2. РАБОЧИЙ АППАРАТ МЕТОДА Б. В. БУЛГАКОВА

Итак, рассмотрим квазилинейные уравнения вида

где символ дифференцирования;

— малый параметр;

— заданные многочлены поре постоянными коэффициентами, зависящими от параметра

заданные функции переменных.

При получим упрощенную линейную систему

Допустим, что характеристический полином этой системы имеет пару чисто мнимых сопряженных корней Тогда сам полином имеет вид

Допустим, что

где — любое целое число.

В этом случае в качестве периодического решения упрощенной системы (VIII. 14) может быть взята система функций

содержащих произвольные постоянные: амплитуду А и фазовую константу 8. Пользуясь формулой (VIII.15), преобразуем уравнения (VIII. 13) к новой независимой переменной т.

Если минор элемента определителя (VIII. 15), то в силу неравенства (VIII. 16) всегда можно найти такие два числа для которых

Поэтому постоянные всегда можно выбирать по формулам

где — некоторый множитель пропорциональности, который может выбираться произвольно.

Периодическое решение исходных уравнений (VIII.13) будем искать в форме бесконечных рядов по

где выражения — периодические функции

— постоянные.

Первый член ряда (VIII.20) нам уже известен, а второй дает, как говорят, первое приближение периодического решения (VIII.20).

В большинстве задач теории автоматического регулирования как раз и ограничиваются его исследованием. Для построения первого приближения будем дифференцировать соотношения (VIII. 13) по Полагая

находим

или, обозначив

приведем эти соотношения для к виду

Таким образом, для построения первого приближения мы получили систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений (VIII.25), правые части которых — известные периодические функции т. Эти уравнения должны определять периодическое решение для функции первого приближения.

Найдем условия периодичности первого приближения. С этой целью каждую периодическую функцию, стоящую в правой части уравнений (VIII.24), разложим в ряд Фурье по функциям Коль скоро выражение представляет полином по то

Следовательно, величина

является коэффициентом так называемой первой гармоники разложения.

Для получения искомого условия периодичности решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам необходимо рассмотреть упрощенную систему уравнений

в которых правая часть представляет собой лишь первую гармонику разложения. Так, система уравнений (VII 1.28) должна допускать решение вида Подставляя это решение в уравнение (VIII.28), получим соотношения

Система уравнений (VIII.29) должна давать совместные решения для неизвестных Найдем условия ее разрешимости.

Умножая каждое из соотношений (VIII.29) на величину . после их почленного сложения получим

Действительно, группируя слагаемые при каждом для любого мы получим в качестве коэффициента определитель А с двумя одинаковыми столбцами; для коэффициентом при будет являться сам определитель А. Подставляя в это соотношение величины находим

Но миноры определителя А подчиняются известному в алгебре соотношению

которое с помощью формул (VIII. 19) преобразуется к виду

Соотношение (VIII.32) позволяет исключить произвольные постоянные из равенства (VIII.31), левую часть которого можно теперь записать так:

поэтому окончательно запишем равенства (VII1.31) в следующем виде:

Итак, если соотношение (VI11.33) выполняется, то уравнение (VI11.29) разрешимо по , значит, существует периодическое решение для первого приближения. Следовательно, соотношение (VIII.33) есть искомое условие периодичности первого приближения. Оно является также необходимым, но отнюдь не достаточным условием периодичности решения исходных уравнений. Однако в большом числе встречающихся случаев, когда уравнения (VIII. 13) действительно являются квазилинейными и для построения их периодических решений, возможно ограничиться только первым приближением. Анализ условия (VIII.33) дает ответ на ряд вопросов, интересующих теорию автоматического регулирования, например позволяет определить порождающие амплитуды и первую поправку на частоту.

Аналогичным образом может быть построено любое другое

приближение искомого решения, причем сходимость приближений гарантируется лишь для достаточно малых значений

Проиллюстрируем вышеизложенные теоретические положения примером.

3. Пример. Рассмотрим систему автоматического регулирования, описываемую уравнениями вида [5]:

где — координата; — постоянные объекта регулирования;

— координата регулирующего органа;

— постоянные регулятора;

— заданная функция аргумента а (см. рис. VIII. 1);

X — постоянная, характеризующая возмущающее воздействие на объект регулирования.

В принятых обозначениях прописные буквы имеют размерность секунды, а строчные — безразмерные.

Введем новые независимые переменные и безразмерное время определив их по формулам

где — произвольная, пока неопределенная постоянная.

Очевидно, символы дифференцирования по и по связаны между с собой формулой

Таким образом, находим

Если в исходных уравнениях исключить переменную 2, то в новых переменных уравнения (VII1.34) запишутся так:

где означает дифференцирование по безразмерному времени.

Обозначив для сокращения безразмерные постоянные

придадим уравнениям (VI.34) следующий вид:

Уравнения (VIII.37) имеют очевидное решение

характеризующее тот или иной установившийся режим в данной регулируемой системе. Требуется выяснить, при каких значениях параметров регулятора установившийся режим уравнения (VIII.38) устойчив по Ляпунову, при каких значениях параметров регулятора данная система автоматического регулирования приобретает способность самовозбуждаться и входить в автоколебания и каковы при этом характеристики автоколебаний.

Для решения задачи методом Б. В. Булгакова из системы уравнений (VIII.37) образуем видоизмененную систему с параметром

Здесь введена постоянная линейного приближения функции которая далее выбирается в связи с необходимостью построить и изучить периодические решения уравнений (VIII.39), возникающие при определенных условиях в окрестности очевидного решения (VIII.38). Что же касается параметра то после выделения в функции линейной части он может быть выведен множителем разности (ибо разложение разности содержит лишь нечетные степени) и принят за «малый параметр», каким пользуются в теории Пуанкаре.

При получим упрощенную систему уравнений (V1II.37):

Это линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По основному допущению метода малого параметра упрощенная система (VIII.37) должна иметь периодическое решение. Чтобы построить такое решение, составим характеристическое уравнение в виде

Раскрывая определитель, находим

Как известно, корни этого уравнения определяют структуру и характер решений системы уравнений (VIII.37). Очевидно, среди этих решений тогда только появится периодическое решение, когда уравнение (VIII.40; будет иметь пару чисто мнимых сопряженных корней Но в этом случае уравнение (VIII.40) должно иметь вид

т. е. оно должно распадаться на два отдельных уравнения. Но последнее не может иметь места при любых распадение уравнения будет наблюдаться только тогда, когда его коэффициенты выбираются согласно

определенной существующей между ними зависимости. Найдем ее. Если сравнить коэффициенты уравнений (VIII.40) и (VIII.41) при одинаковых степенях то легко находим соотношения

Из написанных выражений получим следующие три соотношения:

При этих значениях величин четвертое соотношение (VIII.43) должно удовлетворяться тождественно. Это соотношение после элементарного упрощения принимает вид

Итак, если постоянные таковы, что соблюдается соотношение (VIII.44), то упрощенная система уравнений (VIII.37) имеет периодическое решение. При фиксированных параметрах регулятора мы всегда можем это соотношение рассматривать как уравнение, определяющее коэффициенты тех линейных приближений, при которых упрощенная, линеаризованная система имеег решение периода Это решение зависит от двух произвольных параметров: фазовой константы и амплитуды А и имеет вид

где обозначено

Переходя к анализу периодических решений исходных уравнений, напишем условие периодичности его первого приближения. Согласно соотношению (VIII.41) находим

Далее, выбирая в миноре (VIII. 18) число и полагая мы можем представить условия периодичности (VIII.33) в следующей форме:

Отделение в этом равенстве вещественной и мнимой частей дает два уравнения:

Поскольку последнее уравнение дает первую поправку на частоту решения, равную нулю, в связи с чем первое уравнение принимает вид

Однако

благодаря чему данное уравнение окончательно можно записать

где для краткости обозначено

Функция обладает свойством повторять в своем графическом представлении общий вид подынтегральной кривой Допустим, что по заданному графику построен график функции (рис. VIII.2), тогда уравнение может быть решено графически; порождающие амплитуды определяются как абсциссы точек пересечения кривой с лучом (рис. VIII.2).

Рис. VIII.2. График функции

Уравнение (VIII.47) будет иметь вещественные корни, если постоянная определенная из соотношения (VIII.44), заключена в интервале При этом предельное значение углового коэффициента луча будет иметь место при его касании кризой (VIII.48).

Для построения граничных линий нужно определить значения параметров при которых удовлетворяет условию (V 111.44) и условию Построение будем производить в координатах

Считая их данными, можно рассматривать как корень уравнения (VIII.44), т. е. уравнения

тогда первой граничной линией, отделяющей область вещественных значений , будет парабола [5]

Эта парабола была ранее построена Б. В. Булгаковым [3] в координатах для случая Область, находящаяся внутри параболы (область соответствует комплексным значениям для которых периодических решений уравнений не существует. Чтобы отделить среди

всех вещественных значений те, которые удовлетворяют условию построим по уравнению (VIII.50) линию при Легко показать, что при данном Л эта прямая касается параболы (VIII.51) в точке В. Для исследования другой части плоскости рассмотрим корни уравнения (VIII.50):

Построенные линии, а также оси координат разбивают всю плоскость параметров на 11 областей. Исследуя величины как непрерывные функции получим следующую таблицу данных.

Итак, мы получили полную картину разбиения плоскости параметров на области, где периодические решения существуют и где их нет. Однако вопрос об устойчивости установившегося режима уравнения (VIII.38), а также вопрос об автоколебаниях исследуемой системы автоматического регулирования существенно связан с устойчивостью периодических решений в областях

С целью их выяснения положим всюду в уравнениях (VIII.37) вместо значения и обычным способом получим уравнения в вариациях

где Н — коэффициент линейной части разложения функции в ряд Тейлора в окрестности

Уравнения (VIII.53) являются линейными, коэффициенты которых постоянны за исключением , который является периодической функцией . В случае применения метода Б. В. Булгакова удобно заменить эти уравнения уравнениями упрощенными, в которых коэффициент Н осреднен по периоду. Это среднее значение таково:

Вопрос о законности такой замены может быть всегда освещен, например, по методу Н. Г. Четаева [8] или же по методу, которым пользовался

автор настоящей главы ранее в одной частной задаче [4]. Итак, для разрешения вопроса об устойчивости тех или иных периодических решений нам надлежит рассмотреть корни характеристического полинома:

в котором Н определено согласно формуле (VIII.54).

Для устойчивости того или иного решения необходимо и достаточно, чтобы согласно критерию Гурвица, в этом случае должно быть

Легко видеть, что из всех неравенств критерия существенным является лишь второе. С помощью уравнения (VIII.50) это неравенство можно переписать гак:

Допустим, что тогда неравенство удовлетворяется, если

или если

Рассмотрим область и положим, что тогда следует удовлетворить неравенству

либо неравенству

Пусть — порождающие амплитуды, соответствующие лучу порождающие амплитуды, соответствующие лучу Оценивая оба неравенства, из построения видим, что периодические решения с порождающими амплитудами неустойчивы, а периодические решения с порождающими амплитудами устойчивы; последним соответствуют автоколебания с малой и большой амплитудами.

Разумеется, выбор амплитуд автоколебаний зависит от начальных условий.

В области следует рассмотреть только первое неравенство (VIII.56). Выполнение его гарантирует существование автоколебаний большой амплитуды

В области выполнение первого неравенства (V 111.57) гарантирует существование автоколебаний большой амплитуды а в области выполнение второго неравенства (VIII.57) гарантирует существование автоколебаний малой амплитуды

Непрерывный переход от рассмотренных областей в области и области показывает, что в первом случае мы имеем абсолютную устойчивость установившегося режима (VIII.38), а во втором — его абсолютную неустойчивость. Этим завершается исследование автоколебаний системы автоматического регулирования по методу Б. В. Булгакова. Полное построение плоскости разбиения параметров и характеристика ее областей явились главной целью этого исследования.

Анализируя построение рис. VIII.3, мы можем давать теперь различную физическую интерпретацию тому или иному параметру системы автоматического регулирования; его роли и значения в эффективном подавлении автоколебаний или их возбуждении [5].

Рис. VIII.3. Разбиение плоскости параметров на области устойчивых и неустойчивых состояний: А и С - точки касания параболы с осями координат .

Разумеется, по приведенным рассуждениям могут быть сделаны возражения, касающиеся известного нарушения их строгости. Такие возражения будут справедливы и в большинстве случаев не могут быть отвергнуты, поскольку в методе малого параметра не делается оценка численного значения допустимых значений

Тогда положение могло бы быть исправлено при соответствующей идеализации задачи ее решением по методу точечных преобразований, развитому А. А. Андроновым и его учениками, или по методу А. И. Лурье [6] и сравнением указанных двух решений. В некоторых случаях все спорные вопросы по методу малого параметра могут быть устранены при соответствующей постановке и проведении эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)