18. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Рассмотрим задачу определения ошибок, переходных процессов и выбора параметров системы управления самонаводящейся ракеты [9], [12].

Расчетная схема системы управления приведена на рис. IV.19, а. Она составлена для режима движения ракеты и цели на встречных курсах. В этом случае линеаризованное уравнение относительного движения ракеты и цели имеет вид

где - скорость ракеты;

— скорость цели;

— приращение угла траектории ракеты;

— приращение угла траектории цели;

— приращение угла визирования цели; — расстояние между ракетой и целью на опорной траектории, причем

Кинематическое звено 1 (см. рис. IV.19, а) соответствует инерционной части линеаризованного уравнения которая имеет импульсную переходную функцию

Структурная схема кинематического звена 2 составлена по правой части уравнения (IV.176) с использованием связи между нормальными ускорениями ракеты и скоростью изменения угла ее траектории

Динамический элемент 5 соответствует координатору цели, который измеряет скорость вращения линии визирования Принято, что координатор цели описывается передаточной функцией

определенной через преобразование Лапласа.

Рис. IV.19. Расчетные схемы системы управления самонаводящейся ракеты: а — исходная схема; б — преобразованная схема

Динамический элемент 4 с оответствует блоку выработки команд, реализующему метод наведения. В расчетной схеме принят метод пропорционального сближения, при котором требуемые нормальные ускорения ракеты вычисляются по формуле [9]: , где — константа.

Динамический элемент 3 соответствует системе стабилизации ракеты.

Выходным сигналом системы считается линейное смещение ракеты относительно опорной невращающейся линии визирования: . За величину промаха (ошибки) принимается значение в момент выключения координатора

Из внешних воздействий системы учтены маневр цели, описываемый функцией , начальная ошибка прицеливания и помеха .

С помощью структурного преобразования, заключающегося в переносе воздействия к точке приложения воздействия , расчетная схема представлена в форме, показанной на рис. IV. 19, б. На этой схеме есть внешнее воздействие, эквивалентное маневру цели и начальной ошибке прицеливания.

Примем следующие параметры движения ракеты и цели: и начальное расстояние между ракетой и целью Очевидно, что

а время управляемого движения ракеты сек.

Пусть где Будем полагать, что скорость изменения угла траектории цели и начальная ошибка прицеливания являются случайными некоррелированными между собой величинами с равными нулю средними значениями и заданными среднеквадратическими отклонениями

Найдем корреляционную функцию воздействия Для этого образуем произведение

усредним обе части получившегося выражения по совокупности реализаций; тогда получим

Учитывая числовые значения, окончательно найдем

Помеху будем считать стационарным белым шумом с уровнем спектральной плотности

Допустим, что постоянная времени координатора цели сек, а динамические характеристики системы стабилизации, которая является нестационарной, заданы экспериментальной матрицей ее Двумерной передаточной функции, определенной относительно системы функций где Р — ортонормированные полиномы Лежандра:

Отметим, что динамические элементы системы 1, 2, 3 и 4 являются существенно не стационарными.

Далее необходимо найти:

1) среднеквадратическое значение промаха ракеты при константе

2) оптимальное значение константы из условия

3) переходные процессы системы управления по среднеквадратическому значению линейного смещения ракеты относительно опорной траектории вызванного маневром цели и начальной ошибкой прицеливания, при различных

Рассмотрим решение первой задачи. При этом все характеристики определим относительно полиномов Лежандра

Алгоритм решения следующий:

1. Находится спектральная плотность сигнала по формуле (IV. 111), которая в данном случае принимает

2. Определяются матрицы двумерных передаточных функций элементов системы 1, 2, 4, 5, которые должны быть определены на квадрате

3. Вычисляются матрицы двумерных передаточных функций системы для сигнала и для помехи ). При этом выходным сигналом системы считается приращение угла визирования Формулы для определения передаточных функций составим на основе выражений (IV.74) и (IV.72):

— матрица двумерной передаточной функции системы, разомкнутой в точке (см. рис. IV. 19. б).

4. Определяются сопряженные передаточные функции системы при для сигнала — ) и помехи — ) по формуле, вытекающей из равенства (IV.47):

5. Находятся дисперсии переменной в момент выключения координатора, обусловленные сигналом и помехой . В соответствии с формулами (IV.135) и (IV. 139)

6. Вычисляются среднеквадратические значения промахов, вызванных, с одной стороны, маневром цели и начальной ошибкой прицеливания а с другой — помехой

Искомое среднеквадратическое значение промаха определяется по формуле Вычисления удобно вести, используя цифровую вычислительную машину, имеющую автоматическое программирование, стандартные подпрограммы для интегрирования функций, перемножения и обращения матриц, вычисления их определителей. Ниже поясняется ход вычислений и приводятся промежуточные результаты.

Производя вычисления по формуле (IV. 184) для каждого и находим

Двумерную передаточную функцию кинематического звена 1 найдем по его импульсной переходной функции (IV.176). Для этого вначале вычислим сопряженную передаточную функцию этого звена на основе формулы (IV.35):

или, учитывая формулы (IV.7) и (IV.181),

Используя формулы (IV.46), запишем выражение искомой двумерной передаточной функции

Раскрывая формулу (IV. 192) для и определяя по таблице на стр. 142 (где полагаем выполним на интегрирование по формуле (IV.193) для каждого По результатам вычислений составим матрицу размером

Как следует из схемы кинематического звена 2 (рис. IV. 19, а), его импульсная переходная функция имеет вид

Двумерную передаточную фрнкцию этого звена найдем по формуле (IV.36), которую в данном случае можно записать в виде

Вычисляя ее на ЦВМ, составим матрицу:

Двумерную передаточную функцию блока выработки команд найдем по его импульсной переходной функции

На основе формулы (IV.36)

где — символ Кронекера.

По полученной формуле составим матрицу

Определяя обратное преобразование Лапласа от найдем импульсную переходную функцию координатора

Учитывая, что в последней формуле найдем двумерную передаточную функцию и составим матрицу:

Размеры матриц двумерных передаточных функций всех динамических элементов системы одинаковы и определяются наиболее инерционными элементами: кинематическими звеньями 1 к 2.

В соответствии с формулой (IV.187) перемножим полученные матрицы, тогда найдем

где

Для определим матрицу . Можно проверить, что ее определитель равен 2,1201. Поэтому матрица неособенная. Обращая ее на ЦВМ, получим

Далее по формулам (IV. 185), (IV. 186) путем перемножения соответствующих матриц найдем

В соответствии с формулой (IV.188) вычисление ординаты сопряженной передаточной функции с номером сводится к суммированию элементов соответствующего столбца матрицы двумерной передаточной функции с весами Ординаты сопряженной передаточной функции находятся достаточно точно, если элементы столбцов матрицы двумерной передаточной функции хорошо затухают с ростом при этом найдем

У сопряженной передаточной функции сигнала достаточно определить лишь две первые ординаты:

Проводя вычисления но формулам (1V.189) и (1V.190), определим

Далее по формулам (IV. 191) вычислим:

Искомое среднеквадратическое значение промаха при

Теперь рассмотрим вторую задачу: т. е. выбор параметров системы при заданной ее структуре. Решение получим, построив график

Для этого нужно произвести приведенный выше расчет при различных Вычисления начинаются с определения передаточной функции по формуле (IV. 194) для выбранного Затем находятся передаточные функции замкнутой системы и т. д.

Рис. IV.20. Среднеквадратические значения промахов в функции константы

На рис. IV.20 кривой 1 показана зависимость среднеквадратического значения промаха обусловленного маневром цели и начальной ошибкой прицеливания, в функции константы а кривой 2 — зависимость среднеквадратического значения промаха обусловленного помехой, в функции константы Вследствие того, что расчет велся лишь с матрицами размером а при больших ординаты с ростом затухают медленнее, чем при малых значения промаха, полученные при несколько занижены. Искомая зависимость показана кривой 3. Заметим, что оптимальное дающее минимум среднеквадратическому значению промаха, равно примерно 4.

В заключение рассмотрим решение третьей задачи. По найденным при решении второй задачи двумерным передаточным функциям для различных вычисляются сопряженные передаточные функции по формуле (IV.47), которая в данном случае принимает вид

Достаточно найти лишь первые две ординаты . Далее по формуле (IV.135) найдем закон изменения во времени дисперсии переменной

После этого по формуле

вычислим искомые переходные процессы системы при различных

Рис. IV. 21. Переходные процессы в системе управления

Кривые переходных процессов приведены на рис. IV.21. Точность всех вычислений контролируется по поведению элементов матриц при изменении и может проверяться повторением расчета с измененным порядком матриц.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)