ГЛАВА VI. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К АНАЛИЗУ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В этой главе рассматривается метод точечных преобразований в приложении к исследованию сервомеханизмов систем автоматического регулирования, состояние которых в любой момент времени может быть отображено на фазовой поверхности. Описание метода дается в сжатой форме лишь с целью поянения его основной идеи. Такое построение главы вызвано, во-первых, тем, что подробное изложение этого вопроса в пределах одной главы не представляется возможным, и, во-второх, желанием придать содержанию главы возможно большую практическую направленность.

Более подробное изложение метода и примеры его применения к системам более сложным, чем рассматриваемые здесь, читатель может найти в соответствующей литературе (см. например, [1], [6], [8], [10], [12], [13]).

Сформулируем те основные задачи нелинейной теории автоматического регулирования, которые могут быть в настоящее время решены с помощью метода точечных преобразований. Исходными данными для исследования нелинейной системы автоматического регулирования при помощи излагаемого метода являются уравнения движения системы и ее нелинейных характеристик. Последние могут быть заданы экспериментально. Тогда в задачу исследования войдут следующие основные вопросы:

а) выявление возможности существования предельных циклов и их числа, т. е. выявление возможности автоколебательных состояний исследуемой системы;

б) выявление бифуркационных значений параметров системы, вызывающих смену видов ее движения, т. е. нахождение критического соотношения основных параметров, разбивающего пространство параметров системы на области устойчивости, наличия и отсутствия автоколебаний и т. д.;

в) анализ устойчивости «в большом», состояния равновесия и предельных циклов — автоколебаний;

г) выявление условий, при которых могут возбуждаться автоколебания (мягкий и жесткий режимы, связь с начальными условиями);

д) нахождение параметров автоколебаний — амплитуды и частоты, а также зависимости их от параметров системы автоматического регулирования;

е) выявление качественной и количественной картины переходных процессов при свободных колебаниях системы, а также при вынужденных движениях для некоторых видов возмущений

1. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Метод точечных преобразований (отображений) в применении к теории автоматического регулирования разработан А. А. Андроновым и его школой и представляет рациональное сочетание метода припасовывания и приемов теории точечного преобразования поверхностей [1] - [4], [5], [12], [13]. В основу рассматриваемого метода положено изучение поведения динамических систем и, в частности, систем автоматического регулирования с помощью фазового пространства [1], [2]. Сущность метода заложена в кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик системы, поскольку принципиально такая аппроксимация позволяет всегда произвести интегрирование уравнений движения системы. Этот метод некоторыми авторами называется методом интегрируемой аппроксимации.

Метод точечных преобразований заключается в основном в следующем. Фазовое пространство, координатами которого являются обобщенные координаты исследуемой системы автоматического регулирования и их производные по времени, разбивается в соответствии с нелинейными характеристиками на ряд участков, в пределах которых движение системы описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Все фазовое пространство заполнено траекториями движущейся в нем изображающей точки. Координаты изображающей точки определяют состояние динамической системы в каждый момент времени. Как известно, если траектории скручиваются к началу координат или стягиваются к отрезку покоя, то исследуемая система устойчива, и наоборот, если траектории раскручиваются, то система может иметь расходящиеся колебания и быть неустойчивой. Если же траектории изображающей точки стягиваются изнутри и снаружи к предельной замкнутой траектории, то система входит в колебательное состояние. Эти предельные замкнутые траектории называются предельными циклами Пуанкаре.

А. А. Андронов впервые показал, что такие предельные циклы, образующиеся в фазовом пространстве, являются «образами» автоколебательных состояний системы автоматического регулирования. Это соответствие является фундаментальным положением нелинейной теории колебаний; оно показывает, что физическим явлениям — автоколебаниям системы — адэкватно математическое представление их с помощью предельных циклов Пуанкаре и,

следовательно, математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений применим к исследованию таких явлений.

Таким образом, решение задачи связано с изучением поведения траекторий изображающей точки в фазовом пространстве.

Вследствие кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик нелинейная задача сводится к рассмотрению нескольких различных систем линейных дифференциальных уравнений и к последовательному припасовыванию констант интеграции, исходя из требований непрерывности функций в точках сопряжения различных систем уравнений.

Фазовые траектории, характеризующие поведение системы в динамике, будут непрерывными кривыми, а их производные могут иметь разрыв. Поэтому фазовые траектории могут иметь вид ломаных кривых, образующих в местах сопряжений угловые точки.

Из теории колебаний [1] известно, что фазовые траектории могут пересекаться лишь в особых точках, во всех других обыкновенных точках фазового пространства фазовые траектории не пересекаются и образуют непрерывные траектории системы. Задание начальных условий определяет траекторию, по которой будет двигаться изображающая точка.

Рассматриваемый метод исследования динамики нелинейной системы в общем случае заключается в сведении динамической задачи к исследованию точечного преобразования поверхностей. В частном же случае систем, отображаемых на фазовой плоскости, динамическую задачу можно, например, свести, как это показано ниже, к изучению точечного преобразования полупрямой, представляющей полуось ординат у, в самое себя.

Для наглядности дальнейшего изложения примем, что фазовое пространство представляет фазовую плоскость, по осям координат которой отложены интересующая нас переменная и ее производная по времени. Такая фазовая плоскость позволяет определить по координатам изображающей точки состояние системы в любой момент времени, движение которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

В качестве примера рассмотрим фазовую плоскость изображенную на рис. VI. 1. Прямые, параллельные оси ординат и проходящие через точки ограничивают участки, в пределах которых движение системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. Фазовые траектории для отдельных участков изображены на рис. VI. 1. Рассмотрим, как происходит переход точек полуоси -у при обороте изображающей точки около начала координат снова на полуось

Пусть в начальный момент изображающая точка находится на оси в точке 1. Далее в соответствии с линейной системой уравнений движения, действующей на участке изображающая

точка переходит по траектории на полупрямую в точку 2. Назовем переход точек полуоси на полупрямую преобразованием (отображением) Затем изображающая точка в соответствии с линейной системой уравнений движения участка II переходит на полупрямую в точку 3. Этот переход назовем преобразованием (отображением) . С полупрямой изображающая точка по траекториям участка переходит на полуось — у (точка 4), и этот переход назовем преобразованием Далее изображающая точка переходит на полупрямую преобразование на полупрямую (точка 6) — преобразование , наконец, снова на полуось Этот последний переход точки назовем преобразованием

Следовательно, преобразование — переводит точку полуоси на полуось , а преобразование точки полуоси снова на полуось т. е. преобразование переводит точки полуоси снова на эту полуось.

Такое преобразование (или отображение) называется преобразованием полуоси у в самое себя.

Рис. VI.1. Фазовая плоскость и фазовые траектории

В рассматриваемом примере проще изучать преобразование не полуоси а преобразование полупрямой — в самое себя. В этом случае преобразование представится выражением где через обозначено преобразование, соответствующее переходу точек полупрямой на полупрямую по траекториям участка 1 (соответственно для участка ).

Таким образом, изучение точечного преобразовония полупрямой в самое себя сводится к изучению поведения точек полупрямой при повторении преобразования Т. Если фазовая плоскость симметрична относительно начала координат, то каждый раз, когда точка, переходя по преобразованию попадает на полупрямую можно рассматривать в ней симметричную точку полупрямой . В этом случае задача сводится к рассмотрению преобразования полупрямой в полупрямую при применении только преобразования

В чем же заключается изучение точечного преобразования полупрямой в самое себя? На этот вопрос можно ответить так. Если изображающая точка после оборота относительно начала координат снова попадает на полупрямую (допустим, N на рис. VI. 1), то она в зависимости от динамических свойств системы может оказаться выше и ниже первоначального положения или снова вернуться в него. В зависимости от этого траектории

изображающей точки могут быть раскручивающимися и скручивающимися, замкнутыми кривыми и т. д. При этом возможно, что траектории раскручиваются и скручиваются к замкнутым кривым — предельным циклам. Если в фазовом пространстве образуется предельный цикл, то говорят, что существует неподвижная точка. Для того чтобы выявить, по каким траекториям будет двигаться изображающая точка для данной конкретной системы, необходимо исследовать последовательность точек пересечения траекторий с выбранной полупрямой при непрерывном изменении начальных условий, т. е. при повторении преобразования Эта последовательность точек пересечения траектории с выбранной полупрямой, представленная в виде функции от начальных условий, и будет представлять точечное преобразование полупрямой в самое себя.

Если преобразование Т оказывается не применимым к некоторым точкам полупрямой то это означает, в данном примере, что соответствующая точка идет сразу к отрезку покоя и периодические колебания не могут установиться в динамической системе.

Таким образом, изучение поведения отдельной траектории в фазовой плоскости будет эквивалентным изучению последовательности точек пересечения ее с выбранной полупрямой, а последовательность точек пересечения для непрерывного изменения начальных условий будет представлять точечное преобразование данной полупрямой в самое себя. Изучение же структуры разбиения фазовой плоскости на траектории различного вида будет эквивалентным изучению структуры преобразования выбранной полупрямой в самое себя, осуществляемого движением изображающих точек по траекториям.

Поскольку перечисленные задачи являются только некоторой частью теории точечных преобразований поверхностей, целесообразнее говорить не о точечном преобразовании, а о точечном отображении прямой в прямую.

Для изучения структуры отображения прямой в прямую удобно пользоваться специальной диаграммой точечного преобразования (отображения), характеризующей взаиморасположение какой либо выбранной кривой (в частном случае — прямой) с кривой, представляющей точечное отображение полупрямой в самое себя. Диаграммы точечных преобразований представляют собой обобщенные диаграммы Кенигса — Лемерея, поскольку с помощью их могут рассматриваться взаиморасположение не только некоторой выбранной прямой и кривой точечного отображения (функции последования), но и взаиморасположения нескольких кривых точечных отображений (здесь двух), представляющих функции последования на промежуточных участках фазовой плоскости. Подробнее это будет рассмотрено ниже и в гл. VII [5] - [8], [12], [13].

Взаиморасположение этих кривых позволяет судить о структуре отображения, т. е. о структуре разбиения фазовой плоскости

на траектории. Так, например (рис. VI.2), если изучается преобразование полуоси ординат в самое себя, то последовательность точек пересечения траекторий с полуосью представится функцией где начальное значение ординаты, значение ординаты при пересечении с полуосью после оборота изображающей точки вокруг начала координат. Если для построения диаграммы выбрана прямая то точки пересечения этих двух кривых (прямой и кривой) будут неподвижными точками данной фазовой плоскости, определяющими наличие предельных циклов. Число точек пересечения будет определять число возможных предельных циклов, т. е. периодических колебаний систем автоматического регулирования. Взаиморасположение этих кривых позволит решить вопрос о структуре разбиения фазовой плоскости на траектории, об устойчивости положения равновесия и периодических колебаний систем.

Рис. VI.2. Диаграмма точечного отображения

Если построенные на диаграмме кривые не пересекаются, то предельного цикла не существует и в системе невозможны автоколебания. Взаиморасположение и вид этих кривых определяют также характер протекания переходных процессов при свободных колебаниях системы. Однако не всегда представляется возможным достаточно просто математически выразить функцию точечного отображения полупрямой в самое себя. Иногда оказывается проще исследовать две кривые, одна из которых представляет функцию точечного отображения положительной полуоси в какую-либо полупрямую, а другая — функцию точечного отображения отрицательной полуоси в ту же полупрямую. Тогда взаиморасположение этих кривых также дает ответ о структуре разбиения фазового пространства на траектории. В частности, число точек пересечения и взаиморасположение этих кривых дают ответ о числе и устойчивости возможных периодических колебаний системы.

Анализ взаиморасположения кривых диаграммы точечного отображения обычно проводится путем варьирования параметров системы с тем, чтобы выяснить области значений параметров, соответствующие качественно различным видам ее движения. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, отметим лишь некоторые особенности взаиморасположения кривых в простейших случаях.

Так, если кривые пересекаются, то в системе могут существовать периодические движения лишь в том случае, если из диаграммы следует, что они устойчивы (рис. VI.2). Если же кривые

касаются друг друга (рис. VI.3) или пересекаются на границе зоны покоя (рис. VI.4), то такое взаиморасположение их соответствует бифуркационному значению параметров. В приведенных примерах такому значению параметров отвечают полуустойчивые состояния систем (рис. VI.4) и вырожденный полуустойчивый цикл (рис. VI. 5).

Рис. VI.3. Диаграмма точечного отображения при бифуркационном значении параметров системы (случай касания кривых)

Рис. VI.4. Диаграмма точечного отображения при бифуркационном значении параметров системы

Полуустойчивые состояния при малейшем изменении значений параметров в ту или другую сторону могут перейти в устойчивые периодические колебания (устойчивые предельные циклы) или в затухающие колебания (устойчивое положение равновесия). Соотношение параметров, при котором система находится на границе устойчивости, обычно называется критическим. Поэтому бифуркационные значения параметров для приведенных выше примеров соответствуют критическому соотношению их и определяют в пространстве параметров границу, разделяющую его на области устойчивости и автоколебаний.

Рис. VI.5. Фазовая плоскость и полуустойчивый предельный цикл — зона покоя

Знание расположения границы в пространстве параметров позволяет сделать практические выводы относительно выбора параметров данной системы, с тем чтобы либо получить устойчивую систему, либо, наоборот, вызвать ее автоколебания с определенной амплитудой и частотой для улучшения динамических свойств.

Взаиморасположение кривых диаграммы точечного отображения позволяет полностью вскрыть поведение динамической системы

при различных начальных возмущениях; варьирование же параметров системы дает возможность получить такое расположение кривых, при котором переходные процессы системы приближаются к оптимальному виду.

Более подробные разъяснения по данному методу будут сделаны ниже (см. также работы [5], [9], [11], [13]) при рассмотрении примеров исследования нелинейных сервомеханизмов, здесь же укажем еще на два важных обстоятельства, учет которых значительно облегчает исследование нелинейных систем автоматического регулирования с помощью рассматриваемого метода.

Как уже отмечалось, фазовая плоскость (или фазовое пространство) разбивается на участки, в пределах которых движение системы описывается линейными дифференциальными уравнениями.

Линии, ограничивающие действие той или иной системы уравнений, часто называют линиями переключений.

Рис. VI.6. Трехлистная фазовая плоскость и нелинейная неоднозначная характеристика сервомеханизма

Если нелинейная характеристика системы неоднозначна, то в соответствии с уравнениями, описывающими эту функцию, фазовая плоскость представляет собой многолистную фазовую поверхность (в данном случае трехлистную). Границы каждого листа (рис. VI.6) будут служить линиями переключений действия той или иной системы линейных уравнений. Изображающая точка, двигаясь по одному из листов фазовой поверхности, дойдя до границы, переходит на другой лист. В этот момент происходит смена уравнений движения, и на другом листе изображающая точка двигается в соответствии с новой системой линейных дифференциальных уравнений.

На каждом листе такая нелинейная характеристика будет однозначной функцией своего аргумента. Представление фазовой поверхности в виде наложенных друг на друга листов значительна облегчает выяснение возможных типов траекторий изображающей точки и в то же время не позволяет упустить какой-либо вид движения системы, вызванного наличием неоднозначной нелинейной характеристики.

Другое важное обстоятельство связано с отысканием критического соотношения параметров системы, разбивающего пространство параметров на области устойчивости и автоколебаний. Определить критическое соотношение параметров для нелинейных систем

не всегда легко. Если такое соотношение параметров и можно в отдельных случаях найти общими приемами, то получение простого выражения, удобного для инженерных расчетов, обычно весьма затруднительно. В то же время именно получение критического соотношения параметров в удобной форме является одним из основных инженерных результатов исследования системы.

Выше уже упоминалось, что при бифуркационном значении параметров имеют место полуустойчивые состояния системы и, если уметь просто на основе протекания фазовых траекторий выявить эти состояния, то определить критическое соотношение параметров не представляет труда. Это полуустойчивое состояние в некоторых случаях исследования нелинейных систем оказывается весьма просто выявить. Так, например, в целом ряде нелинейных задач, относящихся к релейным системам при критическом соотношении параметров, имеет место полуустойчивый («вырожденный») предельный цикл. Характерным для такого цикла является то, что траектории фазовой плоскости наматываются на него только снаружи, а внутри траектории сматываются, т. е. изображающая точка движется к отрезку покоя. Малейшее изменение соотношения параметров вызывает образование устойчивого предельного цикла или, наоборот, его исчезновение.

Вырожденный полуустойчивый цикл (см. рис. VI.5) в указанных выше случаях проходит по краям зоны нечувствительности, а поэтому его координаты легко могут быть выражены с помощью уравнений движения через параметры сервомеханизма.

Но если координаты вырожденного полуустойчивого цикла известны, то условие его существования, т. е. условие существования неподвижной точки вырожденного полуустойчивого цикла, непосредственно определит критическое соотношение параметров. Этот прием отыскания критических соотношений параметров получил название «метода вырожденных циклов». Использование данного метода возможно лишь в том случае, если выполняются некоторые условия, которые сформулированы для одно- и двухкаскадных нелинейных сервомеханизмов в виде следующих теорем.

Теорема 1. В фазовом пространстве динамических систем, относящихся к классу одно- и двухкаскадных нелинейных сервомеханизмов (см. старшие уравнения движения), может одновременно существовать устойчивое положение равновесия (отрезок, точка) и единственный при этом устойчивый предельный цикл.

За старшие уравнения движения сервомеханизмов приняты следующие:

где относительное изменение выходных координат первого и второго каскадов усиления;

— релейные функции, включающие зоны нечувствительности и неоднозначности,

— безразмерные положительные постоянные коэффициенты, характеризующие эффективность связей;

— положительные коэффициенты, имеющие размерность времени и характеризующие инерционность, демпфирующие свойства каскадов усиления, эффективность сигналов по производным;

— относительная величина управляющего сигнала.

В работах [12], [13] дается доказательство этой теоремы в общем виде для двух групп рассматриваемого класса сервомеханизмов.

Теорема 2. В фазовом пространстве динамической системы, относящейся к классу одно- и двухкаскадных нелинейных сервомеханизмов (см. старшие уравнения движения) и имеющих устойчивое положение равновесия слияния устойчивых и неустойчивых предельных циклов, может происходить на границе областей притяжения, образованных зонами нечувствительности релейных характеристик. Эта теорема доказывается для системы, диаграмма точечных преобразований которых указывает на существование двух циклов (неустойчивого и устойчивого). В частности, если в указанных уравнениях движения одну из релейных функций заменить линейной и исключить некоторые связи, то получим уравнение вида

которое приведет к фазовому портрету, отвечающему теореме Ниже будет показано применение метода вырожденных циклов к нахождению критических соотношений параметров и условий устойчивости «в большом» для сервомеханизмов, уравнения движений которых отвечают теоремам 1 и 2.

Зная критическое соотношение параметров, значительно проще, как это будет видно из дальнейшего, выяснить устойчивость положения равновесия и предельных циклов.

В заключение сделаем еще несколько замечаний по поводу анализа движения системы автоматического регулирования с помощью фазовых пространств и рассматриваемого метода.

Представление движений в виде траекторий изображающей точки в фазовом пространстве имеет большой инженерный смысл, так как позволяет интерпретировать все рассуждения и выкладки в виде наглядных и ясных геометрических образов и непосредственно наблюдать за возможными движениями исследуемых систем.

Следует отметить, что для порядка уравнения системы выше третьего при решении задач могут возникнуть значительные математические трудности. В отдельных случаях представляется возможным аппроксимировать высокий порядок уравнения движения системы более низким, но с запаздыванием, рассматривая релейную функцию как запаздывающую. Тогда решение задач значительно упрощается и может быть выполнено в соответствии с изложенной постановкой [10], [13].

Рассмотренный метод исследования позволяет судить об устойчивости систем автоматического регулирования не при малых колебаниях систем относительно стационарных состояний, а при больших. Это означает, что начальные возмущения могут быть сколь угодно велики и ограничиваются лишь техническими показателями исследуемых систем. Этот метод является точным, т. е. ответы, получаемые с его помощью, являются не приближенными, а обладают той степенью точности, с какой исследуемая система автоматического регулирования представлена нелинейными дифференциальными уравнениями и характеристиками.

В заключение подчеркнем еще раз, что рассмотренный метод, использующий теорию точечного преобразования поверхностей, дает не только качественный, но и во многих случаях полный количественный ответ на вопрос о возможных структурах разбиения фазового пространства на траектории при тех или иных значениях параметров и о характеристике возможных автоколебаний исследуемых систем автоматического регулирования.