарифмические характеристики системы с нелинейной обратной связью по скорости (б); структурная схема системы с нелинейной обратной связью по ускорению (в)

В работе [3] показано путем решения нелинейного уравнения движения системы, что соответствующим выбором параметров можно получить переходный процесс с минимально возможным временем затухания.

Качественно процессы, происходящие в системе с переменным демпфированием, могут быть рассмотрены, если построить логарифмические частотные характеристики для случая отсутствия демпфирования и при наличии демпфирования (рис. XI.24, б).

Анализ взаимного расположения характеристик наглядно подтверждает зависимость полосы пропускания от величины демпфирования Указанный прием примем к исследованию систем, описываемых уравнениями высокого порядка, в то время

как точное решение возможно получить лишь для систем, описываемых уравнениями не выше второго порядка.

В том случае, если электромеханическая постоянная времени электродвигателя относительно велика, а общий коэффициент усиления системы по скорости также должен быть велик, скоростную обратную связь лучше заменить обратной связью по ускорению (рис. XI.24, в).

Приближение переходного процесса к оптимальному может быть достигнуто также применением нелинейных последовательных корректирующих устройств.

Рис. XI. 25. Структурная схема системы с нелинейным интегрирующим звеном (а); логарифмические характеристики системы с нелинейным интегрирующим звеном (б); структурная схема системы с нелинейным звеном в цепи обратной связи (в)

Возможная схема системы с нелинейным пассивным интегрирующим звеном изображена на рис. XI.25. На рис. XI.25, б приведены соответствующие логарифмические амплитудные характеристики для случая относительно большого и малого углов рассогласования.

Следует напомнить известный факт, что по реакции нелинейной системы на ступенчатые возмущения нельзя судить о ее поведении при возмущениях другого типа. Так, например, рассмотренные нелинейные обратные связи, обеспечивая улучшение качества переходного процесса, не улучшают воспроизведения синусоидальных воздействий.

Для повышения динамических свойств систем автоматического регулирования иногда используют дополнительно к линейным средствам коррекции скоростную обратную связь в сочетании с искусственно введенным нелинейным, элементом, обладающим зоной

нечувствительности (рис. XI.26, в). Ширина зоны нечувствительности выбирается несколько больше величины допустимой ошибки.

Таким образом, при работе в зоне допустимой ошибки дополнительная обратная связь отключена и коррекция обеспечивается только линейными средствами. При больших рассогласованиях для предотвращения возможности возникновения автоколебаний с недопустимо большой амплитудой, вызванных наличием ограничений, например насыщения, в систему поступает сигнал нелинейной скоростной обратной связи. Этот сигнал обеспечивает системе дополнительное демпфирование, благодаря чему автоколебания или совсем исчезают, или их амплитуда уменьшается до значений соизмеримых с величиной допустимой ошибки слежения. Примерно та же идея заложена в системах с использованием квадратичной скоростной обратной связи.

Расчет систем с нелинейными корректирующими устройствами методом гармонической линеаризации в основном аналогичен расчету обычных нелинейных систем. Некоторые особенности расчетов, разработанных в работе [8], рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 7. Расчет системы с нелинейной обратной связью. Структурная схема рассматриваемой следящей системы приведена на рис. XI.26, а. Переходные процессы в системе описываются уравнениями

где х — скорость на валу электродвигателя.

В режиме слежения с постоянной скоростью система (рис. XI.26, а) с линейной обратной связью будет иметь значительную ошибку, обусловленную наличием в системе обратной связи по скорости, если не компенсировать это увеличением коэффициента Величина скоростной ошибки во многом определяется коэффициентом обратной связи.

Ослабление обратной связи с целью уменьшения скоростной ошибки может привести либо к нарушению устойчивости системы, либо к недопустимо длительному переходному процессу. Применение в системе обратной связи не по скорости отработки, а по ускорению с целью исключения скоростной ошибки существенно понижает быстродействие системы, что в ряде случаев может быть недопустимым.

В подобном случае целесообразным является применение нелинейной обратной связи (рис. XI.26, б), которая уменьшает величину скоростной ошибки и может обеспечивать приемлемый переходный процесс при согласовании системы.

После гармонической линеаризации нелинейная функция заменяется выражением

причем для нелинейности вида, приведенного на рис. XI.26, б, при

Подставляя выражение вместо в уравнения после их приведения к операторной форме и производя соответствующие преобразования, получим выражение для ошибки системы в виде

Рис. XI. 26. Структурная схема системы с нелинейной обратной связью (а); характеристика нелинейной обратной связи (б); зависимость показателя затухания от амплитуды колебаний при различных величинах линейной зоны в цепи обратной связи (в)

Характеристическое уравнение можно записать

где

Если обозначить

то, согласно уравнению (XI.74) и с учетом формулы (XI. 129), выражения для показателя затухания и частоты получают вид

Поскольку коэффициенты усиления определяются при статическом расчете, а значения постоянных времени обычно заданы, то неизвестными здесь являются только значение коэффициента обратной связи на линейном участке и параметр С, определяющий величину линейной зоны характеристики обратной связи.

Величина коэффициента обратной связи на линейном участке может быть определена исходя из требуемой величины постоянной времени переходного процесса при согласовании системы на линейном участке с использованием первой формулы (XI.130) при

Подставив в формулу (XI. 130) полученное значение можно для различных конкретных значенйй параметра С легко построить зависимости (рис. XI.26, в) в заданном диапазоне изменения амплитуды колебаний системы

Если задано значение времени затухания колебаний от начального значения амплитуды то, пользуясь формулой (XI.82) и графиками (рис. XI.26, в) для различных значений параметра С, можно построить график и выбрать наилучшее значение параметра С, а затем определить и другие интересующие проектировщика параметры переходного процесса.

Пример 8. Расчет системы с нелинейным дифференцирующим звеном. В некоторых случаях нелинейные корректирующие звенья целесообразно использовать в прямом канале. Методика расчета системы в подобных случаях рассмотрена на примере следящей системы, структурная схема которой показана на рис. XI.27, я, и описывается уравнениями

Предполагается, что второй каскад усилителе имеет нелинейную характеристику (рис. XI.27, б) в виде

Такую характеристику может иметь, например магнитный усилитель, с малыми начальными токами, который применяется в мощных системах при необходимости ограничения потребления энергии при отсутствии возмущений.

Для повышения качества переходного процесса, увеличения критического коэффициента усиления и повышения качества слежения в системе (рис. XI.27) используется корректирующий сигнал по производной от величины ошибки, причем в отличие от обычных линейных систем в данном случае вводится нелинейная функция сигнала ошибки

В результате расчета системы необходимо определить целесообразный вид нелинейной зависимости и основные параметры корректирующего

щего звена. При этом гармоническая линеаризация будет производиться по формуле

с неизвестным пока характером зависимости

Гармоническая линеаризация нелинейности третьего каскада усилителя дает

где

Используя соотношения (XI.132), (XI.133) и уравнения системы (XI.131), запишем выражение для ошибки системы в операторной форме

Рис. XI. 27. Структурная схема системы с нелинейным дифференцирующим звеном (а); характеристика второго каскадного усилителя

В этом случае характеристическое уравнение системы имеет вид

где

Для устойчивости системы необходимо, чтобы при всех значениях амплитуды колебаний Л соблюдалось неравенство или в данном примере

Поскольку правая часть этого неравенства при увеличении амплитуды А увеличивается в соответствии с видом функции (рис. XI.27, б), а в левой части то для обеспечения устойчивости системы во всем возможном рабочем, диапазоне и нормальной работы в режиме.слежения необходимо обеспечить соответствующее изменение левой части неравенства (XI.137). Поэтому желательно, чтобы нелинейность имела вид возрастающей кривой, например, вида

При этом соответственно

Выбор вида нелинейности корректирующего устройства может быть произведен по желаемой величине показателя затухания; подставляя в уравнение (XI.74) значения коэффициентов (XI.136), получим

Задавшись желаемым значением показателя затухания 6, можем из уравнения (XI.140) определить необходимую форму зависимости а которую затем можно аппроксимировать одним из выражений (XI.139).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)