Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. РАБОЧИЙ АППАРАТ МЕТОДА Б. В. БУЛГАКОВА

Итак, рассмотрим квазилинейные уравнения вида

где символ дифференцирования;

— малый параметр;

— заданные многочлены поре постоянными коэффициентами, зависящими от параметра

заданные функции переменных.

При получим упрощенную линейную систему

Допустим, что характеристический полином этой системы имеет пару чисто мнимых сопряженных корней Тогда сам полином имеет вид

Допустим, что

где — любое целое число.

В этом случае в качестве периодического решения упрощенной системы (VIII. 14) может быть взята система функций

содержащих произвольные постоянные: амплитуду А и фазовую константу 8. Пользуясь формулой (VIII.15), преобразуем уравнения (VIII. 13) к новой независимой переменной т.

Если минор элемента определителя (VIII. 15), то в силу неравенства (VIII. 16) всегда можно найти такие два числа для которых

Поэтому постоянные всегда можно выбирать по формулам

где — некоторый множитель пропорциональности, который может выбираться произвольно.

Периодическое решение исходных уравнений (VIII.13) будем искать в форме бесконечных рядов по

где выражения — периодические функции

— постоянные.

Первый член ряда (VIII.20) нам уже известен, а второй дает, как говорят, первое приближение периодического решения (VIII.20).

В большинстве задач теории автоматического регулирования как раз и ограничиваются его исследованием. Для построения первого приближения будем дифференцировать соотношения (VIII. 13) по Полагая

находим

или, обозначив

приведем эти соотношения для к виду

Таким образом, для построения первого приближения мы получили систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений (VIII.25), правые части которых — известные периодические функции т. Эти уравнения должны определять периодическое решение для функции первого приближения.

Найдем условия периодичности первого приближения. С этой целью каждую периодическую функцию, стоящую в правой части уравнений (VIII.24), разложим в ряд Фурье по функциям Коль скоро выражение представляет полином по то

Следовательно, величина

является коэффициентом так называемой первой гармоники разложения.

Для получения искомого условия периодичности решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам необходимо рассмотреть упрощенную систему уравнений

в которых правая часть представляет собой лишь первую гармонику разложения. Так, система уравнений (VII 1.28) должна допускать решение вида Подставляя это решение в уравнение (VIII.28), получим соотношения

Система уравнений (VIII.29) должна давать совместные решения для неизвестных Найдем условия ее разрешимости.

Умножая каждое из соотношений (VIII.29) на величину . после их почленного сложения получим

Действительно, группируя слагаемые при каждом для любого мы получим в качестве коэффициента определитель А с двумя одинаковыми столбцами; для коэффициентом при будет являться сам определитель А. Подставляя в это соотношение величины находим

Но миноры определителя А подчиняются известному в алгебре соотношению

которое с помощью формул (VIII. 19) преобразуется к виду

Соотношение (VIII.32) позволяет исключить произвольные постоянные из равенства (VIII.31), левую часть которого можно теперь записать так:

поэтому окончательно запишем равенства (VII1.31) в следующем виде:

Итак, если соотношение (VI11.33) выполняется, то уравнение (VI11.29) разрешимо по , значит, существует периодическое решение для первого приближения. Следовательно, соотношение (VIII.33) есть искомое условие периодичности первого приближения. Оно является также необходимым, но отнюдь не достаточным условием периодичности решения исходных уравнений. Однако в большом числе встречающихся случаев, когда уравнения (VIII. 13) действительно являются квазилинейными и для построения их периодических решений, возможно ограничиться только первым приближением. Анализ условия (VIII.33) дает ответ на ряд вопросов, интересующих теорию автоматического регулирования, например позволяет определить порождающие амплитуды и первую поправку на частоту.

Аналогичным образом может быть построено любое другое

приближение искомого решения, причем сходимость приближений гарантируется лишь для достаточно малых значений

Проиллюстрируем вышеизложенные теоретические положения примером.

3. Пример. Рассмотрим систему автоматического регулирования, описываемую уравнениями вида [5]:

где — координата; — постоянные объекта регулирования;

— координата регулирующего органа;

— постоянные регулятора;

— заданная функция аргумента а (см. рис. VIII. 1);

X — постоянная, характеризующая возмущающее воздействие на объект регулирования.

В принятых обозначениях прописные буквы имеют размерность секунды, а строчные — безразмерные.

Введем новые независимые переменные и безразмерное время определив их по формулам

где — произвольная, пока неопределенная постоянная.

Очевидно, символы дифференцирования по и по связаны между с собой формулой

Таким образом, находим

Если в исходных уравнениях исключить переменную 2, то в новых переменных уравнения (VII1.34) запишутся так:

где означает дифференцирование по безразмерному времени.

Обозначив для сокращения безразмерные постоянные

придадим уравнениям (VI.34) следующий вид:

Уравнения (VIII.37) имеют очевидное решение

характеризующее тот или иной установившийся режим в данной регулируемой системе. Требуется выяснить, при каких значениях параметров регулятора установившийся режим уравнения (VIII.38) устойчив по Ляпунову, при каких значениях параметров регулятора данная система автоматического регулирования приобретает способность самовозбуждаться и входить в автоколебания и каковы при этом характеристики автоколебаний.

Для решения задачи методом Б. В. Булгакова из системы уравнений (VIII.37) образуем видоизмененную систему с параметром

Здесь введена постоянная линейного приближения функции которая далее выбирается в связи с необходимостью построить и изучить периодические решения уравнений (VIII.39), возникающие при определенных условиях в окрестности очевидного решения (VIII.38). Что же касается параметра то после выделения в функции линейной части он может быть выведен множителем разности (ибо разложение разности содержит лишь нечетные степени) и принят за «малый параметр», каким пользуются в теории Пуанкаре.

При получим упрощенную систему уравнений (V1II.37):

Это линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По основному допущению метода малого параметра упрощенная система (VIII.37) должна иметь периодическое решение. Чтобы построить такое решение, составим характеристическое уравнение в виде

Раскрывая определитель, находим

Как известно, корни этого уравнения определяют структуру и характер решений системы уравнений (VIII.37). Очевидно, среди этих решений тогда только появится периодическое решение, когда уравнение (VIII.40; будет иметь пару чисто мнимых сопряженных корней Но в этом случае уравнение (VIII.40) должно иметь вид

т. е. оно должно распадаться на два отдельных уравнения. Но последнее не может иметь места при любых распадение уравнения будет наблюдаться только тогда, когда его коэффициенты выбираются согласно

определенной существующей между ними зависимости. Найдем ее. Если сравнить коэффициенты уравнений (VIII.40) и (VIII.41) при одинаковых степенях то легко находим соотношения

Из написанных выражений получим следующие три соотношения:

При этих значениях величин четвертое соотношение (VIII.43) должно удовлетворяться тождественно. Это соотношение после элементарного упрощения принимает вид

Итак, если постоянные таковы, что соблюдается соотношение (VIII.44), то упрощенная система уравнений (VIII.37) имеет периодическое решение. При фиксированных параметрах регулятора мы всегда можем это соотношение рассматривать как уравнение, определяющее коэффициенты тех линейных приближений, при которых упрощенная, линеаризованная система имеег решение периода Это решение зависит от двух произвольных параметров: фазовой константы и амплитуды А и имеет вид

где обозначено

Переходя к анализу периодических решений исходных уравнений, напишем условие периодичности его первого приближения. Согласно соотношению (VIII.41) находим

Далее, выбирая в миноре (VIII. 18) число и полагая мы можем представить условия периодичности (VIII.33) в следующей форме:

Отделение в этом равенстве вещественной и мнимой частей дает два уравнения:

Поскольку последнее уравнение дает первую поправку на частоту решения, равную нулю, в связи с чем первое уравнение принимает вид

Однако

благодаря чему данное уравнение окончательно можно записать

где для краткости обозначено

Функция обладает свойством повторять в своем графическом представлении общий вид подынтегральной кривой Допустим, что по заданному графику построен график функции (рис. VIII.2), тогда уравнение может быть решено графически; порождающие амплитуды определяются как абсциссы точек пересечения кривой с лучом (рис. VIII.2).

Рис. VIII.2. График функции

Уравнение (VIII.47) будет иметь вещественные корни, если постоянная определенная из соотношения (VIII.44), заключена в интервале При этом предельное значение углового коэффициента луча будет иметь место при его касании кризой (VIII.48).

Для построения граничных линий нужно определить значения параметров при которых удовлетворяет условию (V 111.44) и условию Построение будем производить в координатах

Считая их данными, можно рассматривать как корень уравнения (VIII.44), т. е. уравнения

тогда первой граничной линией, отделяющей область вещественных значений , будет парабола [5]

Эта парабола была ранее построена Б. В. Булгаковым [3] в координатах для случая Область, находящаяся внутри параболы (область соответствует комплексным значениям для которых периодических решений уравнений не существует. Чтобы отделить среди

всех вещественных значений те, которые удовлетворяют условию построим по уравнению (VIII.50) линию при Легко показать, что при данном Л эта прямая касается параболы (VIII.51) в точке В. Для исследования другой части плоскости рассмотрим корни уравнения (VIII.50):

Построенные линии, а также оси координат разбивают всю плоскость параметров на 11 областей. Исследуя величины как непрерывные функции получим следующую таблицу данных.

Итак, мы получили полную картину разбиения плоскости параметров на области, где периодические решения существуют и где их нет. Однако вопрос об устойчивости установившегося режима уравнения (VIII.38), а также вопрос об автоколебаниях исследуемой системы автоматического регулирования существенно связан с устойчивостью периодических решений в областях

С целью их выяснения положим всюду в уравнениях (VIII.37) вместо значения и обычным способом получим уравнения в вариациях

где Н — коэффициент линейной части разложения функции в ряд Тейлора в окрестности

Уравнения (VIII.53) являются линейными, коэффициенты которых постоянны за исключением , который является периодической функцией . В случае применения метода Б. В. Булгакова удобно заменить эти уравнения уравнениями упрощенными, в которых коэффициент Н осреднен по периоду. Это среднее значение таково:

Вопрос о законности такой замены может быть всегда освещен, например, по методу Н. Г. Четаева [8] или же по методу, которым пользовался

автор настоящей главы ранее в одной частной задаче [4]. Итак, для разрешения вопроса об устойчивости тех или иных периодических решений нам надлежит рассмотреть корни характеристического полинома:

в котором Н определено согласно формуле (VIII.54).

Для устойчивости того или иного решения необходимо и достаточно, чтобы согласно критерию Гурвица, в этом случае должно быть

Легко видеть, что из всех неравенств критерия существенным является лишь второе. С помощью уравнения (VIII.50) это неравенство можно переписать гак:

Допустим, что тогда неравенство удовлетворяется, если

или если

Рассмотрим область и положим, что тогда следует удовлетворить неравенству

либо неравенству

Пусть — порождающие амплитуды, соответствующие лучу порождающие амплитуды, соответствующие лучу Оценивая оба неравенства, из построения видим, что периодические решения с порождающими амплитудами неустойчивы, а периодические решения с порождающими амплитудами устойчивы; последним соответствуют автоколебания с малой и большой амплитудами.

Разумеется, выбор амплитуд автоколебаний зависит от начальных условий.

В области следует рассмотреть только первое неравенство (VIII.56). Выполнение его гарантирует существование автоколебаний большой амплитуды

В области выполнение первого неравенства (V 111.57) гарантирует существование автоколебаний большой амплитуды а в области выполнение второго неравенства (VIII.57) гарантирует существование автоколебаний малой амплитуды

Непрерывный переход от рассмотренных областей в области и области показывает, что в первом случае мы имеем абсолютную устойчивость установившегося режима (VIII.38), а во втором — его абсолютную неустойчивость. Этим завершается исследование автоколебаний системы автоматического регулирования по методу Б. В. Булгакова. Полное построение плоскости разбиения параметров и характеристика ее областей явились главной целью этого исследования.

Анализируя построение рис. VIII.3, мы можем давать теперь различную физическую интерпретацию тому или иному параметру системы автоматического регулирования; его роли и значения в эффективном подавлении автоколебаний или их возбуждении [5].

Рис. VIII.3. Разбиение плоскости параметров на области устойчивых и неустойчивых состояний: А и С - точки касания параболы с осями координат .

Разумеется, по приведенным рассуждениям могут быть сделаны возражения, касающиеся известного нарушения их строгости. Такие возражения будут справедливы и в большинстве случаев не могут быть отвергнуты, поскольку в методе малого параметра не делается оценка численного значения допустимых значений

Тогда положение могло бы быть исправлено при соответствующей идеализации задачи ее решением по методу точечных преобразований, развитому А. А. Андроновым и его учениками, или по методу А. И. Лурье [6] и сравнением указанных двух решений. В некоторых случаях все спорные вопросы по методу малого параметра могут быть устранены при соответствующей постановке и проведении эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru