Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. РАБОЧИЙ АППАРАТ МЕТОДА Б. В. БУЛГАКОВАИтак, рассмотрим квазилинейные уравнения вида
где
При
Допустим, что характеристический полином
Допустим, что
где В этом случае в качестве периодического решения упрощенной системы (VIII. 14) может быть взята система функций
содержащих произвольные постоянные: амплитуду А и фазовую константу 8. Пользуясь формулой (VIII.15), преобразуем уравнения (VIII. 13) к новой независимой переменной т. Если
Поэтому постоянные
где Периодическое решение исходных уравнений (VIII.13) будем искать в форме бесконечных рядов по
где выражения — периодические функции
Первый член ряда (VIII.20) нам уже известен, а второй дает, как говорят, первое приближение периодического решения (VIII.20). В большинстве задач теории автоматического регулирования как раз и ограничиваются его исследованием. Для построения первого приближения будем дифференцировать соотношения (VIII. 13) по
находим
или, обозначив
приведем эти соотношения для
Таким образом, для построения первого приближения мы получили систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений (VIII.25), правые части которых — известные периодические функции т. Эти уравнения должны определять периодическое решение для функции Найдем условия периодичности первого приближения. С этой целью каждую периодическую функцию, стоящую в правой части уравнений (VIII.24), разложим в ряд Фурье по функциям
Следовательно, величина
является коэффициентом так называемой первой гармоники разложения. Для получения искомого условия периодичности решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам необходимо рассмотреть упрощенную систему уравнений
в которых правая часть представляет собой лишь первую гармонику разложения. Так, система уравнений (VII 1.28) должна допускать решение вида
Система уравнений (VIII.29) должна давать совместные решения для неизвестных Умножая каждое из соотношений (VIII.29) на величину
Действительно, группируя слагаемые при каждом
Но миноры
которое с помощью формул (VIII. 19) преобразуется к виду
Соотношение (VIII.32) позволяет исключить произвольные постоянные
поэтому окончательно запишем равенства (VII1.31) в следующем виде:
Итак, если соотношение (VI11.33) выполняется, то уравнение (VI11.29) разрешимо по Аналогичным образом может быть построено любое другое приближение искомого решения, причем сходимость приближений гарантируется лишь для достаточно малых значений Проиллюстрируем вышеизложенные теоретические положения примером. 3. Пример. Рассмотрим систему автоматического регулирования, описываемую уравнениями вида [5]:
где
X — постоянная, характеризующая возмущающее воздействие на объект регулирования. В принятых обозначениях прописные буквы имеют размерность секунды, а строчные — безразмерные. Введем новые независимые переменные
где Очевидно, символы дифференцирования по Таким образом, находим
Если в исходных уравнениях исключить переменную 2, то в новых переменных уравнения (VII1.34) запишутся так:
где Обозначив для сокращения безразмерные постоянные
придадим уравнениям (VI
Уравнения (VIII.37) имеют очевидное решение
характеризующее тот или иной установившийся режим в данной регулируемой системе. Требуется выяснить, при каких значениях параметров регулятора установившийся режим уравнения (VIII.38) устойчив по Ляпунову, при каких значениях параметров регулятора данная система автоматического регулирования приобретает способность самовозбуждаться и входить в автоколебания и каковы при этом характеристики автоколебаний. Для решения задачи методом Б. В. Булгакова из системы уравнений (VIII.37) образуем видоизмененную систему с параметром
Здесь введена постоянная При
Это линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. По основному допущению метода малого параметра упрощенная система (VIII.37) должна иметь периодическое решение. Чтобы построить такое решение, составим характеристическое уравнение в виде
Раскрывая определитель, находим
Как известно, корни этого уравнения определяют структуру и характер решений системы уравнений (VIII.37). Очевидно, среди этих решений тогда только появится периодическое решение, когда уравнение (VIII.40; будет иметь пару чисто мнимых сопряженных корней
т. е. оно должно распадаться на два отдельных уравнения. Но последнее не может иметь места при любых определенной существующей между ними зависимости. Найдем ее. Если сравнить коэффициенты уравнений (VIII.40) и (VIII.41) при одинаковых степенях
Из написанных выражений
При этих значениях величин
Итак, если постоянные
где обозначено
Переходя к анализу периодических решений исходных уравнений, напишем условие периодичности его первого приближения. Согласно соотношению (VIII.41) находим
Далее, выбирая в миноре (VIII. 18) число
Отделение в этом равенстве вещественной и мнимой частей дает два уравнения:
Поскольку
Однако
благодаря чему данное уравнение окончательно можно записать
где для краткости обозначено
Функция
Рис. VIII.2. График функции Уравнение (VIII.47) будет иметь вещественные корни, если постоянная Для построения граничных линий нужно определить значения параметров
Считая их данными,
тогда первой граничной линией, отделяющей область вещественных значений
Эта парабола была ранее построена Б. В. Булгаковым [3] в координатах всех вещественных значений
Построенные линии, а также оси координат разбивают всю плоскость параметров
Итак, мы получили полную картину разбиения плоскости параметров С целью их выяснения положим всюду в уравнениях (VIII.37) вместо
где Н — коэффициент линейной части разложения функции Уравнения (VIII.53) являются линейными, коэффициенты которых постоянны за исключением
Вопрос о законности такой замены может быть всегда освещен, например, по методу Н. Г. Четаева [8] или же по методу, которым пользовался автор настоящей главы ранее в одной частной задаче [4]. Итак, для разрешения вопроса об устойчивости тех или иных периодических решений нам надлежит рассмотреть корни характеристического полинома:
в котором Н определено согласно формуле (VIII.54). Для устойчивости того или иного решения необходимо и достаточно, чтобы
Легко видеть, что из всех неравенств критерия существенным является лишь второе. С помощью уравнения (VIII.50) это неравенство можно переписать гак:
Допустим, что
или если
Рассмотрим область
либо неравенству
Пусть Разумеется, выбор амплитуд автоколебаний зависит от начальных условий. В области В области Непрерывный переход от рассмотренных областей в области Анализируя построение рис. VIII.3, мы можем давать теперь различную физическую интерпретацию тому или иному параметру системы автоматического регулирования; его роли и значения в эффективном подавлении автоколебаний или их возбуждении [5].
Рис. VIII.3. Разбиение плоскости параметров Разумеется, по приведенным рассуждениям могут быть сделаны возражения, касающиеся известного нарушения их строгости. Такие возражения будут справедливы и в большинстве случаев не могут быть отвергнуты, поскольку в методе малого параметра не делается оценка численного значения допустимых значений Тогда положение могло бы быть исправлено при соответствующей идеализации задачи ее решением по методу точечных преобразований, развитому А. А. Андроновым и его учениками, или по методу А. И. Лурье [6] и сравнением указанных двух решений. В некоторых случаях все спорные вопросы по методу малого параметра могут быть устранены при соответствующей постановке и проведении эксперимента. ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|