6. АНАЛИЗ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Анализ систем с переменными параметрами при детерминированных воздействиях сводится к решению дифференциальных уравнений вида (1.1) с переменными коэффициентами.

Классические методы решения изложены в соответствующих курсах (см., например, [2], [12]). Однако общих аналитических методов решения, как известно, не существует и достаточно хорошо изученным является сравнительно небольшое число частных случаев уравнения (1.1) и при том в большинстве своем не выше второго порядка (например, уравнения Матье, Бесселя и др.). Кроме того, необходимо подчеркнуть, что решение

дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, как правило, не выражается в элементарных функциях. Поэтому даже в тех редких случаях, когда можно найти точное решение, его трудно использовать при практических расчетах.

Вследствие указанных прлчин на практике при анализе нестационарных систем обычно пользуются различными либо приближенными аналитическими, либо экспериментальными методами, основанными на применении электронных моделирующих устройств. Один из приближенных методов анализа нестационарных систем, сводящий решение уравнения (1.1) с переменными коэффициентами к решению дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, излагается ниже (см. также, например, [10]).

Этот метод состоит из трех этапов: первый — определение функции Грина представляющей собой решение уравнения (1.12а) при начальных условиях (1.19);

второй — вычисление импульсной переходной функции соответствующей уравнению (1.5) по найденной функции

третий — вычисление величины на выходе при детерминированном воздействии на входе при помощи интеграла свертки (1.7).

Первый этап решения заключается в следующем. Выбирая в качестве приближенных значений коэффициентов уравнения (1.16) их величины при т. е. в момент приложения воздействия перепишем уравнение (1.16) в виде

где имеет постоянные относительно коэффициенты, равные

Применяя метод последовательных приближений, представляем решение в виде ряда

где определяются как решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для каждого заданного значения

В случае, когда параметры системы мало меняются на интервале времени вне которого мало по сравнению с ее максимальной величиной, этот метод дает достаточное приближение к точному решению уже при

Перейдем теперь ко второму этапу. Рассматривая в уравнении (1.5) правую часть как воздействие на основании уравнения (1.10) можем написать

Но

Поэтому

или сокращенно

где оператор,

называется оператором, сопряженным оператору [см. формулу (1.4)].

Пользуясь формулой (1.73), можно по импульсной переходной функции уравнения (1.16) найти функцию как функцию первого аргумента Однако для того, чтобы выполнить третий этап, т. е. вычислить интеграл свертки (1.7), удобнее знать функцию как функцию второго аргумента, рассматривая при этом как параметр. Это очевидно из формулы (1.7), позволяющей получить изменение величины на выходе при любом фиксированном моменте времени простым интегрированием, если функция задана как функция второго аргумента т.

Рис. 1.15. Получение графика функции по заданной функции

Вычисляя интеграл (1.7) для фиксированных значений можно найти последовательность чисел, определяющих функцию

в дискретных точках. Функцию рассматриваемую как функцию второго аргумента условимся обозначать через

График этой функции можно получить, взяв сечение поверхности импульсной переходной функции вертикальной плоскостью, параллельной оси (рис. 1.15). Эта кривая может быть получена экспериментально, если записать импульсные переходные функции исходной системы для различных моментов приложения воздействия в виде -функции и построить зависимость значений этих функций при от (см. рис. 1.15).