8. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Математический аппарат для оценки качества нелинейных систем автоматического регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями высоких порядков, до настоящего времени практически не разработан из-за отсутствия регулярных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Существующие численные методы их решения весьма трудоемки. Использование цифровых вычислительных машин, хотя и позволяет существенным образом сократить время, затрачиваемое на численные расчеты, но затрудняет анализ качества системы в зависимости от ее параметров. При проектировании же систем автоматического регулирования необходимо выбирать такие параметры, которые обеспечивают показатели качества, заданные техническими условиями. Поэтому большое значение приобретают различные приближенные методы для оценки качества или построения переходных процессов в нелинейных системах [12], [13], [16], [27].

Существующие частотные методы анализа качества линейных систем автоматического регулирования [28], [29] с постоянными параметрами позволяют достаточно точно определять показатели качества или вычислять переходные процессы. Ниже дается обобщение этих методов на нелинейные системы, основанное на следующих соображениях. В нелинейных системах при изменении

сигнала на входе нелинейности меняются эквивалентные значения амплитуд и фаз нелинейного элемента. Последнее приводит к переменности передаточной функции замкнутой системы, так как для нелинейной системы имеется семейство частотных характеристик замкнутых систем [или семейство вещественных и мнимых характеристик]. Данное положение может послужить основой для распространения разработанных методов анализа качества линейных систем на нелинейные системы.

Очевидно, что подобное обобщение будет наиболее применимо к системам регулирования, обладающим колебательными переходными процессами (т. е. таким системам, у которых в линеаризованных характеристических уравнениях хотя бы одна пара комплексных корней располагалась бы достаточно близко к мнимой оси) [42]. В этом случае на вход нелинейности поступает гармонический сигнал, позволяющий находить коэффициенты гармонической линеаризации а и или эквивалентные амплитудную и фазовую характеристики.

Рассмотрим, каким образом в нелинейной системе автоматического регулирования (рис. XII.38, а) с однозначной нелинейностью происходит изменение эквивалентных амплитудных характеристик при отработке единичного управляющего сигнала Сигнал ошибки в виде затухающего колебательного процесса поступает на вход нелинейной характеристики (см. рис. XII.38, б). На выходе нелинейности образуется сигнал Если линейная часть системы является хорошим фильтром низких частот и для нее соблюдается условие

то, определяя для каждого полупериода выходного сигнала первую гармонику, найдем коэффициенты гармонической линеаризации

где — амплитуды первых гармоник выходного сигнала;

— амплитуды входного сигнала.

Соответствующие значения эквивалентных амплитуд

показаны на рис. XII.38, в. Из этого рисунка видно, что по мере уменьшения амплитуды входного сигнала происходит увеличение эквивалентного значения амплитуды, вплоть до ее максимального (линейного) значения.

Таким образом, гармонически линеаризованная нелинейная система (рис. XII.38, а) при отработке единичного сигнала управления становится системой с переменным коэффициентом

В нелинейных системах автоматического регулирования с двухзначными нелинейностями наряду с изменением эквивалентной амплитуды происходит изменение и эквивалентной фазы

Итак, в нелинейных системах регулирования, имеющих явно выраженный колебательный переходный процесс, можно определять функции и в зависимости от изменения амплитуды сигнала на входе нелинейности.

Рис. XII. 38. Сигналы на входе и выходе однозначной нелинейности; определение коэффициентов гармонической линеаризации при изменении амплитуды входного сигнала: а — структурная схема, б — формы сигналов; в — коэффициенты гармонической линеаризации

Получающиеся при этом семейства частотных характеристик замкнутых систем и семейства вещественных и мнимых частотных характеристик могут быть использованы для определения показателей качества или построения частотным методом переходных процессов.

Изложение метода определения показателей качества с помощью свойств семейств вещественных частотных характеристик

и способа построения переходных процессов в нелинейных системах с помощью -функций не является строгим, а основывается в значительной степени на эвристических соображениях. Однако многочисленные экспериментальные данные и их сравнение с расчетами по предложенной методике, как правило, дают хорошее совпадение, что позволяет применять данный метод для первоначального ориентировочного анализа качества и переходных процессов.

Рассмотрим теперь способ получения вещественных и мнимых частотных характеристик нелинейных систем. Семейства вещественных и мнимых частотных характеристик замкнутых нелинейных систем автоматического регулирования определяются с помощью следующих формул:

и

Из формул (XII. 140) и (XII. 141) видно, что для получения характеристик можно пользоваться номограммами вещественных и мнимых частотных характеристик линейных систем [12], [13] Только для нелинейных систем с однозначными нелинейностями логарифмические амплитудно-фазовые характеристики строятся относительно смещенных центров номограмм Р или на величину вдоль оси - 180° (см. рис. XII. 39, а и рис. XI 1.40, а). В точках пересечения логарифмических амплитудно-фазовых характеристик с линиями равных значений получаются вещественные частотные характеристики , а в точках пересечения с линиями равных значений — величины На рис. XII.41, а и б построены соответственно семейства вещественных и мнимых частотных характеристик замкнутой системы, определенные по номограммам

Для нелинейных систем автоматического регулирования с двухзначными нелинейностями центры номограмм Р или совмещаются с точками обратной приведенной характеристики имеющими амплитудные и фазовые значения (см. рис. XII.39, б и рис. XII.40, б).

(кликните для просмотра скана)

Если в систему автоматического регулирований входят нисколько нелинейностей, разделенных между собой линейными звеньями, то формулой для построения семейства вещественных и мнимых частотных характеристик являются следующие:

и

Для построения переходных процессов воспользуемся трапецеидальными частотными характеристиками и -функциями [5], [11],

Рис. XII. 39. Определение семейства вещественных частотных характеристик нелинейной замкнутой системы: а — с однозначной нелинейностью; б — с двухзначной нелинейностью; в — с двумя нелинейностямн, разделенными между собой линейным динамическим звеном

(кликните для просмотра скана)

[29], [31]. Действительно, формула для построения переходного процесса может быть представлена в виде

или

Разобьем каждую из четырех вещественных частотных характеристик (рис. XII.41, а) на трапеции и с помощью -функций построим результирующие переходные процессы. На рис. XI 1.42, в показаны эти переходные процессы: кривой 1 — для при кривой 2 — для при

Рис. XII. 40. (см. скан) Определение семейства мнимых частотных характеристик нелинейной замкнутой системы: а — с однозначной нелинейностью, б — с двухзначной нелинейностью, в — с двумя нелинейностями, разделенными между собой линейным динамическим звеном

По данным рис, XII.42, в на рис. 42, а, строим вспомогательный график для относительных значений в зависимости от А. Здесь же штриховой линией нанесем кривые для от А.

Рис. XII. 41. (см. скан) Семейства вещественных (а) мнимых (б) частотных характеристик замкнутых нелинейных систем автоматического регулирования

Данное построение выполнено на рис. XII.42, а. Для получения действительных значений проведем прямую, соответствующую Тогда в точках пересечения этой прямой с кривой 1 (рис. XII.42, б) найдем Опустив из этой точки перпендикуляр к оси абсцисс, получим

(кликните для просмотра скана)

точку пересечения с осью времени , которая и дает нам значение По аналогии с этим получим Откладываем эти значения на рис. XI 1.42, б и через полученные точки проведем кривую, которая и является искомым переходным процессом нелинейной системы. При таком построении следует иметь в виду, что на первом участке начальное отклонение приводит к перерегулированию Значение является начальным отклонением для перерегулирования и т. д. [27], [43], [49]. В заключение рассмотрим конкретный пример построения переходного процесса в нелинейной системе автоматического регулирования.

Рис. XII. 43. Система автоматического регулирования оборотов дизеля с нелинейным сервоприводом: а — характеристика нелинейного сервопривода; б — структурная схема

Пример 6. В системе автоматического регулирования оборотов дизеля с инерционным чувствительным элементом и безынерционным сервоприводом передаточные функции объекта регулирования и отдельных устройств системы имеют вид [12]:

для объекта регулирования (дизель)

для чувствительного элемента

для сервопривода

для устройства обратной связи

где — нелинейная функция (см. рис. XII.43, а). Будем считать, что воздействие приложено к чувствительному элементу, тогда структурную схему можно представить в виде, показанном на рис. XII. 43, б.

Из структурной схемы найдем передаточную функцию системы в разомкнутой и замкнутой формах

где

Передаточную функцию замкнутой системы представим в виде

Примем, что параметры системы управления имеют следующие числовые значения:

Пользуясь номограммой замыкания, построим этих параметров логарифмические частотные характеристики системы автоматического регулирования оборотов дизеля при логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы определим вещественные частотные характеристики замкнутой системы. Характеристики построены на рис. XII. 44, а. С помощью — функции вычислим переходные процессы (рис. XII.44, б).

Графики, связывающие значения и Ттах с Л, построены на рис. XII.45, а. По данным этих графиков, на рис. XII.45, б построен результирующий переходный процесс в системе автоматического регулирования оборотов дизеля. Здесь же, на рис. XII.45, б штриховой линией показана кривая переходного процесса, вычисленная с помощью численного интегрирования. Из сравнения кривой переходного процесса, вычисленной частотным методом, с кривой, полученной численным интегрированием, видно, что ошибка определения параметров и атах не превышает 10%.

Приведенный пример показывает, что точность построения переходных процессов частотными методами достаточна для предварительного проектирования нелинейных систем автоматического регулирования.

Данная методика без особых затруднений может быть распространена на системы управления с несколькими нелинейностями, разделенными линейными звеньями [4], а также на многоконтурные нелинейные системы. Естественно, что сложность расчётов при этом повышается, так как в первом случае необходимо определить частоты и использовать их для нахождения обратных эквивалентных амплитудных и фазовых характеристик, а во втором случае — несколько раз применить программу замыкания Поэтому в обоих случаях точность построения переходных процессов снижается.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Для построения переходных процессов в нелинейных системах, не содержащих в функции нулевого полюса, следует рекомендовать пользоваться вместо формул (ХII.144) и (XII.145) зависимостями вида

или

Тогда на трапеции разбиваются не функции или а функции

В остальном же порядок построения переходных процессов с помощью — функций и вспомогательных графиков останется неизменным.

В заключение можно отметить, что частотный метод построения переходных процессов в нелинейных системах основан на приведении нелинейной системы с помощью принципа гармонической линеаризации к линейным системам с переменными параметрами. Справедливость построения переходных процессов в системах с переменными параметрами при ограниченном диапазоне их изменения были доказана Л. Заде. В нелинейных системах даже при значительном диапазоне изменений амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации а и изменяются в ограниченном диапазоне, что и позволяет распространить метод построения переходных процессов в линейных системах с переменными параметрами (см. гл. I, § 14,) на нелинейные системы.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ПРИЛОЖЕНИЯ