2. ПОНЯТИЕ О МНОГОЛИСТНЫХ ФАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

До сих пор мы рассматривали системы, описываемые одним дифференциальным уравнением (или системой дифференциальных уравнений), в котором правая часть является однозначной функцией своих аргументов. Так, например, уравнение линейной системы регулирования с объектом регулирования первого порядка и астатическим серводвигателем имеет вид

и может быть записано в виде

или

где

Очевидно, каждой паре значений отклонения х и скорости соответствует одно значение функции

Рассмотрим нелинейное уравнение (V.12). Тогда уравнение системы регулирования с объектом первого порядка и серводвигателем постоянной скорости может быть записано, как мы видели, в виде

В этом уравнении правая часть не может быть выражена одним уравнением и требует для всего аналитического представления нескольких различных выражений. Однако, несмотря на это, так же как и в предыдущем случае, каждой совокупности значений отклонения х и скорости у соответствует только одно значение правой части. Поэтому, задав значения можно полностью определить состояние системы и характер дальнейшего переходного процесса в ней.

Мы видели, что для исследования динамических систем весьма удобным средством является построение фазового пространства и в частном случае систем второго порядка — построение фазовой плоскости. В рассмотренных выше системах, как уже указывалось, каждой паре значений соответствует только одно значение правой части дифференциального уравнения, т. е. системы с

однозначной правой частью могут быть отображены на фазовую плоскость, причем каждой точке фазовой плоскости соответствует только одно состояние системы. Аналогичным образом система регулирования, описываемая уравнением порядка с однозначной правой частью, взаимно однозначно отображается в n-мерном фазовом пространстве.

Однако широкое распространение нашли и такие динамические системы, которые нельзя описать одним дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с однозначной правой частью [3], [4]. К классу подобных систем относятся системы автоматического регулирования с устройствами, имеющими гистерезисные характеристики, мертвые хода, люфты и т. Системы подобного типа анализируются с помощью многолистных фазовых поверхностей.