6. АНАЛИЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА

В некоторых случаях уравнение нелинейного элемента системы регулирования может быть задано в виде

где — полином от или в виде

где входят не в линейной комбинации.

Уравнения (IX.32а) и (IX.326), описывающие нелинейный элемент, мы будем называть уравнениями ненулевого порядка в отличие от уравнения (IX.4), причем для уравнения (IX.32а) его порядок определяется степенью полинома .

В качестве примеров систем, в которых уравнение нелинейного элемента дается в виде уравнения (IX.32а), можно указать на систему с насыщенным генератором, на систему с нелинейной пружиной при учете массы подвижных частей, на электрическую цепь, содержащую нелинейное сопротивление, и т. д. К уравнению вида (IX.326) может привести задача регулирования по отклонению величины и ее производной, задача с нелинейной пружиной и нелинейным демпферным устройством и т. д.

Система регулирования с нелинейным элементом, уравнение которого задано в виде Рассмотрим систему регулирования, уравнение которой имеет вид

Если искать решение для установившегося режима в виде

то допускается существенная ошибка, так как представляет выходную величину нелинейного элемента, которая в системах автоматического регулирования наиболее резко (по сравнению с — входной величиной нелинейного элемента) отличается от синусоидальной функции. Такое соотношение величин и целиком обусловлено характеристикой линейной части системы

как низкочастотного фильтра. Поэтому вначале целесообразно из выражения

найти обратную функцию

и далее, полагая решать задачу указанным выше методом

Отсюда получим

Таким образом, решение системы уравнений (IX.35) сводится к построениям, аналогичным тем, которые были приведены в § 2. Следовательно, для решения задачи необходимо построить амплитудно-фазовую частотную характеристику и эквивалентную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного элемента

Системы регулирования с нелинейным элементом, уравнение которого задано в виде Уравнения системы регулирования в этом случае будут иметь вид

Как и в § 2, будем искать решение для установившегося режима в виде

тогда уравнения (IX. 37) принимают вид

Согласно методу, гармонического баланса, последнее уравнение можно записать в виде

где

Таким образом, эквивалентная характеристика нелинейного элемента в данном случае зависит не только от амплитуды входного сигнала но и его частоты В этом состоит существенное отличие полученных формул для эквивалентной характеристики от ранее найденных формул (IX.7) и (IX.9).

Из уравнений (IX.38) и (IX.40) непосредственно следует

Построив сетку эквивалентных характеристик для разных значений можно уравнение (IX.40) решить графически. Решение будет определяться точкой пересечений амплитудно-фазовой частотной характеристики — с характеристикой для которой частота совпадает со значением частоты на амплитудно-фазовой частотной характеристике в точке пересечения.

Системы регулирования с несколькими нелинейными элементами, между которыми включены линейные элементы.

Рис. IX. 17. Структурная схема системы регулирования с двумя нелинейными элементами; разъединенных линейными элементами

Пусть дана система регулирования, состоящая из последовательно включенных двух линейных и двух нелинейных элементов (рис. IX. 17).

Уравнения нелинейных элементов заданы в виде . Между нелинейными элементами включены линейные элементы. Будем предполагать, что линейные элементы представляют фильтры низкой частоты. Это значит, что, допуская изменение входной величины нелинейного элемента 1 (рис. IX. 7)- хи по закону будем считать, что выходная величина линейного элемента 1 является и также содержит только первую гармонику.

Сделанное допущение предполагает, что высшие гармоники, входящие в спектр, гасятся при прохождении через линейный элемент Мы предлагаем также; что указанное относится в равной мере к системе, состоящей из нелинейного элемента 2 и линейного элемента 2. Эти допущения имеют практически, как правило, тем большую силу, чем выше порядок уравнения, описывающий элемент 1 и 2. Учитывая сказанное, можно написать

следующую систему уравнений для структурной схемы, доказанной на рис. IX. 17,

Из последних двух уравнений следует

Обозначая

и

получим

или

где

Уравнение (IX.42) можно решить графически: левая часть представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы, а правая — приведенную эквивалентную характеристику нелинейной части, которая должна быть построена для разных значений (семейство амплитудных характеристик при Точка пересечения амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы с эквивалентной характеристикой нелинейной части при условии, что частоты в точке пересечения для амплитудно-фазовой частотной характеристики и эквивалентной характеристики совпадают, определяет значение . Подобные построения можно провести при наличии не двух, а большего количества нелинейных элементов, разъединенных линейными элементами. Необходимо отметить, что построение значительно усложняется с ростом числа нелинейных элементов.

В качестве примера рассмотрим систему регулирования, состоящую из четырех последовательно соединенных элементов, из которых два нелинейны. Характеристика первого нелинейного элемента показана на рис. IX. 18, а, а второго — на рис. IX. 18, б. Передаточная функция первого линейного элемента пусть будет и второго — Для решения задачи об автоколебаниях необходимо, согласно уравнению (IX.42), построить приведенную эквивалентную амплитудно-фазовую характеристику , которая задается уравнением (IX.42, а).

Крутизна нелинейных характеристик в обоих случаях принята равной единице (рис. IX.18, а и б). Если

крутизна отлична от единицы, то соответствующий множитель следует ввести в передаточную функцию первого или второго линейного элемента. Будем измерять амплитуды колебаний в относительных единицах.

Рис. IX.18. Построение приведенных эквивалентных амплитудно-фазовых характеристик а — характеристика первого нелинейного элемента ); б — характеристика второго нелинейного элемента (22); в — приведенные эквивалентные амплитудно-фазовые характеристики при

В этом случае уравнение (IX.42 а) перепишетея в виде

где

На рис. IX.18, в приведены амплитудные характеристики

Задаваясь значением и зная величину а также амплитудно-фазовую частотную характеристику первого линейного элемента можно для заданного построить приведенную эквивалентную характеристику Общий вид этих характеристик для разных значений показан на рис. IX. 18, в. Если модуль с увеличением уменьшается, что обычно имеет место, то характеристики с увеличением со будут охватывать друг друга.

Имея сетку характеристик при необходимо для решения уравнения (IX.42) построить амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы . Точка пересечения характеристики с характеристикой условии, что частоты для обеих характеристик совпадают, определяет значение каждого конкретного случая можно определить условия, при которых автоколебания не возникают, т. е. когда характеристики — не пересекаются и не охватывают друг друга.