8. АНАЛИЗ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Определение выходного сигнала системы при нулевых начальных условиях. Покажем, каким образом нестационарные передаточные функции могут быть использованы для нахождения реакции системы на известный входной сигнал.

С помощью импульсной переходной функции реакцию системы на сигнал определенный в интервале при нулевых начальных условиях можно записать интегральным соотношением

Подставляя в формулу (IV.87) разложение входного сигнала

где

и учитывая формулу (IV.35), получим

пли в матричной форме

Таким образом, нестационарная сопряженная передаточная функция и нестационарная спектральная характеристика входного сигнала позволяют найти реакцию системы непосредственно как функцию времени.

Найдем нестационарные спектральные характеристики правой и левой частей выражения (1V.89) по переменной на отрезке относительно системы функций Тогда, учитывая выражение (IV.46), получим

или в матричной форме

Таким образом, двумерная нестационарная передаточная функция и нестационарная спектральная характеристика входного сигнала позволяют найти нестационарную спектральную характеристику выходного сигнала системы, которая определяет нестационарный ряд Фурье выходного сигнала

Суммирование этого ряда дает искомую реакцию системы. Нетрудно показать, что нестационарная нормальная передаточная функция позволяет найти нестационарную спектральную характеристику выходного сигнала по формуле

Отметим, что при использовании любой передаточной функции реакция системы может быть найдена либо как функция времени 9, либо как функция времени . В первом случае в формулах (IV.89), (1V.92), (IV.94) и их матричных формах нужно положить

а во втором при этом, например, формула (IV.89) принимает вид

Полученные соотношения справедливы для широкого класса нестационарных отрезков, относящихся к типу —Т При анализе системы прежде всего конкретизируется вид нестационарного отрезка, исходя из решаемой задачи. Так, если требуется определить реакцию системы, включаемой в момент то следует использовать нестационарный отрезок поэтому во всех приведенных выше формулах надо положить

Подобная задача: может решаться (в общем случае приближенно) применением скользящего отрезка постоянной или переменной длины, если эффективный интервал памяти анализируемой системы ограничен и меньше Т. В этом случае реакция системы ищется как функция

Реакция системы на типовой сигнал Реакцию будем искать на отрезке обозначая ее символом а соответствующую спектральную характеристику — символом При указанном воздействии удобно использовать спектральные характеристики относительно нестационарных ортонормированных полиномов Лежандра, определяемых формулой (IV.7).

Спектральная характеристика воздействия где найдется по формуле (IV.89)

Полиномы Лежандра обладают усиленным свойством ортогональности, заключающимся в том, что полином Лежандра порядка ортогонален к любому полиному степени Поэтому только первые ординат спектральной характеристики сигнала отличны от нуля, остальные ординаты равны нулю. Следовательно, число слагаемых в суммах выражений (IV.89), (IV.91) становится конечным:

Если типовыми сигналами системы являются воздействия , то целесообразно передаточные функции

определить относительно систем тригонометрических функций и т. д.

Определение выходного сигнала системы при ненулевых начальных условиях. Пусть известно дифференциальное уравнение системы с переменными параметрами (IV.80), заданы на нестационарном отрезке ее входной сигнал и начальные условия, соответствующие левому концу отрезка

В силу принципа суперпозиции выходной сигнал системы находится как сумма двух составляющих: первая — есть реакция системы на ее входной сигнал, а вторая составляющая вызвана ненулевыми начальными условиями.

Первая составляющая является решением неоднородного уравнения (IV.80) при нулевых начальных условиях. Она вычисляется с помощью двумерной нестационарной передаточной функции, которая находится по формулам § 7.

Покажем, каким образом может быть определена составляющая выходного сигнала, вызванная ненулевыми начальными условиями. Она является решением дифференциального уравнения системы (IV.80) при т. е. решением однородного дифференциального уравнения

с начальными условиями

Дифференциальному уравнению (IV.99) соответствует структурная схема, изображенная на рис. IV.7, а, где начальным условиям (IV. 100) соответствуют внешние постоянные сигналы, действующие на выходе интеграторов. Пусть отличается от нуля лишь начальное значение. Перенесем воздействие на вход интегратора и проведем очевидные структурные преобразования, чтобы получить схему на рис. IV.7, б. Используя формулы § 6, нетрудно по этой схеме найти общее выражение для двумерной нестационарной передаточной функции начального значения производной порядка:

На основании принципа суперпозиции и в соответствии с формулой (IV.92) выражение для матрицы нестационарной

(кликните для просмотра скана)

спектральной характеристики выходного сигнала системы, имеющей ненулевые начальные условия и находящейся под воздействием управляющего сигнала, имеет вид

где — матрица спектральной характеристики воздействия причем

При вычислении интеграла (IV.103) учтено, что точка включается в пределы интегрирования.

Ошибки нестационарных систем. Для вычисления ошибки можно либо предварительно найти выходной сигнал системы и затем воспользоваться формулой либо непосредственно применять формулы

вывод которых очевиден.

Ошибки систем при типовом сигнале Общие формулы (IV. 104) и (IV. 105) при вычислении ошибок в отработке типового сигнала на отрезке упрощаются, если передаточные функции и спектральные характеристики определены относительно нестационарных полиномов Лежандра, принимая вид

Из формулы (IV. 107) следует: для того чтобы ошибка системы при типовом сигнале была тождественно равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы первые ординаты нестационарной сопряженной передаточной функции ошибки определенной относительно полиномов Лежандра на отрезке были тождественно равны нулю.

Последнее требование эквивалентно тождественному равенству нулю первых ординат двумерной нестационарной передаточной функции ошибки по переменной столбцов матрицы

Интегральная квадратичная оценка ошибки на нестационарном отрезке — определяется формулой

Подставляя формулу (IV. 106) в (IV. 109), выразим интегральную квадратичную оценку ошибки системы через нестационарную спектральную характеристику ошибки: