14. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. МЕТОД «ЗАМОРОЖЕННОЙ» ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Воспользовавшись интегральным уравнением (1.96), найдем связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой нестационарной системы автоматического регулирования.

Применим к интегральному уравнению (1.96) преобразование Лапласа по т. В результате получим

Согласно определению (1.136) выражение

представляет собой параметрическую передаточную функцию замкнутой системы, а выражение

параметрическую передаточную функцию разомкнутой системы.

Второму члену в правой части равенства (I. 152) в случае стационарных систем соответствует выражение

которое позволяет по преобразованиям Лапласа функций найти преобразование Лапласа для правой части равенства (1.158) в виде простого произведения

Для нестационарных систем этот вопрос так просто не решается, т. е. второй член в правой части равенства (1.152) в общем случае нельзя выразить в замкнутой форме через функции

Для того чтобы преобразовать по Лапласу выражение

которое структурно изображается в виде последовательного соединения динамических элементов можно воспользоваться правилами операторной алгебры. Для этого нужно, зная дифференциальные уравнения, соответствующие функциям выполнить операцию умножения этих дифференциальных уравнений.

Затем по получившемуся дифференциальному уравнению для функции составить дифференциальное уравнение для параметрической передаточной функции последовательного соединения динамических элементов и , наконец, решить это уравнение относительно

Однако формально выражение (1.152) можно представить в виде, аналогичном соответствующему выражению для стационарных систем, если условно второй член в правой части равенства (1.152) обозначить следующим образом:

где значком обозначена последовательность операций, которая необходима для того, чтобы, зная функции найти преобразование Лапласа для интеграла (1.157).

Итак, учитывая выражения (1.156), (1.154), (1.157), уравнение (1.152) перепишем в следующем виде:

или

Формула (1.161) устанавливает связь между передаточными функциями соответственно замкнутой и разомкнутой нестационарной системы. Ее можно рассматривать как обобщение соответствующей формулы

для стационарных систем.

Сравнение формул (1.159) и (1.159 а) показывает что простая связь, существующая между передаточными функциями стационарной системы в замкнутом и разомкнутом состоянии, в случае нестационарной системы не имеет места. Поэтому обычные методы анализа и синтеза стационарных систем, к сожалению, в общем случае оказываются не применимыми.

Однако, если параметры нестационарной системы изменяются достаточно медленно и для приближенного описания системы

можно воспользоваться понятием «замороженной» передаточной функции, то положение значительно упрощается.

Действительно, предположим, что нестационарная система автоматического регулирования описывается уравнениями

где — коэффициенты управления разомкнутой системы — коэффициенты управления замкнутой системы).

Полагая и имея в виду, что при этом уравнение (1.160) можно переписать в следующем виде:

Применяя к обеим частям равенства (1.161) преобразование Лапласа по так же, как и ранее, получим

где

Если теперь предположить, что в левой части уравнения (1.162) можно пренебречь членами, содержащими производные ), то можно записать

Заметим, что выражение (1.164) представляет собой первое приближение для передаточной функции которое уже рассматривалось нами в связи с формулой (1.141). Выражение (1.164) для обычно называется «замороженной» передаточной функцией и обозначается далее через

Из сказанного выше очевидно, что «замороженная» передаточная функция может рассматриваться как первое приближение к действительной передаточной функции системы, характеризующей ее в интересующий нас промежуток времени, если коэффициенты исходного дифференциального уравнения (1.138) системы изменяются достаточно медленно, т. е. другими словами, не

изменяются существенно в пределах ширины ее импульсной переходной функции.

Выражение (1.164) означает, что передаточная функция системы с очень медленно изменяющимися параметрами составляется по тому же правилу, что и передаточная функция системы с постоянными параметрами, т. е. так, как если бы коэффициенты были постоянными.

При достаточно больших со передаточная функция системы с переменными параметрами асимптотически стремится к «замороженной» передаточной функции вне зависимости от скорости изменения ее параметров. Действительно, при достаточно больших значениях со коэффициенты уравнения (1.164) не успевают существенно измениться, если даже взять промежуток времени, содержащий значительное число периодов приложенного гармонического воздействия. При этих условиях система ведет себя так, как если бы ее параметры не изменялись. Заметим, что, согласно уравнению (1.138), передаточная функция может рассматриваться как изменение величины на выходе некоторой фиктивной системы, имеющей дифференциальное уравнение вида (1.138), если на ее вход подано воздействие в виде «замороженной» передаточной функции.

Перепишем выражение (1.164) для в следующем виде:

или

где

Эти формулы позволяют сделать вывод, что если параметры нестационарной системы автоматического регулирования изменяются достаточно медленно и к ней применимо понятие «замороженной» передаточной функции, то в общем случае по аналогии с соответствующей формулой для стационарной системы (см. , гл. VIII) можно написать следующее выражение для преобразования Лапласа величины на ее выходе:

Следовательно, для такого рода квазистационарных систем легко обобщить обычные методы анализа и синтеза стационарных систем, в частности частотный критерий устойчивости, метод логарифмических частотных характеристик, номограммы замыкания, метод построения переходных процессов при помощи трапецеидальных частотных характеристик и -функций и т. д. [5].

Нужно подчеркнуть, что понятием «замороженной» передаточной функции, особенно при анализе устойчивости, следует пользоваться с большой осторожностью.

Рис. 1.26. Структурная схема стабилизации продольного движения ракеты передаточный коэффициент потенциометра гироскопа; — передаточная функция корректирующего фильтра; — передаточный коэффициент усилителя; - передаточный коэффициент рулевой машины; передаточный коэффициент снаряда; — возмущения

Возможны случаи, когда анализ систем с медленно изменяющимися параметрами, основанный на понятии «замороженной» передаточной функции, может привести к неверным выводам об их устойчивости.

Рис. 1.27. Кривые изменения во времени параметров ракеты V-2

Причины этого достаточно очевидны из предыдущего изложения. Как это было показано, «замороженная» передаточная функция представляет собой лишь первый член бесконечного ряда (1.141), который

(кликните для просмотра скана)

можно рассматривать как точное выражение для передаточной функции нестационарной системы.

Для иллюстрации применения метода «замороженной» функции к анализу систем регулирования рассмотрим [4] структурную схему системы (рис. 1.26) стабилизации продольного движения ракеты V-2.

Динамические свойства ракеты во время движения изменяются.

Рис. 1.29. Логарифмические частотные характеристики корректирующего фильтра: 1 — приближенная амплитудная; 2 — точная амплитудная; 3— фазовая

На рис. 1.27, а, б изображены кривые изменения во времени передаточного коэффициента коэффициента затухания и постоянных времени ракеты, характеризуемой передаточной функцией вида

На рис. 1.28, а, б приведены параметрические логарифмические частотные характеристики ракеты с рулевым приводом для различных секунд полета после старта.

Поставим задачу выбора корректирующего устройства, позволяющего обеспечить требуемый запас устойчивости.

Обычный анализ частотных характеристик, приведенных на рис. 1.28, показывает, что для обеспечения требуемых запасов

(кликните для просмотра скана)

устойчивости системы на всем активном участке траектории необходим корректирующий фильтр, имеющий передаточную функцию вида

Примем параметры корректирующего устройства следующими:

и построим логарифмические амплитудные (точную и приближенную) и фазовую частотные характеристики по формуле

Соответствующее построение выполнено на рис. 1.29.

На рис. 1.30 приведены семейства логарифмических частотных характеристик разомкнутого контура стабилизации с рассмотренным корректирующим фильтром.

Рис. 1.31. Параметрические вещественные частотные характеристики

Рис. 1.32. Переходные процессы по углу тангажа ракеты

Из рис. 1.30 видно, что условия устойчивости выполняются для всех моментов времени, а частоты среза занимают сравнительно узкий интервал.

Располагая частотными характеристиками разомкнутой системы, можно найти вещественные частотные характеристики замкнутой системы при помощи номограммы (см. кн. 1, рис. VIII. 16). Построенные таким образом параметрические вещественные частотные характеристики для 5-й (см. кривую 1) и 35-й (см. кривую 2) секунд приведены на рис. 1.31. С помощью этих графиков, используя метод трапецеидальных характеристик, можно построить соответствующие им переходные процессы (см. кривые 1 и 2 на рис. 1.32).