3. ФОРМИРУЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ С КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫРОЖДЕННОГО ТИПА

Метод определения дифференциального уравнения формирующего фильтра, приведенный в предыдущем параграфе, практически применим в большинстве случаев лишь для стационарных случайных сигналов, воздействующих на системы с переменными параметрами. Трудности, связанные с его применением в общем случае нестационарных сигналов, заключаются в том, что он требует как это уже было указано, разложения дифференциального оператора с переменными коэффициентами на произведение сопряженных операторов (т. е. решения задачи, которая обычно называется задачей факторизации) и, кроме того, — решения

вопроса о физической реализуемости нестационарного формирующего фильтра.

Ниже дается решение задачи построения формирующего фильтра для определенного класса нестационарных сигналов [9], описываемых вырожденными корреляционными функциями, т. е. функциями вида

Предварительно сформулируем математическую постановку задачи следующим образом.

На некотором интервале Т задан случайный процесс Требуется:

1) показать, что случайный процесс может быть представлен в виде

где — импульсная переходная функция формирующего фильтра и стационарный белый шум;

2) дать метод нахождения функции или соответствующего ей дифференциального уравнения, обеспечивающий ее физическую реализуемость.

Обозначим через импульсную переходную функцию фильтра обратного фильтру так, что

Тогда легко показать, что

если удовлетворяет интегральному уравнению

Таким образом, сформулированная выше задача сводится к решению интегрального уравнения (11.35).

Обозначим через функцию веса сопряженного фильтра, т. е.

В этом случае

Из выражения (11.37) следует, что корреляционную функцию можно рассматривать как импульсную переходную функцию системы, состоящей из последовательного соединения первоначального фильтра и сопряженного ему фильтра

Рис. 11.4. Получение корреляционной функции при помощи воздействия в виде дельта-функции на входе последовательно соединенных формирующего фильтра и сопряженного ему фильтра

При решении задачи формирующих фильтров прежде всего возникает вопрос: всегда ли формирующий фильтр является физически реализуемым, т. е. всегда ли можно представить функцию в виде выражения (11.37). Очевидно, что далеко не всегда, так как даже в случае стационарных процессов для этого требуется, чтобы спектральная плотность была абсолютно непрерывной и удовлетворяла критерию Палея-Винера (см. кн. 1, гл. VIII, § 9).

В частном случае дробно-рациональной спектральной плотности требуется, чтобы передаточная функция формирующего фильтра [см. формулу (II.21)] относилась бы к классу минимально фазовых. Для нестационарных процессов в общем случае вряд ли можно сформулировать какой-либо критерий такого рода. Поэтому в данном параграфе мы ограничимся рассмотрением вырожденных корреляционных функций вида (11.31) и найдем для них условия физической реализуемости формирующих фильтров.

Заметим, что так как нижний предел, в интеграле (11.35) равен то тем самым неявно предполагается, что белый шум был приложен к системе в достаточно далеком прошлом. Кроме того, если фильтр физически реализуем, то при и верхний предел в уравнении (II.35) можно заменить

Из сказанного выше очевидно, что физическая реализуемость, если пренебречь начальными условиями, сводится к установлению условий существования решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода:

Если корреляционная функция является вырожденной, т. е. может быть представлена в виде выражения (11.31), то естественно искать решение в виде

В этом случае интегральное уравнение (11.38) принимает вид

и, следовательно,

где — член, зависящий от начальных условий.

Итак, для вырожденных корреляционных функций задача сводится к решению системы из конечного числа нелинейных интегральных уравнений Вольтерра (11.41), между тем как в общем случае уравнения (11.38) мы имеем систему из бесконечного числа уравнений составленных для каждого из значений

Преобразуем теперь интегральные уравнения Вольтерра первого рода (11.41) в уравнения второго рода, имея в виду, что для последних существуют хорошо разработанные методы решения. Для этого продифференцируем уравнения (II.41):

Пусть

Рассмотрение уравнения (11.42) показывает, что если бы функция была известной и не равной нулю при всех то требуемое преобразование уравнения (11.41) в интегральное уравнение второго рода можно было бы получить, разделив все его члены на Итак, интегральное уравнение второго рода имеет вид

Но в него входит пока неизвестная функция

Для того чтобы найти подставим найденное выражение для обратно в исходное уравнение (II.41). В результате получим

или

Воспользовавшись формулой (11.41), вместо формулы (11.45) можно написать

Формула (11.46) показывает, что искомая функция может быть найдена, если функция определяется формулой (11.31). При этом очевидно, что для того, чтобы функции были вещественными, функция должна удовлетворять условию

Остается рассмотреть случай, когда . В этом случае уравнения (II.42) сводятся к системе интегральных уравнений первого рода вида (11.41), в которые вместо входят соответственно . В результате применения к ним преобразований аналогичных приведенным выше, получим

где

причем функция должна удовлетворять условию

Итак, задача получения критерия физической реализуемости формирующих фильтров свелась к установлению условий существования решения интегральных уравнений второго рода вида (11.44). Этот критерий, как это показано в работе [9], может быть сформулирован следующим образом.

Предположим, что является вырожденной функцией вида (11.31), причем в интервале и существует неотрицательно определенная матрица такая, что

Тогда физически реализуемый формирующий фильтр существует и его импульсная переходная функция имеет вид, определяемый формулой (11.39), где функции непрерывны

в рассматриваемом интервале. Этот фильтр является единственным, если выбрать знак в формуле (11.46) и определить матрицу

Очевидно, что критерий легко обобщается и на случай, когда если потребовать, чтобы матрица удовлетворяла не только условию (11.50), но и условию