7. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ СОСТОЯНИИ

В рассмотренных выше задачах система оптимизируется по показателю точности лишь в установившемся режиме. Однако предположение о нестационарности оптимальной системы дает возможность искать такую систему, которая имеет наилучшую точность и в переходном режиме. Для получения такой системы нужно использовать критерии оптимальности, требующие экстремум показателя точности в каждый момент времени

Наиболее общим нестационарным критерием оптимальности является условие минимума суммы квадратов динамической ошибки в преобразовании неслучайной составляющей полезного сигнала и взятой с весом среднеквадратической случайной ошибки обусловленной помехой и неточным преобразованием случайной составляющей полезного сигнала т. е.

Найдем импульсную переходную функцию оптимальной системы, полагая, что идеальным преобразованием системы является воспроизведение полезного сигнала а корреляционные функции случайной составляющей полезного сигнала и помехи известны.

В этом случае динамическая и случайная ошибки определяются соответственно выражениями

Минимизируемый функционал (11.88) принимает вид

откуда, как обычно, можно найти, что необходимое и достаточное условие минимума сводится к тому, чтобы удовлетворяла интегральному уравнению

где принято, что

Рассмотрим решение этого уравнения для случая, когда случайные составляющие входного сигнала стационарны и их спектральные плотности являются дробно-рациональными функциями частоты, т. е.

Известно [5], что корреляционная функция соответствующая спектральной плотности определяемой выражением (11.93), находится по формуле

где операторы

могут быть легко определены по известной функции

Подставляя выражение (11.94) в интегральное уравнение (11.92), найдем

откуда, вводя обозначение

получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

порядок которого равен где — параметр. Решая это уравнение при начальных условиях

определим функцию

Зная функцию из выражения (11.96) получим

Применяя к обеим частям последнего выражения оператор найдем

Это выражение является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Для его решения учтем выражение (11.89), тогда получим

Используя выражение (11.99) для подстановки в (II.89), найдем

Подставляя формулу (11.100) в (11.99), окончательно определим выражение для оптимальной импульсной переходной функции

В частном случае, когда помеха является белым шумом с уровнем спектральной плотности а случайная составляющая полезного сигнала имеем Поэтому из уравнения (11.97) получим

а из выражения (11.101) найдем

Связь между динамической ошибкой и весовой функцией определяемая формулой (11.100), показывает, что при заданной составляющей входного сигнала выбором можно обеспечить желаемый закон изменения динамической ошибки. Действительно, из выражения (11.100)

Задаваясь найдем желаемый закон изменения

Подставив формулу (II.103) в (II.101), выразим оптимальную импульсную переходную функцию через желаемый закон изменения динамической ошибки:

Таким образом, рассматриваемый критерий оптимальности можно сформулировать и так: обеспечить минимум среднеквадратической случайной ошибки преобразования случайной составляющей полезного сигнала в присутствии помехи при заданном законе изменения динамической ошибки в преобразовании детерминированной составляющей полезного сигнала.

Отметим, что вследствие того, что критерий (11.88) нестационарный, оптимальная система имеет переменные параметры, хотя входные сигналы считались стационарными.

Решение рассматриваемой задачи при нестационарных входных сигналах покажем для случая, когда идеальное преобразование системы задается идеальным выходным сигналом При решении используем структурные методы.

Будем рассматривать помеху как выходной сигнал формирующего фильтра, на вход которого подается стационарный белый шум с уровнем спектральной плотности Пусть дифференциальное уравнение формирующего фильтра имеет вид

Используя формирующий фильтр, расчетную схему для определения оптимальной системы можно представить в виде, изображенном на рис. II.6, а.

Рис. 11.6. Расчетная схема для определения оптимальной системы

Обозначая полезный сигнал пересчитанный на вход формирующего фильтра, через эту схему можно привести к виду, показанному на рис. II.6, б. Сигнал является решением дифференциального уравнения

Таким образом, получена система, эквивалентная искомой по выходному сигналу, входной сигнал которой состоит из полезного сигнала и помехи в виде стационарного белого шума. Интегральное уравнение, определяющее оптимальную импульсную переходную функцию этой эквивалентной системы, имеет вид

Получено неоднородное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Оно легко решается так же, как уравнение (11.98), и его решение [7] аналогично выражению (11.102):

Система, имеющая импульсную переходную функцию описывается дифференциальным уравнением первого порядка и может быть представлена, в частности, разомкнутой цепью, как показано на рис. II.7, где переменные коэффициенты

Рис. II.7. Структурная схема системы с импульсной переходной функцией

Присоединяя на вход этой цепи звено, обратное формирующему фильтру, получим модель искомой оптимальной системы, описываемой импульсной переходной функцией (рис. II.8).

Рис. II.8. Структурная схема оптимальной системы

Структурными преобразованиями последнюю схему можно привести к желаемому виду.

Динамическую и среднеквадратическую ошибки оптимальной системы определим по формулам

В случае необходимости импульсную переходную функцию оптимальной системы можно найти по формуле

где — импульсная переходная функция обратного формирующего фильтра помехи

Пример. Пусть помеха есть нестационарный белый шум:

Идеальным преобразованием является дифференцирование полезного сигнала . В данном случае формирующий фильтр имеет уравнение . В соответствии с уравнением (11.105)

Импульсную переходную функцию определим с помощью формулы (11.107):

Поскольку то по формулам (11.110) и найдем

Исследуем точность оптимальных систем. Из формул (11.107) — (11.109) найдем, что динамическая и среднеквадратическая ошибки определяются выражениями

Из последних выражений следует, что динамическая и среднеквадратическая ошибки с течением времени стремятся к нулю для широкого класса идеальных выходных сигналов Очевидно, с течением времени стремится к нулю и показатель точности

В качестве частного случая нестационарного критерия (11.88) можно рассматривать условие минимума среднеквадратической ошибки

Полезный сигнал может представлять собой либо выходной сигнал формирующего фильтра, на вход которого подается белый шум, либо представляться в форме (11.77). Интегральное уравнение, определяющее оптимальную импульсную переходную функцию, может быть получено из уравнения (11.92), если положить т. е.

и

Формально уравнение (11.115) совпадает с уравнением (11.71), если считать, что в последнем идеальное преобразование — воспроизведение полезного сигнала, и заменить Т на

Решение уравнения (11.115) имеет вид, аналогичный (11.76):

В качестве примера решения данной задачи рассмотрим случай, когда входной сигнал состоит из полезного сигнала в виде полинома степени т. е.

и помехи являющейся белым шумом с корреляционной функцией

В этом случае интегральное уравнение, являющееся условием оптимальности фильтра в смысле минимума среднего квадрата ошибки в каждый момент времени при неизвестных коэффициентах имеет вид

где неопределенные коэффициенты Лагранжа удовлетворяют системе моментных условий (11.87), которые в этом случае могут быть представлены в виде

В случае фильтрации имеем

Учитывая выражение (11.118), запишем решение уравнения (11.119) в виде

Среднеквадратическая ошибка

Подставляя уравнение (11.123) в моментные уравнения (11.122) и полагая получим систему алгебраических уравнений относительно

откуда где

следовательно,

и

Отметим, что в случае оптимальных систем с постоянными параметрами и «конечной памятью», равной Г, среднеквадратическая ошибка [5] равна

т. е. оптимальный фильтр с переменными параметрами обеспечивает при всех

Кроме того, для выражения (11.127) динамическая ошибка равна нулю только при тогда как в случае оптимального фильтра (11.126) она равна нулю при всех Необходимо отметить, что стремление увеличить Т в выражении (11.127), т. е. уменьшить приводит к увеличению времени переходного процесса, в то время как переменные оптимальные фильтры лишены этого противоречия.

С помощью выражений (11.125) и (11.126) можно сделать следующее заключение по рассматриваемому примеру:

1. Оптимальная система имеет затухающую реакцию на т. е. является устойчивой в каждый момент времени .

2. Оптимальная система обеспечивает уменьшение дисперсии сигнала на выходе с течением времени. При этом асимптотически стремится к нулю при а динамическая ошибка остается равной нулю во все моменты времени.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)