3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Определение автоколебательных режимов работы систем автоматического регулирования наиболее просто может быть выполнено с помощью логарифмических частотных характеристик линейной части и логарифмических характеристик: обратных эквивалентных амплитуд и значений фаз нелинейного элемента [30], [31]. Логарифмические характеристики линейной части строятся на полулогарифмической бумаге обычным способом, а обратные значения эквивалентных амплитуд и фаз нелинейного элемента на полулогарифмической прозрачной бумаге в виде шаблона в том же масштабе, как и для линейных характеристик системы.

Формулы для построения эквивалентных амплитуд и фаз нелинейностей. Определим формулы для построения характеристики шаблонов (первое приближение). Для этого уравнение (XII.4) перепишем в виде

Подставим в уравнение (XII.61) формулу (XII.25) и следующую зависимость:

тогда получим

В последнем выражении заменим —1 на тогда

Приравнивая значения амплитуд и фаз из уравнения (XI 1.64), получим условия баланса амплитуд и фаз в виде

Откуда получим

При одновременном выполнении условий гармонического баланса [формул (XI 1.66)] в системе автоматического регулирования возникают периодические режимы. Одновременность выполнения указанных условий заключается в том, что точки пересечения амплитудных характеристик фазовых характеристик лежат на одной вертикали.

С помощью графического решения уравнений (XII.66) определим частоту со и амплитуду А колебаний.

Для получения аналогичных зависимостей, но учитывающих влияние третьей гармоники на первую, воспользуемся выражениями (XII.50) — (XII.53), тогда получим

и

На основании выражения (XII.67) формулы (XII.26) и (XII.27) можно переписать в следующем виде:

Условия баланса амплитуд и фаз при учете формул (XII.69) и (XI 1.70) можно записать в виде

Формулы (XII.71) представляют собой второе приближение условий гармонического баланса для, системы автоматического регулирования.

Так как в формулы (XII.69) и (XII.70) входят неизвестные нам значения относительной амплитуды , фазового сдвига то для их определения целесообразно воспользоваться

характеристическим уравнением системы, записанным относительно третьей гармоники, т. е.

где — эквивалентная передаточная функция нелинейного звена по третьей гармонике,

здесь коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного элемента без учета добавочных коэффициентов по третьей гармонике.

Для ряда нелинейностей эти коэффициенты достаточно малы и ими можно пренебречь при практических расчетах нелинейных систем. Если же эти коэффициенты велики, то они могут быть учтены в формуле (XII.73) [см. выражения (XII.52), (XII.53) или (XII.60)].

Подставим выражение (XI 1.73) в уравнение (XI 1.72), тогда получим

Запишем основные коэффициенты гармонической линеаризации по третьей гармонике в виде

где

Подставим выражения (XII.75) в уравнение (XII.74); тогда получим

или

Из последнего выражения найдем

или

где

Из выражения (XI 1.77) нетрудно получить формулы для вычисления значений относительной амплитуды 83 и сдвига фаз Эти формулы запишем в виде

и

Рассмотрим порядок определения второго приближения для приведенных значений амплитуды и фазы нелинейного звена:

1) с помощью условий гармонического баланса первого приближения [формулы (XI 1.66)] графическим путем (методом шаблонов) определим частоту и амплитуду колебаний ;

2) вычислим основные коэффициенты гармонической линеаризации по третьей гармонике, т. е.

3) по формулам (XI 1.78) и (XI 1.79) найдем относительную амплитуду третьей гармоники и сдвиг фазы

4) приведенные амплитуды и фазы для второго приближения вычислим по формулам (XII.69) и (XII.70);

5) пользуясь условиями гармонического баланса второго приближения [см. формулы (XI 1.71)], графическим путем (по шаблонам) определим уточненные значения частоты и амплитуды

После выполнения этих действий можно выполнить уточнение второго приближения, т. е. по полученным значениям и вычислить а затем определить Далее следует найти и графическим путем определить новые значения и А1ут. Следует отметить, что уточнение второго приближения в ряде задач практически не оказывает влияния на изменения значений частот и амплитуд колебаний. Поэтому при практических расчетах к нему можно не прибегать.

В системах автоматического регулирования с однозначными нечетными нелинейностями формулы для вычисления приведенных значений амплитуд и фаз записываются в следующем виде:

и

Равенство нулю коэффициента гармонической линеаризации у однозначных нечетных нелинейностей вызывает изменение условий гармонического баланса. При имеем

и условия гармонического баланса по первому приближению записываются в виде

Для второго же приближения рабочими формулами, определяющими условия гармонического баланса, будут

Формулы (XII.83) по своей структуре аналогичны формулам для двузначных нелинейностей (XII.71)., Поэтому порядок определения второго приближения и его уточнения для систем регулирования с однозначными нелинейностями остается таким же, каким он был изложен для систем с двузначными нелинейностями.

Графический способ определения частот и амплитуд колебаний в нелинейных системах (метод шаблонов). В основу применения метода шаблонов для графического определения амплитуд и частот колебаний положено условие гармонического баланса, заключающееся в одновременном равенстве амплитуды линейной части системы обратному значению эквивалентной амплитуды нелинейного звена и равенству фаз линейной и нелинейной частей. Условие равенства фаз у систем регулирования с однозначными и двузначными нелинейными элементами не одинаковы. Если в первом случае фаза линейной части системы должна быть равна 180°, то во втором — она должна быть равна 180° — Поэтому шаблоны для однозначных и двузначных нелинейных элементов получаются различными. На рис. XII.6 показаны шаблоны для двузначных и однозначных нелинейных элементов (рис. XII.6,а — типа люфта, рис. XII.6, б — типа зоны насыщения с петлей гистерезиса; рис. XII.6, в — типа зоны насыщения; рис. XII.6, г — типа релейного переключения; рис. XII.6, д — типа зоны нечувствительности). Шаблоны выполняются на прозрачной бумаге. По оси абсцисс откладываются значения а по осям ординат .

Для определения периодических процессов в нелинейной системе шаблон накладывается на полулогарифмическую бумагу с построенными на ней амплитудной и фазовой частотными характеристиками линейной части системы, но таким образом, чтобы его ось совпала с осью частот. Перемещая шаблон вдоль оси частот, определяются точки пересечения кривых

Если точки пересечения амплитудных и фазовых характеристик находятся на одной вертикали, то это означает, что выполняется условие гармонического баланса и в системе будут наблюдаться колебания (или периодические решения).

Рис. XII. 6. Шаблоны для двухзначных и однозначных нечетных нелинейных элементов типа: а — люфт; б — насыщение с петлей гистерезиса; в — насыщения; г — релейного переключения с зоной нечувствительности; д — зоны нечувствительности

На рис. XI 1.7 показаны различные положения шаблонов относительно частотных характеристик линейной части системы. При первом положении шаблона (см. рис. XII.7, а) точки пересечения и не лежат на одной вертикали. Следовательно, при этих параметрах нелинейной части в системе отсутствуют периодические решения. Перемещаем шаблон вправо до тех пор,

пока точки пересечения и не окажутся на одной вертикали (рис. XII.7, б). Это второе положение шаблона соответствует возникновению периодического решения с частотой При дальнейшем перемещении шаблона вправо снова возможны две точки пересечения (см. рис. XII.7, в), которые также соответствуют периодическому решению с частотой .

Рис. XII. 7. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики с четырьмя различными положениями шаблонов

И, наконец, при самом крайнем положении шаблона (рис. XII.7, г) пересечения амплитудных и фазовых характеристик отсутствуют.

Существование двух частот колебаний требует решения задачи о том, какая из частот или соответствует устойчивым колебаниям, а какая — неустойчивым.

Для решения этой задачи построим амплитудно-фазовую характеристику в обычном линейном масштабе (см. рис. XII.8). На рис. XII.8 построена характеристика для нелинейного элемента типа люфт. Характеристики получены путем перестроения логарифмических амплитудных и фазовых характеристик, изображенных на рис. XII.7.

Из рис. XI 1.8 видно, что характеристика также пересекает амплитудно-фазовую характеристику в двух точках М и [точка М соответствует на рис. XII.7, б точкам и а точка (см. рис.XII.7, в)].

Рис. XII. 8. Определение периодических решений в нелинейных системах с помощью годографа и обратных приведенных передаточных функций

Для определения характера колебаний (устойчивых или неустойчивых) воспользуемся критерием, приведенным в гл. X (см. также в работе [9]). В нелинейной системе автоматического регулирования возникают устойчивые колебания (периодические решения), когда годограф не охватывает точку, расположенную на обратной эквивалентной характеристике нелинейного элемента; эта точка получена путем малого увеличения амплитуды А на Эквивалентные обратные значения передаточных функций с увеличенными на амплитудами обозначены на рис. XII.8 точками Иначе говоря, если с ростом амплитуды характеристика в точке пересечения кривых выходит за годограф то в системе наблюдаются автоколебания с частотой Если точка соответствующая находится вне годографа то параметры в точке характеризуют устойчивые колебания (автоколебания). И, наоборот

точка охватывается годографом Поэтому параметры в точке соответствуют неустойчивым колебаниям. Сформируем критерий для определения характера колебаний, когда пользуются логарифмическими частотными характеристиками.

В нелинейной системе автоматического регулирования с двузначными нелинейностями возникают устойчивые колебания (автоколебания) в том случае, если с ростом амплитуды точка пересечения характеристик лежащая на одной вертикали с точкой пересечения характеристик и находится вне области, образованной линиями и осью частот

Рис. XII. 9. Области устойчивых состояний и автоколебаний в системе автоматического регулирования с люфтом: а — для частот автоколебаний; б - для амплитуд автоколебаний

И, наоборот, в нелинейной системе колебания неустойчивы, если с ростом амплитуды точка пересечения будет входить внутрь указанной области.

На рис. XI .7, б точка, соответствующая увеличенному значению амплитуды, находится в области между линией и осью частот. Тогда точки пересечения соответствуют неустойчивым колебаниям с Увеличивая амплитуду А (см. рис. XI 1.7, в), точка переместится в точку и выйдет из области, образованной линиями и осью частот Следовательно, точки соответствуют автоколебаниям в системе регулирования с частотой и амплитудой

Изменяя коэффициент усиления, или постоянную времени линейной части системы, или ширину зоны люфта, можно получать точки, соответствующие автоколебаниям или неустойчивым колебаниям системы, но с другими значениями частот и амплитуд.

Откладывая по оси абсцисс интересующие нас значения параметра линейной или нелинейной частей системы, а по оси ординат частоту или амплитуду А, получим зависимости частот и амплитуд колебаний от параметров (на рис. XII.9, а и б показаны эти зависимости от коэффициента .