1. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОТРЕЗКАХ

Пусть независимые переменные — время и — имеют общее начало отсчета, тогда конечный отрезок времени назовем нестационарным, если хотя бы один конец этого отрезка подвижен, являясь функцией времени и стационарным, если оба конца отрезка неподвижны. Функции служат характеристиками нестационарного отрезка. Нестационарный отрезок можно описывать также его длиной и одной из функций или Нестационарный отрезок очерчивает полосу в плоскости (рис. IV. 1), заключенную между кривыми Проекция на ось сечения этой полосы линией определяет мгновенное положение нестационарного отрезка на оси .

Рис. IV. 1. Графическое изображение нестационарного отрезка

Систему функций определенных на назовем ортогональной на нестационарном отрезке с весом если все функции этой системы удовлетворяют условию

Нормы функций, ортогональных на нестационарном отрезке определяемые выражением

являются функциями времени

Систему функций ортогональную на нестационарном отрезке назовем ортонормированной, если нормы всех функций этой системы постоянны и равны единице. Для функций ортонормированной системы справедливы соотношения (IV.1) и

Всякую систему, ортогональную на нестационарном отрезке, не содержащую функций с нулевой нормой, можно нормировать, разделив каждую функцию на ее норму. Если известна система

функций, ортогональных на стационарном конечном отрезке (полиномы Якоби, Чебышева, Лежандра, тригонометрические функции т. д.), то легко получить систему функций, ортогональную на нестационарном отрезке путем формальной замены в явных выражениях стационарных функций и их функций веса на функции описывающие концы нестационарного отрезка.

Рассмотрим примеры систем функций, ортогональных на не стационарных отрезках.

Пример 1. Нестационарные полиномы Лежандра. Явное выражение стационарных полиномов Лежандра, ортогональных на отрезке можно представить в виде [2]:

Норма полиномов Лежандра, ортогональных на отрезке

а их весовая функция

Запишем формулы нестационарных полиномов Лежандра, ортогональных на отрезках Полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке получим из выражения (IV.3) путем замены на

Последнюю формулу можно привести к виду

где

Формулы ортонормированных нестационарных полиномов Лежандра для отрезка с учетом выражений (IV.5), (IV.4) имеют вид

Первые восемь членов системы (IV.7) нестационарных полиномов Лежандра, ортонормированиых на отрезке сведены в следующую таблицу:

Формулы ортонормированиых нестационарных полиномов Лежандра для скользящего отрезка получим из выражений (IV.3) и (1V.4) путем замены а на на

Весовая функция нестационарных полиномов Лежандра будет Пример 2. Системы нестационарных тригонометрических функций. Запишем лишь две системы, ортонормированные на отрезке

Весовая функция этих систем такая же, как и у предыдущей системы

Нестационарные ортогональные функции могут быть изображены в трехмерном пространстве с координатами в виде поверхностей.

Рис. 1V.2. Графическое изображение функции принадлежащей системе нестационарных ортонормированных полиномов Лежандра

Функции, ортогональные на стационарных отрезках, являются сечениями этих поверхностей плоскостями, параллельными плоскости фт. В качестве примера на рис. IV.2 изображен многочлен Лежандра с индексом из ортонормированной на отрезке системы, описываемой формулой (IV.7).