Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

14. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. МЕТОД «ЗАМОРОЖЕННОЙ» ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Воспользовавшись интегральным уравнением (1.96), найдем связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой нестационарной системы автоматического регулирования.

Применим к интегральному уравнению (1.96) преобразование Лапласа по т. В результате получим

Согласно определению (1.136) выражение

представляет собой параметрическую передаточную функцию замкнутой системы, а выражение

параметрическую передаточную функцию разомкнутой системы.

Второму члену в правой части равенства (I. 152) в случае стационарных систем соответствует выражение

которое позволяет по преобразованиям Лапласа функций найти преобразование Лапласа для правой части равенства (1.158) в виде простого произведения

Для нестационарных систем этот вопрос так просто не решается, т. е. второй член в правой части равенства (1.152) в общем случае нельзя выразить в замкнутой форме через функции

Для того чтобы преобразовать по Лапласу выражение

которое структурно изображается в виде последовательного соединения динамических элементов можно воспользоваться правилами операторной алгебры. Для этого нужно, зная дифференциальные уравнения, соответствующие функциям выполнить операцию умножения этих дифференциальных уравнений.

Затем по получившемуся дифференциальному уравнению для функции составить дифференциальное уравнение для параметрической передаточной функции последовательного соединения динамических элементов и , наконец, решить это уравнение относительно

Однако формально выражение (1.152) можно представить в виде, аналогичном соответствующему выражению для стационарных систем, если условно второй член в правой части равенства (1.152) обозначить следующим образом:

где значком обозначена последовательность операций, которая необходима для того, чтобы, зная функции найти преобразование Лапласа для интеграла (1.157).

Итак, учитывая выражения (1.156), (1.154), (1.157), уравнение (1.152) перепишем в следующем виде:

или

Формула (1.161) устанавливает связь между передаточными функциями соответственно замкнутой и разомкнутой нестационарной системы. Ее можно рассматривать как обобщение соответствующей формулы

для стационарных систем.

Сравнение формул (1.159) и (1.159 а) показывает что простая связь, существующая между передаточными функциями стационарной системы в замкнутом и разомкнутом состоянии, в случае нестационарной системы не имеет места. Поэтому обычные методы анализа и синтеза стационарных систем, к сожалению, в общем случае оказываются не применимыми.

Однако, если параметры нестационарной системы изменяются достаточно медленно и для приближенного описания системы

можно воспользоваться понятием «замороженной» передаточной функции, то положение значительно упрощается.

Действительно, предположим, что нестационарная система автоматического регулирования описывается уравнениями

где — коэффициенты управления разомкнутой системы — коэффициенты управления замкнутой системы).

Полагая и имея в виду, что при этом уравнение (1.160) можно переписать в следующем виде:

Применяя к обеим частям равенства (1.161) преобразование Лапласа по так же, как и ранее, получим

где

Если теперь предположить, что в левой части уравнения (1.162) можно пренебречь членами, содержащими производные ), то можно записать

Заметим, что выражение (1.164) представляет собой первое приближение для передаточной функции которое уже рассматривалось нами в связи с формулой (1.141). Выражение (1.164) для обычно называется «замороженной» передаточной функцией и обозначается далее через

Из сказанного выше очевидно, что «замороженная» передаточная функция может рассматриваться как первое приближение к действительной передаточной функции системы, характеризующей ее в интересующий нас промежуток времени, если коэффициенты исходного дифференциального уравнения (1.138) системы изменяются достаточно медленно, т. е. другими словами, не

изменяются существенно в пределах ширины ее импульсной переходной функции.

Выражение (1.164) означает, что передаточная функция системы с очень медленно изменяющимися параметрами составляется по тому же правилу, что и передаточная функция системы с постоянными параметрами, т. е. так, как если бы коэффициенты были постоянными.

При достаточно больших со передаточная функция системы с переменными параметрами асимптотически стремится к «замороженной» передаточной функции вне зависимости от скорости изменения ее параметров. Действительно, при достаточно больших значениях со коэффициенты уравнения (1.164) не успевают существенно измениться, если даже взять промежуток времени, содержащий значительное число периодов приложенного гармонического воздействия. При этих условиях система ведет себя так, как если бы ее параметры не изменялись. Заметим, что, согласно уравнению (1.138), передаточная функция может рассматриваться как изменение величины на выходе некоторой фиктивной системы, имеющей дифференциальное уравнение вида (1.138), если на ее вход подано воздействие в виде «замороженной» передаточной функции.

Перепишем выражение (1.164) для в следующем виде:

или

где

Эти формулы позволяют сделать вывод, что если параметры нестационарной системы автоматического регулирования изменяются достаточно медленно и к ней применимо понятие «замороженной» передаточной функции, то в общем случае по аналогии с соответствующей формулой для стационарной системы (см. , гл. VIII) можно написать следующее выражение для преобразования Лапласа величины на ее выходе:

Следовательно, для такого рода квазистационарных систем легко обобщить обычные методы анализа и синтеза стационарных систем, в частности частотный критерий устойчивости, метод логарифмических частотных характеристик, номограммы замыкания, метод построения переходных процессов при помощи трапецеидальных частотных характеристик и -функций и т. д. [5].

Нужно подчеркнуть, что понятием «замороженной» передаточной функции, особенно при анализе устойчивости, следует пользоваться с большой осторожностью.

Рис. 1.26. Структурная схема стабилизации продольного движения ракеты передаточный коэффициент потенциометра гироскопа; — передаточная функция корректирующего фильтра; — передаточный коэффициент усилителя; - передаточный коэффициент рулевой машины; передаточный коэффициент снаряда; — возмущения

Возможны случаи, когда анализ систем с медленно изменяющимися параметрами, основанный на понятии «замороженной» передаточной функции, может привести к неверным выводам об их устойчивости.

Рис. 1.27. Кривые изменения во времени параметров ракеты V-2

Причины этого достаточно очевидны из предыдущего изложения. Как это было показано, «замороженная» передаточная функция представляет собой лишь первый член бесконечного ряда (1.141), который

(кликните для просмотра скана)

можно рассматривать как точное выражение для передаточной функции нестационарной системы.

Для иллюстрации применения метода «замороженной» функции к анализу систем регулирования рассмотрим [4] структурную схему системы (рис. 1.26) стабилизации продольного движения ракеты V-2.

Динамические свойства ракеты во время движения изменяются.

Рис. 1.29. Логарифмические частотные характеристики корректирующего фильтра: 1 — приближенная амплитудная; 2 — точная амплитудная; 3— фазовая

На рис. 1.27, а, б изображены кривые изменения во времени передаточного коэффициента коэффициента затухания и постоянных времени ракеты, характеризуемой передаточной функцией вида

На рис. 1.28, а, б приведены параметрические логарифмические частотные характеристики ракеты с рулевым приводом для различных секунд полета после старта.

Поставим задачу выбора корректирующего устройства, позволяющего обеспечить требуемый запас устойчивости.

Обычный анализ частотных характеристик, приведенных на рис. 1.28, показывает, что для обеспечения требуемых запасов

(кликните для просмотра скана)

устойчивости системы на всем активном участке траектории необходим корректирующий фильтр, имеющий передаточную функцию вида

Примем параметры корректирующего устройства следующими:

и построим логарифмические амплитудные (точную и приближенную) и фазовую частотные характеристики по формуле

Соответствующее построение выполнено на рис. 1.29.

На рис. 1.30 приведены семейства логарифмических частотных характеристик разомкнутого контура стабилизации с рассмотренным корректирующим фильтром.

Рис. 1.31. Параметрические вещественные частотные характеристики

Рис. 1.32. Переходные процессы по углу тангажа ракеты

Из рис. 1.30 видно, что условия устойчивости выполняются для всех моментов времени, а частоты среза занимают сравнительно узкий интервал.

Располагая частотными характеристиками разомкнутой системы, можно найти вещественные частотные характеристики замкнутой системы при помощи номограммы (см. кн. 1, рис. VIII. 16). Построенные таким образом параметрические вещественные частотные характеристики для 5-й (см. кривую 1) и 35-й (см. кривую 2) секунд приведены на рис. 1.31. С помощью этих графиков, используя метод трапецеидальных характеристик, можно построить соответствующие им переходные процессы (см. кривые 1 и 2 на рис. 1.32).

1
Оглавление
email@scask.ru