9. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ НЕПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ В СЕРВОДВИГАТЕЛЕ СУХОГО ТРЕНИЯ

Здесь мы рассмотрим вопрос о том, как влияет на поведение системы сухое трение в сервомоторе. Это весьма важно потому, что трение в сервомоторе обычно достигает значительной величины из-за необходимости создания достаточно надежной посадки сервопоршня и вследствие сил реакции от усилия сервопоршня, возникающих в звеньях механизма, передающего это усилие к регулирующему органу.

Рис. V.24. Характеристики сил трения

При рассмотрении влияния трения в чувствительном элементе мы полагали, что зависимость силы сухого трения от относительной скорости представляется ломаной на рис. V.24, т. е. что при наличии относительной скорости между трущимися телами сила постоянна по величине, а по знаку противоположна знаку относительной скорости. Если же относительная скорость равна нулю, то сила трения может принимать любые значения в пределах где

Такое предположение является первым приближением к действительности. В реальных условиях сила трения покоя обычно больше силы трения движения, причем с увеличением относительной скорости абсолютная величина силы трения уменьшается. Подобные характеристики силы трения будут называться падающими характеристиками, а само трение — падающим.

Влияние сухого трения, действующего в. сервомоторе, наиболее сильно сказывается в сервомоторах, управляемых от золотника типа сопла — заслонки или струйной трубки. Мы будем рассматривать вопрос о поведении системы автоматического регулирования с безынерционным чувствительным элементом, объектом с самовыравниванием и сервомотором с переменной скоростью при наличии в нем сухого трения с падающими характеристиками.

Пример схемы системы регулирования приведен на рис. V.25.

Рис. V.25. Схема системы регулирования

Уравнения движения в обычной форме для объекта регулирования, чувствительного элемента и золотника могут быть записаны в виде:

уравнения объекта

уравнения чувствительного элемента

уравнения золотника

Уравнение сервомотора в линеаризованном относительно виде будет

Предположим, что сила трения представлена кривой (см. рис. V.24). Эта зависимость изображена на рис. V.26 кривой Зависимость (V.56) между скоростью сервомотора и смещением золотника для этого случая показана кривой получающейся при сложении абсцисс прямой С и кривой Из кривой видно, что наличие падающего участка на характеристиках трения увеличивает скорость поршня сервомотора. При увеличении спада характеристики скорость сервомотора возрастает и делается бесконечно большой, когда отрицательный по знаку тангенс угла наклона касательной к характеристике силы трения стремится по абсолютной величине к тангенсу наклона прямой С к оси а, т. е. к единице.

Рассмотрим теперь случай, когда отрицательный тангенс угла наклона касательной к характеристике силы трения оказывается по модулю на некотором участке больше тангенса угла наклона прямой С (кривая на рис. V.24 и на рис. V.26).

Зависимость представляется кривой на рис. V.26 и на рис. V.27. В рассматриваемом случае зависимость делается неоднозначной, причем в интервалах имеется по три значения , соответствующих каждому , где Легко видеть, что крайние значения устойчивы, а промежуточные — неустойчивы. Поэтому при возрастании в момент, когда скорость поршня от значения мгновенно переходит к значению (мы пренебрегаем инерцией поршня, благодаря чему возможны мгновенные изменения его скорости).

Рис. V.26. Зависимость скорости сервопоршня от а

Рис. V.27. Гистерсзисная характеристика скорости сервопоршня

При увеличении изменяется по кривой а при уменьшении о от значения будет изменяться по ветви кривой до значения При При дальнейшем убывании и возрастании а картина повторяется. Очевидно, что образующаяся гистерезисная петля, определяющая накопление энергии за каждое колебание, может быть источником автоколебаний. При исчезновении гистерезиса колебания в системе будут невозможны. Однако для устранения возможных автоколебаний столь жесткое условие не является необходимым в связи с наличием положительного самовыравнивания объекта. Из дальнейшего анализа это обстоятельство сделается очевидным.

Дифференцируя по времени, получаем

Исключая в и из уравнений системы регулирования, находим

Сравнивая уравнение (V.58) (V.566), видим, что в функции от графически выражается рис. V.26, если изменить масштаб оси абсцисс в раз.

Рис. V.28. Идеализированная характеристика силы трения

Рис. V.29. Гистерезисный характер скорости сервопоршня при идеализированной характеристике силы трения

Для упрощения расчета при сохранении качественных особенностей явления идеализируем характеристику падающего трения и будем считать, что оно может быть представлено на рис. V.28 и аналитически записано в виде

В этом предположении зависимость (V.566) графически изображается на рис. V.29, где

При каждом колебании переменной с амплитудой на плоскости будут описываться две петли гистерезиса. Аналитически зависимость запишется в виде

Исключая из уравнений системы регулирования выражения (V.59б) находим, что все возможные движения в системе могут быть описаны тремя уравнениями относительно переменной

которые циклически сменяют друг друга. Таким образом, рассматриваемая нами система принадлежит к классу рассмотренных выше многократных систем.

Фазовое пространство системы, которое в рассматриваемом случае представляет трехлистную фазовую поверхность, строится следующим образом [4], [9].

Рис. V.30. Первый и третий листы фазовой поверхности

Уравнение отображается на фазовую полуплоскость, ограниченную справа прямой

назовем ее листом (рис. V.30). Уравнение (V.60б) отображается на кусок фазовой плоскости (2-й лист), ограниченный слева прямой

а справа прямой

Уравнение отображается на полуплоскость, ограниченную слева прямой (см. 3-й лист на рис. V.30)

На рис. V.30 видно, что изображающая точка М, попав в любом месте на 1-й лист, двигается по куску фазовой траектории, принадлежащему устойчивому фокусу; через некоторое время она выходит на положительную часть границы листа и его покидает. Аналогичное обстоятельство имеет место и для 3-го листа; изображающая точка, расположенная на нем, движется по фазовой траектории и покидает лист через отрицательную часть его границы (здесь

Рис. V.31. Второй лист фазовой поверхности

Существенно другая картина имеет место на листе (см. рис. V.31). Если изображающая точка находится в незаштрихованных областях 2-го листа, то она, двигаясь по фазовой траектории, через некоторый промежуток времени выходит на границу листа и его покидает. Если же изображающая точка находится в любой точке заштрихованной области (ограниченной траекториями, проходящими через точки оси абсцисс), то она через некоторый промежуток времени должна выйти на отрезок оси абсцисс и остаться на нем.

Рис. V.32. Фазовая поверхность системы регулирования

Следовательно, отрезок 2-го листа является устойчивым отрезком покоя.

Построим теперь фазовую поверхность системы. Для этого необходимо отдельные листы скрепить между собой вдоль тех

участков их границ, через которые изображающая точка покидает листы. Отдельные листы связаны между собой следующим образом: (рис. V.32.): 1-й лист соединяется со 2-м, вдоль отрицательной полупрямой с уравнением (V.62) и положительной полупрямой с уравнением (V.61); 2-й лист соединяется с 3-м вдоль положительной полупрямой с уравнением (V.63) и отрицательной полупрямой с уравнением (V.64).

Построенная многолистная фазовая поверхность, имеющая четыре точки разветвления, дает взаимно однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки в фазовом пространстве.

Движение изображающей точки происходит по фазовой траектории одного из листов до тех пор, пока изображающая точка не достигает границы листа.

Пройдя линию разветвления, точка движется по фазовой траектории соседнего листа до выхода на границу листа и т. д.

Рис. V.33. Плоскость параметров системы

Из рис. V.32 ясно виден характер движения изображающей точки по фазовой поверхности. Фазовая траектория извне и изнутри навертывается на предельный цикл, которому соответствуют автоколебания давления в системе.

Условие устойчивости системы регулирования можно найти из требования, чтобы амплитуда ост предельного цикла была равна или меньше Действительно, если это требование выполняется, то это значит, что изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, через достаточно большой промежуток времени попадает на устойчивый отрезок покоя листа, и ее дальнейшее движение прекращается.

Отсюда получается условие устойчивости

На рис. V.33 по формуле (V.65) построена плоскость параметров системы регулирования. Если параметр , то система регулирования является устойчивой при любых значениях 23, т. е. при любой глубине спада силы трения. Если же то система будет устойчивой тогда, когда параметр

будет больше некоторого определенного значения, определяемого границей области устойчивости. Для уменьшения параметра А необходимо увеличивать постоянную времени сервомотора или неравномерность чувствительного элемента.

В некоторых случаях выбрать величину не удается и приходится идти на возможность возникновения в системе регулирования незатухающих колебаний. При этом очень важно знать, устойчивы ли периодические движения, возникающие в системе, какова их амплитуда и как изменяется последняя с изменением параметров системы регулирования.

Рис. V.34. Зависимость амплитуды предельного цикла от параметров системы

Уравнение относительно безразмерной амплитуды предельного цикла в функции параметров А и В имеет вид

На рис. V.34 приведена эта зависимость, характеризующая поведение стационарной амплитуды от параметров Л и В. Из рис. V.34 видно, что стационарная амплитуда возрастает с увеличением параметров Л и В.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)